专题02 常用逻辑用语（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版2019全国通用

专题02常用逻辑用语 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 充分条件与必要条件的判断 3 考点二 充分、必要、充要条件的探求 5 考点三 充分、必要、充要条件的证明 7 考点四 由充分、必要条件求参 11 考点五 全称量词命题与存在量词命题的否定 14 考点六 全称量词命题与存在量词命题及其否定的真假 15 考点七 由全称量词命题与存在量词命题真假求参 17 考点八 含有一个量词的命题与充分必要性的综合 20 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点01 充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 若，则是的充分条件，是的必要条件． 若，则是的充要条件（充分必要条件）． 知识点02 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 2．全称量词命题与存在量词命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个，使成立 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个x0，使成立 【熟记重要结论】 1．集合法与充分性、必要性 若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 总结：小推大，大不可推小． 2．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 3.命题否定真假的判断 因为命题p与非p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假． 考点一 充分条件与必要条件的判断 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 2．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 3．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 4．“实数”是“集合恰有一个元素”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】讨论集合恰有一个元素所需条件，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】依题意方程只有一个实数根， 方程，等价于且且， 对于方程， 当，即时，解得，符合题意； 当，即时， 若其中一个根为，由韦达定理可知另一根为，有， 符合方程只有一个实数根； 若其中一个根为，由韦达定理可知另一根为，有， 符合方程只有一个实数根； 所以实数时，集合恰有一个元素，充分性成立； 集合恰有一个元素时，不一定有，必要性不成立. “实数”是“集合恰有一个元素”的充分不必要条件. 故选：A. 5．给出下列命题： ①已知集合，则集合的真子集个数是7； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 ④设，则“”是“”的必要不充分条件 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】③④ 【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误. 【详解】①，故真子集个数为个，错误； ②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误； ③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确； ④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.故答案为：③④ 考点二 充分、必要、充要条件的探求 6．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 7．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 8．“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件. 【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素， 因为，则有： 当时，； 当时，； 当时，； 则的取值范围为，故其充分不必要条件为小范围， 可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；C不符合充分不必要条件. 9.（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【分析】根据根的判别式、韦达定理及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：当时，则， 方程无实数根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则，解得， 所以方程无实数根的一个必要条件是，故B正确； 对于C：若方程有两个不等正根，则，解得， 故方程有两个不等正根的充要条件是，故C正确； 对于D：若方程有一个正根和一个负根，则，解得， 所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，故D正确. 故选：BCD 10．设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【分析】分析可知，即可得出结果. 【详解】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 11．已知是的充分非必要条件，是的必要条件，是的必要条件， 那么​的一个 条件是. (从 “充分非必要、必要非充分、充要和既不充分也不必要” 中选一个) 【答案】必要非充分 【分析】利用推出的传递性，结合充分、必要的定义进行求解即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，是的必要条件，是的必要条件， 所以有，但不能推出；，， 即，，，故，且不能推出， 所以是的一个必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 考点三 充分、必要、充要条件的证明 12．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 13．已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1），， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. （2），， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. （3）由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为. 14．已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为， 所以集合不是封闭集. （2）对命题：令， 令，则， 因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集， 则，同理，因此， 所以是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 15．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 考点四 由充分、必要条件求参 16．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 17．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 18．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 19．已知条件p： (1)若，求实数的值； (2)若q是的充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据集合的交集，判断出区间端点的值和大小，得到的值，即本题结论； （2）根据充要条件关系得到的取值范围的关系，判断出区间端点值的大小，得到取值范围． 【详解】（1）由已知得：， 因为， ， ， （2）是的充分条件， ，而或， 或， 或 实数的取值范围为或． 20.已知集合 (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 考点五 全称量词命题与存在量词命题的否定 21．若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 【答案】A 【分析】判断存在量词命题真假，并根据含有一个量词命题的否定求出p的否定. 【详解】p：有些三角形是锐角三角形为真命题， 根据存在量词命题否定为全称量词命题。 所以p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形， 故选：A. 22．命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案. 【详解】命题“任意实数，都有”的否定是: . 故选：B. 23．设命题且，则的否定为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定知： 命题且的否定为： 且. 故选：D 24．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断即可. 【详解】命题，的否定为：，或， 故选：C. 考点六 全称量词命题与存在量词命题及其否定的真假 25.关于命题：“，”，下列判断正确的是（   ） A．该命题是全称量词命题，且为假命题 B．该命题是存在量词命题，且为真命题 C．：， D．：， 【答案】D 【分析】根据全称量词的命题的定义以及命题的真假判断AB，根据含有一个量词命题的否定判断CD. 【详解】对于A，B，命题：“，”为全称量词命题，， 解集为或，又，所有自然数均成立，所以该命题为真命题，故A，B错误； 对于C，D，根据命题的否定，则：，，故C错误，D正确， 故选：D. 26．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 27．已知命题，；命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【分析】根据条件可分析出命题为真命题，命题为假命题，则为假命题，为真命题，依次判断各选项即可. 【详解】由得，故命题是真命题，是假命题； 由得，，无解，故是假命题，是真命题，综上，和都是假命题. 故选：B. 28．已知命题，命题，则（    ） A．命题和命题都是真命题 B．命题的否定和命题都是真命题 C．命题的否定和命题都是真命题 D．命题的否定和命题的否定都是真命题 【答案】D 【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解. 【详解】对于命题，当或时，，故命题是假命题，命题的否定为真命题； 对于命题，因为，所以命题为假命题，命题的否定为真命题； 综上可得：命题的否定和命题的否定都是真命题， 故选：D 29．下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得. 【详解】选项A：因无实数解，故命题，为假命题，其否定为真命题，故A错误； 选项B：当时，，当时，， 故，即命题，为假命题，其否定为真命题，故B错误； 选项C：当时，因为， 所以，即， 故命题，为真命题，其否定为假命题，故C正确； 选项D：，因，所以不一定为有理数， 故命题，为假命题，其否定为真命题，故D错误. 故选：C 考点七 由全称量词命题与存在量词命题真假求参 30．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 31．若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由参变量分离法可得，求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】命题“，不等式恒成立”是真命题，则， 令，则，则，可得， 因为函数、在区间上均为减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 故当时，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 32．，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理可得恒成立，分类讨论的符号，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 因为，可得， 当时，则， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得； 当时，则； 当时，则， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得； 综上所述：的取值范围是. 故选：D. 33．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 34．已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 35．设 (1)若命题：是假命题，求m的取值范围； (2)若命题： 是真命题，求m的取值范围. 【分析】（1）求出给定命题的否定，再利用一元二次型不等式恒成立求出范围. （2）变形不等式并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）由命题：是假命题，得是真命题， 即成立，当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以m的取值范围是. （2）不等式 命题：是真命题，则是真命题， 即是真命题， ，，当且仅当时取等号，则， 所以m的取值范围. 考点八 含有一个量词的命题与充分必要性的综合 36．（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出命题为真的等价条件，再结合充分不必要条件的定义转化为求其真子集即可； 【详解】因为命题“”为真命题，所以， 所以使命题成立的应为的真子集， 所以可以是或， 故选：BC. 37．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．命题，则命题p的否定是 B．“”是“”的必要条件 C．若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可. 【详解】对于A，命题，则命题p的否定是，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，，即， 即，故a的取值范围为，故C正确； 对于D，关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 38．（多选）下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误.   对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.   对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误.   对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.   故选：ABC. 39.设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 1．（2025全国章鱼杯联赛）设为实数，则是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出两方程在R内的解，根据包含关系得到答案. 【详解】，故解集为， 而在R内无解，解集为， 由于是任何非空集合的真子集， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 2．（2024·厦门大学强基计划）对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 【答案】D 【分析】举反例可以排除A、B选项，逻辑推理可以排除C. 【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，命题p为真命题，但命题q为假命题，故A错误； 对B选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，满足p真，则q真，所以q假为假命题，则p假也是假命题， 令命题m：“q为假命题”是一个假命题，命题n：“p为假命题”是一个假命题， 那么“若q假，则p假”等价于“若m真，则n真”，参考A选项，可知B错误； 对C选项，若“p真且q真”为假命题，则p可能为假；故C错误； 对D选项，若p真,则p与q的真假分以下两种情况：p真或q真，p真或q假，这两种情况p或q均为真，故D正确， 故选：D. 3．（2024·全国章鱼杯联考）设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的必要不充分条件 【答案】A 【分析】设分别为使得为真命题的取值集合，将条件和结论间的关系转化成集合间的关系来处理，再根据条件，逐一分析判断即可求出结果. 【详解】设分别为使得为真命题的取值集合， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 又是的必要不充分条件，则有是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 从而是的真子集, 故是的充分不必要条件，所以选项 A正确，选项D错误， 又，所以选项C错误，若， 此时是的充要条件，所以选项B错误，故选：A. 4.（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】取，则，, 此时不成立，故“”是“”不充分条件； 取，则，但， 故“”是“”不必要条件； 故“”是“” 既不充分也不必要条件， 故选：D. 5.（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先通过解分式不等式化简条件“”，再利用充要条件的定义判断出“”是“”成立的什么条件. 【详解】由，因为，所以. 故选:C. 6．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一上冬季联赛）若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到或，进而判断出答案. 【详解】由，解得或， 由于或，但或， 故是成立的充分不必要条件. 故选：A. 7．（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）下列命题是假命题的是（    ） A．命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”； B．若命题p:，则：； C．若为真命题，则p，q均为真命题； D．“x>2”是“”成立的充分不必要条件. 【答案】C 【分析】根据逆否命题判断A，根据全称量词命题的否定判断B，根据复合命题的真假判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D； 【详解】解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故正确； 若命题，，则，，故正确； 若为真命题，则，中至少有一个是真命题，故不成立． “” “”， “” “或”， “”是“”的充分不必要条件，故成立； 故选：． 8.（2024·全国集英苑冬季竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 9．（2024·“同济大学杯”高一联赛）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件. 【详解】由得； ①当时，，则，解得， 因为，，满足题意； ②当时，， 若存在唯一的，使得成立， 则与有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有一个交点， 所以，，解得，此时，； ③当时，， 由②同理可得，解得：，则. 综上所述：原命题成立的充要条件为. 故选：D. 10．（2024·中国科大强基计划）数列，，则命题“，，”的否定是 ． 【答案】，， 【分析】根据全称命题和特称命题的否定即可解答. 【详解】其否定是“，，”． 故答案为：. 11．（2023·安徽省十校联盟高二竞赛）已知命题：对任意的正数，有，命题：不存在实数，使．若命题都为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据命题的真假，结合一元二次不等式恒成立与二次函数的性质分别解命题p和q，即可求解. 【详解】当命题为真命题时，对任意的正数命题为假命题时，； 当命题为假命题时，存在实数，使，， 故命题都为假命题时，实数的取值范围是． 12．（2024·全国“枫叶希望杯”高一竞赛）方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 【答案】a≤1 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 13．（2024·全国“枫叶希望杯”高二竞赛）已知，，，，且，均为真，实数的取值范围为 ． 【答案】 【来源】山东省聊城市文苑中学2019-2020学年高二上学期第四次考试数学试题 【分析】根据不等式恒成立和一元二次方程有实数解分别求出的范围，再求交集． 【详解】，，，时，，时，， 时，（时取等号），，时，（时，　取等号），，∴，∴， ，，则，， ，均为真，则． 14．（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02常用逻辑用语 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 充分条件与必要条件的判断 3 考点二 充分、必要、充要条件的探求 3 考点三 充分、必要、充要条件的证明 4 考点四 由充分、必要条件求参 6 考点五 全称量词命题与存在量词命题的否定 7 考点六 全称量词命题与存在量词命题及其否定的真假 8 考点七 由全称量词命题与存在量词命题真假求参 9 考点八 含有一个量词的命题与充分必要性的综合 10 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点01 充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 若，则是的充分条件，是的必要条件． 若，则是的充要条件（充分必要条件）． 知识点02 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 2．全称量词命题与存在量词命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个，使成立 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个x0，使成立 【熟记重要结论】 1．集合法与充分性、必要性 若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 总结：小推大，大不可推小． 2．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 3.命题否定真假的判断 因为命题p与非p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假． 考点一 充分条件与必要条件的判断 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．“实数”是“集合恰有一个元素”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．给出下列命题： ①已知集合，则集合的真子集个数是7； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 ④设，则“”是“”的必要不充分条件 其中所有正确命题的序号是 ． 考点二 充分、必要、充要条件的探求 6．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 8．“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 9.（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 10．设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 11．已知是的充分非必要条件，是的必要条件，是的必要条件， 那么​的一个 条件是. (从 “充分非必要、必要非充分、充要和既不充分也不必要” 中选一个) 考点三 充分、必要、充要条件的证明 12．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 13．已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 14．已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 15．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 考点四 由充分、必要条件求参 16．已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 17．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 18．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19．已知条件p： (1)若，求实数的值； (2)若q是的充分条件，求实数的取值范围． 20.已知集合 (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 考点五 全称量词命题与存在量词命题的否定 21．若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 22．命题“任意实数，都有”的否定是（    ） A． B． C． D． 23．设命题且，则的否定为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 24．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 考点六 全称量词命题与存在量词命题及其否定的真假 25.关于命题：“，”，下列判断正确的是（   ） A．该命题是全称量词命题，且为假命题 B．该命题是存在量词命题，且为真命题 C．：， D．：， 26．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 27．已知命题，；命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 28．已知命题，命题，则（    ） A．命题和命题都是真命题 B．命题的否定和命题都是真命题 C．命题的否定和命题都是真命题 D．命题的否定和命题的否定都是真命题 29．下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点七 由全称量词命题与存在量词命题真假求参 30．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 31．若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 34．已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 35．设 (1)若命题：是假命题，求m的取值范围； (2)若命题： 是真命题，求m的取值范围. 考点八 含有一个量词的命题与充分必要性的综合 36．（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 37．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．命题，则命题p的否定是 B．“”是“”的必要条件 C．若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 38．（多选）下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 39.设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 1．（2025全国章鱼杯联赛）设为实数，则是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·厦门大学强基计划）对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 3．（2024·全国章鱼杯联考）设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的必要不充分条件 4.（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一上冬季联赛）若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）下列命题是假命题的是（    ） A．命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”； B．若命题p:，则：； C．若为真命题，则p，q均为真命题； D．“x>2”是“”成立的充分不必要条件. 8．（2024·全国集英苑冬季竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·“同济大学杯”高一联赛）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·中国科大强基计划）数列，，则命题“，，”的否定是 ． 11．（2023·安徽省十校联盟高二竞赛）已知命题：对任意的正数，有，命题：不存在实数，使．若命题都为假命题，则实数的取值范围是 ． 12．（2024·全国“枫叶希望杯”高一竞赛）方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 13．（2024·全国“枫叶希望杯”高二竞赛）已知，，，，且，均为真，实数的取值范围为 ． 14．（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$