第一章 反比例函数（复习课件）数学鲁教版五四制九年级上册

单元复习课件 第一章 反比例函数 鲁教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解反比例函数的定义与图象特征，掌握反比例函数的性质与变化规律。 3.应用反比例函数解决实际问题。 2.能根据实际问题建立反比例关系模型。 单元学习目标 核心公式 反比例函数 对称性 关键限制 轴对称 k > 0：𝑦随 𝑥增大而减小 定义与 表达式 y= 图象类型 实际应用 k < 0：𝑦随 𝑥增大而增大 函数图象 函数性质 比例关系 增减性 常见场景 解题步骤 中心对称 单元知识图谱 考点一、 定义与表达式 形如 ________（其中 k 为常数且 k≠0 ）的函数称为反比例函数。 2.反比例函数的图象是_______，它有两个分支，这两个分支分别位于第________象限，或第__________象限， 它们关于_____对称。 y= ​ 双曲线 一、三 二、四 原点 考点串讲 考点一、 定义与表达式 3.由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0， 所以，它的图象与x轴、y轴都_____交点, 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 没有 考点串讲 考点二、 图像与性质 反比例函数 y= k的符号 k>0 k<0 图像 y o x y x 性质 ①取值范围x≠0，y≠0; ②当k>0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而______。 ①取值范围x≠0。y≠0; ②)当k<0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而_______. 对称 即使轴对称图形，又是____________， 两条对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心是_________. 减小 增大 中心对称图形 原点 考点串讲 考点三、反比例函数解析式的确定与k的几何意义 待定系数法 1. (1)_____________。 由于在反比例函数y=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 2. |k| (2)k的几何意义: 过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、垂足为M、N 则矩形 PMON 的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=________。 考点串讲 考点四、 反比例函数的实际应用 (1)行程问题 _______=路程:时间 (2)压强问题 压强=_________ ：受力面积 （3）工程问题 工作效率=工作量:工作时间 (4)电学问题 _______=电压:电流 速度 压力 电阻 考点串讲 例1：  题型一、反比例函数的定义 D 解析：　 由题意得  ≠0,解得m≠0且m≠2.故选D. 1.若y = 是反比例函数,则m 满足的条件是 (　    ) A.m≠0　　　     B.m=2 C.m=2或m=0　　　     D.m≠2且m≠0 题型剖析 题型一、反比例函数的定义 反比例函数定义的识别技巧 第一种： 标准形式判断 第二种：根据条件求解析式 题型剖析 变式： 题型一、反比例函数的定义    A 解析：选项A,∵S=xy,∴y=  ,y是x的反比例函数;选项B, ∵l=2(x+y),∴y= -x,y是x的一次函数;选项C,∵S=a2,∴S不是a的 反比例函数;选项D,∵C=4a,∴C是a的正比例函数.故选A. 下列问题中,两个变量成反比例函数关系的是(　    ) A.矩形面积S一定,长x和宽y的关系 B.矩形周长l一定,长x和宽y的关系 C.正方形面积S和边长a之间的关系 D.正方形周长C和边长a之间的关系 题型剖析 题型二、根据实际问题列反比例函数表达式 例2： 解析：根据“路程=速度×时间”可得v关于t的函数表达式为v=  ; 当v=60时,60=  ,解得t=2,∴v关于t的函数表达式为v=  , 当汽车匀速行驶的速度为60 km/h时,需要2 h到达景点. 五一期间,明明一家自驾从家到某景点旅游. 查询导航得知,明明家到景点的路程是120 km.若驾驶汽车匀 速行驶的速度为v km/h,行驶的时间为t h,则v关于t的函数表 达式为　　 　    .若汽车匀速行驶的速度为60 km/h, 则需要　　　    小时到达景点. v=  2 题型剖析 题型二、根据实际问题列反比例函数表达式 根据实际问题列反比例函数表达式的技巧 （1）判断问题是否属于反比例关系 关键特征：两个变量的乘积为定值。 （2）应用流程：识别反比 → 设表达式 → 求 k → 解问题 → 验结果。 （3）口诀：“乘积定，反比成” 题型剖析 题型二、根据实际问题列反比例函数表达式 变式：    在温度不变的条件下,气体的压强y(kPa)和气体体积x(mL)之间的几组对应数值如下表所示,则可以反映y与x之间的关系的式子是 (　   ) C 体积x(mL) 100 80 60 40 20 压强y(kPa) 60 75 100 150 300 A.y=6 000x　　　     B.y=3 000x C.y= 　　　     D.y=  解析　∵100×60=80×75=60×100=40×150=20×300=6 000, ∴xy=6 000,∴可以反映y与x之间的关系的式子是y= .故选C. 题型剖析 题型三、利用待定系数法求 反比例函数表达式 例3： 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A) 与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.当R=9 Ω时,I=4 A, 求这个反比例函数的解析式. 解析 ：  设电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)的函数解析式为I= , 当R=9 Ω时,I=4 A, ∴4=  , ∴U=36, ∴I=  (R>0). 题型剖析 题型三、利用待定系数法求 反比例函数表达式 利用待定系数法求反比例函数表达式的步骤 1.设出反比例函数的一般形式 2. 代入已知点的坐标求 𝑘 3. 验证与简化 5. 写出最终函数表达式 题型剖析 变式： 题型三、利用待定系数法求 反比例函数表达式 如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2. (1)求y关于x的函数解析式. (2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离. 题型剖析 变式： 题型三、利用待定系数法求 反比例函数表达式 解析     (1)由题意设y =  (k≠0), 把x =6,y =2代入,得k =6×2=12, ∴y关于x的函数解析式为y =  . (2)把y=3代入y =  ,得3=  ,解得x =4. ∴小孔到蜡烛的距离为4 cm. 题型剖析 题型四、反比例函数的图象 例4： 解析：  　∵y= 的图象位于第一、三象限, ∴k+2 024>0, 解得k>-2 024. 在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y = 的图象位于第一、三象限,则k的取值范围是　　    .  k>-2 024 题型剖析 题型四、反比例函数的图象 反比例函数图象的解题技巧 （1）图象形状、对称性、增减性 （2）总结口诀 “先看 k 定象限，对称增减记心间； 交点联立解方程，实际问题限范围。” 题型剖析 题型四、反比例函数的图象 变式： (1)平面直角坐标系中,点A(7-2m,5-m)在第二象限,且m为整 数,求过点A的反比例函数的解析式. (2)若反比例函数y =  的图象位于第二、四象限,正比例函 数y = x的图象经过第一、三象限,求整数k的值. 题型剖析 题型四、反比例函数的图象 解析：　  (1)∵点A(7-2m,5-m)在第二象限, ∴  解得  <m<5, ∵m为整数,∴m=4,∴A(-1,1), 设过点A的反比例函数的解析式为y =  (k≠0), 则  =1,解得k =-1, ∴过点A的反比例函数的解析式为y =- . (2)∵反比例函数y = 的图象位于第二、四象限, 题型剖析 例5： 题型五、反比例函数的实际应用 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传,其日销售量y(件)与上市的天数x(天)之间成正比例函数关系,广告停止后,日销售量y(件)与上市的天数x(天)之间成反比例函数关系(如图所示),现已知上市20天时,日销售量为100件. (1)求y与x的函数关系式. 题型剖析 例5： 题型五、反比例函数的实际应用 (2)广告合同约定,当日销售量不低于80件,并且持续天数不 少于10天时,广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”,那么本 次广告设计师能否拿到“特殊贡献奖”?并说明理由. 题型剖析 题型五、反比例函数的实际应用 解析： (1)当0≤x≤20时,设y=k1x(k1≠0),把(20,100)代入,得100=20k1,解得k1=5.∴y =5x. 当x≥20时,设y =  (k2≠0),把(20,100)代入,得100=  , 解得k2=2 000.∴y = . ∴y =  (2)本次广告设计师能拿到“特殊贡献奖”.理由:当0≤x≤20 时,由5x≥80,解得x≥16, 　　 题型剖析 题型五、反比例函数的实际应用 解析： ∴16≤x≤20,∴当0≤x≤20时,日销售量不低于80件的天数 有5天. 当x>20时,由 ≥80,解得x ≤25, ∴20<x≤25,∴当x>20时,日销售量不低于80件的天数有5天. ∴共有5+5=10(天), 因此本次广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”. 　　 题型剖析 题型五、反比例函数的实际应用 反比例函数实际应用问题的解题技巧 1. 明确变量关系 2. 设反比例函数表达式 3. 求比例系数 k 4. 根据问题求解目标 题型剖析 题型五、反比例函数的实际应用 变式： 把一定体积的钢锭拉成钢丝,钢丝的总长度y(m)是其横截面面积x(mm2)的反比例函数,其图象如图所示. (1)求y与x的函数关系式. (2)当钢丝总长度不小于80 m时,钢丝的横截面面积最大是多少? 题型剖析 题型五、反比例函数的实际应用 变式：  (1)设y与x的函数关系式为y = (k≠0),将点(4,32)代入, 得32=  ,解得k=128. ∴y与x的函数关系式是y =  . (2)当y≥80时, ≥80, 解得x≤1.6,∵x>0,∴0<x≤1.6. ∴钢丝的横截面面积最大为1.6 mm2. 题型剖析 题型六、反比例函数与一次函数的综合应用 例6： 如图所示,如果函数y =-x与y =-  的图象交于A,B两点,过点A 作AC垂直于y轴,垂足为点C,则△ABC的面积为 (　    ) D A.1　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.4 解析：易知点A、B关于原点对称,∴点O为AB的中点,∴S△AOC=S△BOC,∵AC⊥y轴, ∴S△AOC= ×|-4|= ×4=2,∴S△ABC=2S△AOC=4.故选D. 题型剖析 题型六、反比例函数与一次函数的综合应用 反比例函数与一次函数的综合应用解题技巧 一、明确函数表达式 二、求函数交点（联立方程） 三、先求交点，再分区间讨论 题型剖析 题型六、反比例函数与一次函数的综合应用 变式： 如图,直线y=kx+b与双曲线y = 相交于A(1,2),B两点,与x轴相交于点C(4,0). (1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式. (2)连接OA,OB,求△AOB的面积. (3)直接写出当x>0时,关于x的不等式kx+b> 的解集.   题型剖析 题型六、反比例函数与一次函数的综合应用 变式： 解析   (1)将A(1,2),C(4,0)代入y=kx+b, 得  解得  ∴直线AC的函数表达式为y =- x+  . 将A(1,2)代入y = ,得m=2, ∴双曲线的函数表达式为y =  . 题型剖析 题型六、反比例函数与一次函数的综合应用 变式： (2)解  得  或  ∴点B 的坐标为  . ∴S△AOB=S△AOC -S△BOC = ×4×2- ×4×  =  . (3)由题中图象知,当1<x<3时,直线y=kx+b在双曲线 y =  的上方, ∴当x>0时,关于x的不等式kx+b>  的解集是1<x<3. 题型剖析 1． 关于正比例函数y=- x和反比例函数y=- 的说法,正确的是(　 ) A.自变量x的指数相同 B.比例系数相同 C.自变量x的取值范围相同 D.函数值y的取值范围相同 B 解析　两个函数的比例系数都是-  .故选B. 针对训练 2． 某校课外科技活动小组计划在校内规划一块三角形土地用于种植小麦,若规划的三角形土地的面积为20 m2,且一边长为x m,这条边上的高为y m. (1)求y关于x的函数表达式. (2)当x为5时,求y的值. 解析    (1)依题意得 xy=20,∴y= . (2)当x=5时,y=  =8, ∴当x=5时,y的值为8. 针对训练 3.已知y=y1+y2,若y1与x2成正比例关系,y2与x成反比例关系, 且当x=-1时,y =3;x=1时,y=-5,求y与x的函数关系式. 解析　由题意可设y1=k1x2(k1≠0),y2= (k2≠0), ∴y=k1x2+  , ∵当x=-1时,y=3,当x=1时,y=-5, ∴ 解得  ∴y与x的函数关系式为y=-x2-  . 针对训练 4． 在同一直角坐标系中,函数y =kx+1与y =- (k≠0)的图象大 致是(　    ) B 解析　当k>0时,函数y=kx+1的图象经过第一、二、三象限, 函数y=- 的图象位于第二、四象限;当k<0时,函数y=kx+1的 图象经过第一、二、四象限,函数y=-  的图象位于第一、三 象限.故选项B中的图象符合题意,故选B. A B C D 针对训练 5． 反比例函数y1=  ,y2= ,y3= 在同一坐标系中的图象如图所示,则k1,k2,k3的大小关系为(　    ) A.k3>k1>k2　　　    B.k1>k3>k2 C.k3>k2>k1　　　    D.k2>k1>k3 C 解析：由题图知,y3=  的图象在第三象限,y1=  ,y2=  的图象 在第四象限,∴k1<0,k2<0,k3>0,又当x=1时,y1=k1<y2=k2,∴k3>k2>k1. 故选C. 针对训练 6． 如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y = (a>1)的图象于A、B两点,过点B 作BD⊥y 轴,垂足为点D,若S△BCD =5,则a的值为 (　    )A.8　　　    B.9　　　    C.10　　　    D.11 D 解析：设点B的坐标为  , ∵S△BCD=5,点B在第一象限,∴ ×m×  =5, 解得a=11.故选D. 针对训练 7． 济郑高铁是山东与河南直连的一条高铁项目,打破了山东与河南之间高铁通行总是绕道的尴尬.济郑高铁山东段长170千米,则山东段铁路铺轨天数y(天)与平均每天铺轨量x(千米)之间的函数关系式是　　　    .   y= 解析　∵铺轨天数=山东段铁路长÷每天铺轨量, ∴y = . 针对训练 8． 如图,反比例函数y =  的图象经过平行四边形ABCD的顶点C,D, 若点A、点B、点C的坐标分别为(3,0),(0,4),(a,b),且a+b=7.5,则k的值是　　　    .   9 ∵四边形ABCD为平行四边形,点A的坐标为(3,0),点B 的坐标为(0,4),点C的坐标为(a,b), ∴点D的坐标为(3+a,b-4). ∵点C,D在反比例函数y=  的图象上, ∴ab=k,(3+a)(b-4)=k,∴3b-4a=12. 又∵a+b=7.5,∴a=1.5,b=6,∴k=ab=9. 故答案为9. 针对训练 9． 如图,点P是反比例函数 与正比例函数y=-2x的图象的交点,PQ垂直于x轴,垂足Q 的坐标为(2,0) (1)求这个反比例函数的解析式. (2)如果点M在这个反比例函数的图象上,且△MPQ的面积为8,求点M的坐标. 针对训练 9． 解析：(1)把x=2代入y=-2x得y=-4,∴P(2,-4),设这个反比例函数的解析式为y = (k≠0),将(2,-4)代入y =  ,可得k =2×(-4)=-8, ∴反比例函数的解析式为y =-  . (2)∵Q(2,0),P(2,-4),∴PQ=4, ∴ PQ· |xM-xQ|=8,即  ×4×|xM-2|=8, ∴xM-2=4或xM-2=-4, ∴xM=6或xM=-2, 当xM=6时,yM=  =- , 当xM=-2时,yM= =4, ∴M 或(-2,4). 针对训练 ✅ 知识构建：反比例函数 定义与表达式→图像与性质→k的几何意义→综合应用 ✅ 思想方法： 数形结合、转化思想、分类讨论、建模思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $