专题09 随机事件与概率（竞赛培优专项训练，8大考点+强基竞赛）高一数学人教A版全国通用

专题09 随机事件与概率 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 用频率估计概率 3 考点二 随机事件的运算 4 考点三 互斥事件与对立事件的辨别 4 考点四 古典概型 5 考点五 互斥事件、对立事件的概型 6 考点六 游戏的公平性 7 考点七 利用频率估算概率 8 考点八 概率与统计的综合 9 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题13道） 【归纳重点知识】 知识点01 样本空间和随机事件 1.样本点和有限样本空间 定义 表示符号 样本空间 将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间 Ω 样本点 样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点 ω 有限样 本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间 Ω 2.随机事件 定义 随机 事件 把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示 必然 事件 样本空间Ω包含了所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件 不可能 事件 空集⌀不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称⌀为不可能事件 3.随机事件的运算 含义 符号表示 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B 互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝⌀ 对立事件 A与B必有一个发生，但不可能同时发生 A∪B＝Ω，A∩B＝⌀ 知识点02 频率与概率 1.频率的稳定性：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 2.频率稳定性的作用：可以用频率估计概率P(A). 知识点03 古典概型 1．古典概型的特点 ①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限； ②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 2.古典概型的概率计算公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝. 3.互斥事件有一个发生的概率 如果事件与事件互斥,那么 【说明】古典概型中的基本事件都是互斥的，确定样本空间的方法主要有列举法、列表法与树状图法. 知识点04 几何概型（拓展） 1.几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的两大特点 ①无限性，即试验中所有可能出现的基本事件只有无限个，即样本空间Ω中的元素个数是无限的； ②等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。 3.几何概型的概率公式 P（A）= 【熟记重要结论(二级结论)】 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 3.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质4:如果,那么. 性质5:设是一个随机试验中的两个事件,我们有 考点一 用频率估计概率 1.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 2.在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 3.某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 考点二 随机事件的运算 4抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5.(多选题)某人连续投篮三次,每次投一球,记事件A为“三次都投中”,事件B为“三次都没投中”,事件C为“恰有两次投中”,事件D为“至少有两次投中”,则(　　) A.A⊆D　　　　B.B∩D≠⌀ C.A∪C=D　　　　D.B∩=B 6．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 互斥事件与对立事件的辨别 7.7个除颜色外其他都相同的小球中,有3个红球,4个白球,从中任意取出3个小球,则事件“至少有2个白球”的对立事件是(　　) A.至多有1个白球　　　　B.至多有1个红球 C.都是红球　　　　D.都是白球 8.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 9.(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 考点四 古典概型 10.集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 11.如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 12．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（    ） A． B． C． D．1 13．现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 14．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 15．如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（    ） A． B． C． D． 16．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 17.若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为 . 18.某科研管理部门拟了解下辖的甲、乙两个科研所对重点领域项目的推进情况以便后期工作实施，准备用分层抽样的方法从两个科研所中抽取5名科技工作者进行调研.已知两个科研所的人数分别为480人，320人. (1)应从甲、乙两个科研所中分别抽取多少人? (2)设抽出的5个人分别用，，，，表示，现从中随机抽取2名科研工作者就某一重大项目进行主题发言，求“抽取的2人来自不同科研所”的概率. 考点五 互斥事件、对立事件的概型 19.某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 20.某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 21.某地区居民血型的分布为型型型型.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（    ） A． B． C． D． 22．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 23．某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 . 考点六 游戏的公平性 24．某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 25．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 26．（多选）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色 取出的球是黑球 取出的两个球同色 →甲胜 →甲胜 →甲胜 取出的两个球不同色 取出的球是白球 取出的两个球不同色 →乙胜 →乙胜 →乙胜 问其中公平的游戏是（   ） A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 27．(多选)为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 28．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率. (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 考点七 利用频率估算概率 29．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 30．现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 31．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 32．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 33．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 考点八 概率与统计的综合 34．开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 35．中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 36.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片,为了解芯片的某项指标值,从这两种芯片中各抽取100件进行检测,获得该项指标值的频率分布直方图如图所示(图中各分组区间除最后一组为闭区间外,其余均为左闭右开区间): 假设数据在组内均匀分布,以样本估计总体,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)现采用分层随机抽样的方式,从甲型号芯片指标值在[70,90)内的抽取2件,乙型号芯片指标值在[50,70]内的抽取4件,再从这6件中任取2件,求这2件的指标值分别在[50,60)和[70,80)内的概率; (2)根据检测结果确定该指标值的一个临界值c,且c∈[50,60],某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产M型手机、N型手机各1万部,有以下两种方案可供选择: 方案一:将甲型号芯片应用于M型手机,其中该指标值小于或等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元;将乙型号芯片应用于N型手机,其中该指标值大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元; 方案二:重新检测所用的全部芯片,会避免方案一的损失费用,但检测费用共需要101万元. 请从科技公司的角度考虑,选择合理的方案,并说明理由. 1．（2024·清华大学强基计划）圆周上，，…，七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公共点的概率是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·清华大学强基计划）从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（    ）． A．进行4次这样的操作回到A的概率为 B．进行2次这样的操作回到A的概率为 C．进行4次这样的操作回到A的概率为 D．进行2次这样的操作回到A的概率为 3．（2024·河南灵宝市精英对抗赛）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ） ① ② ③ A． B． C． D． 4．（多选）（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·东南大学强基计划）将长度为的线段分成3段，则分成的段恰好能拼成三角形的概率为_____． 6．（2024·厦门大学强基计划）在30以内的所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概率是______. 7．（2025·重庆高中数学联赛初赛）从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为_______. 8.(2024·全国高中数学联赛吉林预赛)设集合.若的子集满足: 若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为___________________. 9 .(2024·全国高中数学联赛内蒙古初赛)10．从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为____________. 10.（第十届高 “枫叶新希望杯”竞赛）在区间内任取的一个实数在函数减区间内的概率为______． 11．（2024·湖南邵阳竞赛）一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ______． 12．（2024·清华大学强基计划）圆上7点所成线段中任取两条，这两条线段无公共点的概率为____？ 13．（2023·清华大学强基计划）11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？ 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 随机事件与概率 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 用频率估计概率 3 考点二 随机事件的运算 4 考点三 互斥事件与对立事件的辨别 5 考点四 古典概型 6 考点五 互斥事件、对立事件的概型 11 考点六 游戏的公平性 13 考点七 利用频率估计概率 16 考点八 概率与统计的综合 18 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题13道） 【归纳重点知识】 知识点01 样本空间和随机事件 1.样本点和有限样本空间 定义 表示符号 样本空间 将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间 Ω 样本点 样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点 ω 有限样 本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间 Ω 2.随机事件 定义 随机 事件 把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示 必然 事件 样本空间Ω包含了所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件 不可能 事件 空集⌀不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称⌀为不可能事件 3.随机事件的运算 含义 符号表示 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B 互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝⌀ 对立事件 A与B必有一个发生，但不可能同时发生 A∪B＝Ω，A∩B＝⌀ 知识点02 频率与概率 1.频率的稳定性：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 2.频率稳定性的作用：可以用频率估计概率P(A). 知识点03 古典概型 1．古典概型的特点 ①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限； ②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 2.古典概型的概率计算公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝. 3.互斥事件有一个发生的概率 如果事件与事件互斥,那么 【说明】古典概型中的基本事件都是互斥的，确定样本空间的方法主要有列举法、列表法与树状图法. 知识点04 几何概型（拓展） 1.几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的两大特点 ①无限性，即试验中所有可能出现的基本事件只有无限个，即样本空间Ω中的元素个数是无限的； ②等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。 3.几何概型的概率公式 P（A）= 【熟记重要结论(二级结论)】 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 3.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质4:如果,那么. 性质5:设是一个随机试验中的两个事件,我们有 考点一 用频率估计概率 1.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 2.在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【答案】C 【解析】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 3.某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【解析】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 考点二 随机事件的运算 4抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 5.(多选题)某人连续投篮三次,每次投一球,记事件A为“三次都投中”,事件B为“三次都没投中”,事件C为“恰有两次投中”,事件D为“至少有两次投中”,则(　　) A.A⊆D　　　　B.B∩D≠⌀ C.A∪C=D　　　　D.B∩=B 【答案】ACD 【解析】事件D“至少有两次投中”包含“恰有两次投中”和“三次都投中”,即A⊆D,故A正确; 事件B“三次都没投中”与事件D“至少有两次投中”的交事件为不可能事件,即B∩D=⌀,故B错误; 事件A“三次都投中”与事件C“恰有两次投中”的和事件为“至少有两次投中”,即事件D,故C正确; 事件为“至多有一次投中”,与事件B“三次都没投中”的交事件为“三次都没投中”,即事件B,故D正确. 6．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 考点三 互斥事件与对立事件的辨别 7.7个除颜色外其他都相同的小球中,有3个红球,4个白球,从中任意取出3个小球,则事件“至少有2个白球”的对立事件是(　　) A.至多有1个白球　　　　B.至多有1个红球 C.都是红球　　　　D.都是白球 【答案】A 【解析】由题意知,3个小球中至少有2个白球包含的情况为2白1红、3白,所以其对立事件包含的情况为3红、2红1白,即至多有1个白球. 8.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况， 设（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）. 设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件， 则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色）， 则，，和是互斥不对立事件，故①正确； ②设2张卡片恰有1 张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， 则，，和是互斥不对立事件，故②正确； ③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， （蓝色，蓝色），则，， 得到和是不互斥不对立事件，故③不正确； ④设2 张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，， 得到和是对立事件，故④不正确. 9.(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】ABC 【解析】由题知与不可能同时发生，所以与互斥，A正确； 事件包含基本事件，事件包含基本事件， 因此，，B正确； 事件包含基本事件，故，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误． 考点四 古典概型 10.集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】组成两位数的样本空间，有11个； 样本点这个两位数是奇数的两位数为，有5个. 故所求概率为. 故选：C 11.如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦， 记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为， 从八卦中任取两卦，一共有种， 其中满足阳线之和为的有，，，，，共种， 故两卦中阳线之和为的概率. 故选：B 12．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】从中随机抽取三个不同的数，共有种等可能的情况： ①抽取，则，剩余数为，，此时； ②抽取，则，剩余数为，，此时； ③抽取，则，剩余数为，，此时； ④抽取，则，剩余数为，，此时； 在总共种等可能的情况中，满足的情况有种， 因此 13．现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是偶函数； 对于定义域为， 令，则， 是非奇非偶函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法, 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种， 所以，所求概率. 故选：D 14．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【解析】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图. 例如，对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中； 对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种， 这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：B. 15．如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能. 先固定中间，有如图所示的四种情形，这四种情形只有一种可以拉成结， 将这四种情形翻转得到另外四种情形， 所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为. 故选：C 16．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 【答案】/ 【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含，，，，，，，，，共10个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率． 17.若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为 . 【答案】 【解析】由集合，可得集合的非空子集有个， 其非空子集中，具有“对称特征”的子集有，共有7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为. 18.某科研管理部门拟了解下辖的甲、乙两个科研所对重点领域项目的推进情况以便后期工作实施，准备用分层抽样的方法从两个科研所中抽取5名科技工作者进行调研.已知两个科研所的人数分别为480人，320人. (1)应从甲、乙两个科研所中分别抽取多少人? (2)设抽出的5个人分别用，，，，表示，现从中随机抽取2名科研工作者就某一重大项目进行主题发言，求“抽取的2人来自不同科研所”的概率. 【解析】（1）由已知，两个科研所的人数之比是3：2， 采用分层抽样的方法抽取5名科技工作者， ∴应从甲、乙两个科研所分别抽取3人和2人． （2）抽出的5个人分别用，，，，表示，记甲科研所的3人为，，，乙科研所的2人为，， 则从中随机抽取2名科研工作者共有10种，分别为： {，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}． 设M为事件“抽取的2人来自不同科研所”， 则事件M包含的样本点有6种，分别为： {，}，{，}， {，}，{，}，{，}，{，}． ∴事件M发生的概率． 考点五 互斥事件、对立事件的概型 19.某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从三个组中各随机选1人参加文艺汇演,则共有种可能， 设事件:和不全被选中,则事件的对立事件共有三种可能, 所以，所以， 故选：D 20.某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件， 因为“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为， 则“抽到丙级品”的概率为. 故选：A 21.某地区居民血型的分布为型型型型.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该地区居民血型的分布为型型型型.， 能为型的病人输血的有型和型， 所以能为该病人输血的概率为， 故选：C. 所以“抽取的2人来自不同科研所”的概率为. 22．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，又， 所以，所以. 23．某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 . 【答案】 【解析】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 考点六 游戏的公平性 24．某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 【答案】B 【解析】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 25．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【解析】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 26．（多选）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色 取出的球是黑球 取出的两个球同色 →甲胜 →甲胜 →甲胜 取出的两个球不同色 取出的球是白球 取出的两个球不同色 →乙胜 →乙胜 →乙胜 问其中公平的游戏是（   ） A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 【答案】AC 【解析】游戏1中，取2个球的所有可能情况为（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3），（黑1，白），（黑2，白），（黑3，白）， 所以甲胜的可能性为，故游戏是公平的，A正确； 游戏2中，显然甲胜的可能性为，游戏是公平的，C正确； 游戏3中，取2个球的所有可能情况为（黑1，黑2），（黑1，白1），（黑2，白1），（黑1，白2），（黑2，白2），（白1，白2）， 所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的，B、D不正确． 故选：AC. 27．(多选)为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（   ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A．4 B．12 C．16 D．20 【答案】ABD 【解析】第一步，根据题目，我们知道正n面体的骰子有 n个面，每个面的点数分别为1，2，...，n，投掷后每个点数出现的概率相等. 第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形. 第三步，设正n面体的每个面都是正m边形，每个顶点连接k条棱， 所以，则，所以， 又，且不能同时大于3，所以或， 解得或或或或， 我们可以得出n的取值应该是4 （正四面体）、6 （正六面 体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20 （正二十面体）. 故选：ABD 28．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率. (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 【解析】（1）分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4， 则甲、乙抽到牌的所有情况为， 共12种不同的情况. （2）事件，故； （3）甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况， 因此甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此，所以此游戏不公平. 考点七 利用频率估计概率 29．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 30．现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 31．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【解析】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 32．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【解析】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 33．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 考点八 概率与统计的综合 34．开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 【解析】（1）∵第三组的频率为， ， 众数为， 又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为0.200， ∴前三组的频率之和为， ∴这200名业主评分的中位数为85； （2）由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为， ∴采用分层抽样法抽取5人，评分在的有3人，评分在有2人， 设评分在的3人分别为，，；评分在的2人分别为，， 从5人中任选2人的所有可能情况共10种：，，，，，，，，，， 其中选取的2人中至少有1人的评分的情况有：，，，，，，共7种． 故这2人中至少有1人的评分在的概率为． 35．中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得， 解得，即续航能力在区间内的频率为， 所以续航能力在区间内的实验次数为次. （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里. （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为， 所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验， 则在中的有1次实验，在中的有6次实验， 设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为， 可得 所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法， 设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”， 可得，共有6个基本事件， 所以事件的概率为 可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为. 36.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片,为了解芯片的某项指标值,从这两种芯片中各抽取100件进行检测,获得该项指标值的频率分布直方图如图所示(图中各分组区间除最后一组为闭区间外,其余均为左闭右开区间): 假设数据在组内均匀分布,以样本估计总体,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)现采用分层随机抽样的方式,从甲型号芯片指标值在[70,90)内的抽取2件,乙型号芯片指标值在[50,70]内的抽取4件,再从这6件中任取2件,求这2件的指标值分别在[50,60)和[70,80)内的概率; (2)根据检测结果确定该指标值的一个临界值c,且c∈[50,60],某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产M型手机、N型手机各1万部,有以下两种方案可供选择: 方案一:将甲型号芯片应用于M型手机,其中该指标值小于或等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元;将乙型号芯片应用于N型手机,其中该指标值大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元; 方案二:重新检测所用的全部芯片,会避免方案一的损失费用,但检测费用共需要101万元. 请从科技公司的角度考虑,选择合理的方案,并说明理由. 【解析】(1)由题中频率分布直方图及分层随机抽样得,从甲型号芯片指标值在[70,80)和[80,90)内的各抽取1件,分别记为A和B,乙型号芯片指标值在[50,60)和[60,70]内的分别抽取3件和1件(这两组频率之比为0.3∶0.1=3∶1),分别记为C1,C2,C3和D, 从这6件中任取2件的样本空间Ω={AB,AC1,AC2,AC3,AD,BC1,BC2,BC3,BD,C1C2,C1C3,C1D,C2C3,C2D,C3D},共15个样本点, 记事件E=“这2件的指标值分别在[50,60)和[70,80)内”,则E={AC1,AC2,AC3},共3个样本点, 故P(E)==. (2)设将甲、乙两种型号芯片分别应用于M型、N型手机时,该科技公司的损失费用为y万元, y=700×[0.002×10+0.005×(c-50)]×10 000÷10 000+300×[0.01×10+0.03×(60-c)]×10 000÷10 000=409-5.5c,c∈[50,60], 因此当50≤c<56时,y>101;当c=56时,y=101;当56<c≤60时,y<101(方案二的检测费用为101万元,故将y与101作比较), 所以当临界值c∈[50,56)时,选择方案二;当临界值c=56时,选择方案一和方案二均可;当临界值c∈(56,60]时,选择方案一. 1．（2024·清华大学强基计划）圆周上，，…，七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公共点的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】共条线段，选出两条有种方法， 任意四个点对应两组不相交的线段，有组， 因此，任选两条线段，它们无公共点的概率为． 故选：D. 2．（2024·清华大学强基计划）从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（    ）． A．进行4次这样的操作回到A的概率为 B．进行2次这样的操作回到A的概率为 C．进行4次这样的操作回到A的概率为 D．进行2次这样的操作回到A的概率为 【答案】D 【解析】每次操作有3种不同的路线，2次操作，有种路线，其中有3条可以回到A点，因此进行2次这样的操作回到A点的概率为，B错D对； 4次操作，有种路线，如下图所示，设第次操作后恰好走到点的方法数为，由对称性可知第次操作后恰好走到三点的方法数相同，设为，恰好走到三点的方法数也相同，设为，设第次操作后恰好走到点的方法数为， 则，，由此算出， ∴，∴进行4次这样的操作回到点的概率为，AC选项都错． 故选：D 3．（2024·河南灵宝市精英对抗赛）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ） ① ② ③ A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，对三个部分着色由分布计数乘法原理共有种不同的方法， 设“任意有公共边的两块着不同颜色”,事件A共有种不同方法， 由古典概型的概率公式, 故选：A. 4．（多选）（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本事件，随机事件是样本空间的一个子集. 所以有和. 故选：BC 5．（2025·东南大学强基计划）将长度为的线段分成3段，则分成的段恰好能拼成三角形的概率为_____． 【答案】/ 【解析】设三段长分别为， 则总样本空间为，化简可得， 若段恰好拼成三角形， 则，所以， 作图如下： 其中满足不等式组的点在内，不含边界， 满足不等式组的点在内，不含边界， 则，. 则分成的段恰好能拼成三角形的概率为. 6．（2024·厦门大学强基计划）在30以内的所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概率是______. 【答案】 【解析】30以内的所有正素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29， 随机选取共有个，和为30的情况为，，，，，故所求概率. 7．（2025·重庆高中数学联赛初赛）从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为_______. 【答案】/ 【解析】因为梯形的面积为六边形的面积的一半，所以梯形的面积为， 又的面积为的面积的一半， 所以的面积为，的面积为，的面积为， 记正六边形的个顶点顺时针依次为， 易知从中选个不同的点构成的三角形只有三种不同的形状， 分别为（其中下标按模理解）， 其面积依次为，而形如的三角形共有个， 故构成的三角形的面积大于的概率为. 故答案为： 8.(2024·全国高中数学联赛吉林预赛)设集合.若的子集满足: 若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为___________________. 【答案】 【解析】集合非空子集的个数为， 具有性质的事件含有的基本事件为: ，共 7 个， 所以所取出的非空子集具有性质的概率为. 故答案为： 9 .(2024·全国高中数学联赛内蒙古初赛)10．从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为____________. 【答案】 【解析】从1，2，，11中任取三个不同的数，则不同的组合有共有种， 能构成等差数列不同的组合的有种， 所以这三个数可以构成等差数列的概率为. 10.（第十届高 “枫叶新希望杯”竞赛）在区间内任取的一个实数在函数减区间内的概率为______． 【答案】/0.5 【解析】当时，，由、， 得、，因此函数的递减区间为与， 两个递减区间的长度和为，而区间的长度为，所以所求概率为. 故答案为： 11．（2024·湖南邵阳竞赛）一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ______． 【答案】 【解析】画出树状图: 由树状图可知：基本事件的总数共有16种， 其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种， 所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为. 12．（2024·清华大学强基计划）圆上7点所成线段中任取两条，这两条线段无公共点的概率为？ 【答案】 【解析】圆上7点形成条线段，从中任取两条线段有种方法， 任意四个点对应两组不相交的线段，故两条线段无公共点的有种方法， 所以任取两条线段，它们无公共点的概率为. 13．（2023·清华大学强基计划）11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？ 【答案】 【解析】设为“依次取出，最后只剩红球”，为“依次取出，最后一只为红球”， 下证：中含有的基本事件与含有的基本事件一样多. 设为中的基本事件，则至少余有一个红球且没有黑球， 故为中的基本事件， 设为中的基本事件，则的最后一球为红球， 则也为中基本事件， 故中含有的基本事件与含有的基本事件一样多. 故问题转化为求，由古典概型的概率公式可得， 故最后只剩下红球的概率为. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $