精品解析：山东省济南市天桥区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷　

2024-2025学年山东省济南市天桥区七年级（下）期末 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国在广东省江门市新建的中微子实验室主体部分将于2025年8月正式运行．中微子的空间范围至少是，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的有（ ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1 6. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（ ）（精确到）． A. B. C. D. 7. 如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（ ） A B. C. D. 8. 从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A 16 B. 32 C. 64 D. 128 10. 如图1，四边形是长方形，动点从点出发，以的速度沿着运动至点停止，记点的运动时间为的面积为，其中与的关系如图2所示，那么下列说法错误的是(　　) A. B. 长方形的周长为 C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 计算：_________． 12. 如图，这是一个可以自由转动的转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是______． 13. 汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 14. 如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知直线，被直线所截，点为与的交点，于点，，，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：∵（已知）， ∴ ① （ ② ）． 又∵（已知）， ∴ ③ ＝ ④ （ ⑤ ）． ∴（ ⑥ ）． 又∵（已知）， ∴ ⑦ （ ⑧ ）． ∴ ⑨ （ ⑩ ）． 18. 如图，点，，，在一条直线上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 19. 振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图中的奖牌对应的奖品如图所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． （1）某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会则该顾客获得元购物券的概率是______；获得元购物券的概率是______；不获奖的概率是______； （2）此商场某天有名顾客参与抽奖，请你估计一下抽到元购物券的大约有多少人？ 20. 周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： （1）根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； （2）若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 21. 如图，的顶点，，都在小正方形的格点上，利用网格线按下列要求画图或解答． （1）画，使它与关于直线成轴对称； （2）若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最小（保留作图痕迹）． 22. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是______； （2）出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； （3）整个送快递过程中，小李的最快速度是______米/分钟； （4）当快递员小李距离派送点米时，请直接写出小李所用时间． 23. 数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． （1）一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； （2）二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； （3）三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 24. 如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． （1）求证：≌； （2）试说明：； （3）如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市天桥区七年级（下）期末 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键，根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项B，C，D的图形均不能找到一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．   故选：A ． 2. 我国在广东省江门市新建的中微子实验室主体部分将于2025年8月正式运行．中微子的空间范围至少是，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，根据同底数幂的除法和幂的乘方法则，积的乘方法则，合并同类项法则逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、，运算正确； B、，结果应为，运算错误； C、与的指数不同，不是同类项，无法合并，因此运算错误； D、，结果应为，运算错误．   故选：A ． 4. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 5. 下列说法中，正确的有（ ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了补角定义，垂线的性质，平行公理等知识点，根据补角定义，平行线的性质，平行公理逐个判断即可．能熟记知识点的内容是解此题的关键． 【详解】解：同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，垂直是相交的特殊情况，故①说法错误； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②说法正确； 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故③说法正确； 同角或等角的补角相等，故④说法正确， 故正确的说法有3个． 故选：B． 6. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（ ）（精确到）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近， 故选：C． 7. 如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 8. 从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数，最后根据对顶角的性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， ， 故选：B 9. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 10. 如图1，四边形是长方形，动点从点出发，以的速度沿着运动至点停止，记点的运动时间为的面积为，其中与的关系如图2所示，那么下列说法错误的是(　　) A. B. 长方形的周长为 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】通过图②发现：、、时，的面积为的变化趋势发生变化得到长方形的长和宽，从而判断出、选项正确；秒时点在上运动根据三角形面积公式可判断正确；时，点可能在上，也可能在上，求出此时的值即可． 【详解】解：时，的面积越来越大， 时，动点在上运动， ． 时，的面积不变， 时，动点在上运动， ． A选项正确，不符合题意． 长方形的周长， B选项正确，不符合题意． ， 当秒时，动点在上运动，， C选项正确，不符合题意． ， ∴时，点在或上， 当点上时， ， 解得：， 当点在上时， ， 解得：， 平方厘米时，或． D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积公式，进行分类讨论是解决此类问题常用的方法． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 计算：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 如图，这是一个可以自由转动的转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了概率的求法，解题关键是利用了“概率=相应的面积与总面积之比”进行求解． 根据阴影区域所在扇形圆心角的度数除以进行求解． 【详解】解：根据题意可得：指针落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 13. 汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 14. 如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 根据．且，要构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：在中，，中，， 如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 故①正确，该选项符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故②是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故③正确，该选项符合题意； ， ， ， ， ， 故④正确，该选项符合题意； 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解： ． ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 17. 已知直线，被直线所截，点为与的交点，于点，，，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：∵（已知）， ∴ ① （ ② ）． 又∵（已知）， ∴ ③ ＝ ④ （ ⑤ ）． ∴（ ⑥ ）． 又∵（已知）， ∴ ⑦ （ ⑧ ）． ∴ ⑨ （ ⑩ ）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据垂直的定义可得，再根据角的加减运算可得，由对顶角相等可得，再根据同位角相等，两条直线平行即可证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴(垂直的定义)． 又∵（已知）， ∴＝(等式的性质)． ∴(对顶角相等)． 又∵（已知）， ∴(等量代换)． ∴ (同位角相等，两条直线平行)． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角的加减运算，对顶角，平行线的判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，点，，，在一条直线上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③，理由见解析． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】解：， ， 选择：， ， 在和中， ， ∴， ， ； 选择：无法求解； 选择： 在和中， ， ∴， ， ； 故答案为：或． 19. 振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图中的奖牌对应的奖品如图所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． （1）某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会则该顾客获得元购物券的概率是______；获得元购物券的概率是______；不获奖的概率是______； （2）此商场某天有名顾客参与抽奖，请你估计一下抽到元购物券的大约有多少人？ 【答案】（1），，； （2）人． 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，用样本估计总体，熟记概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出抽到元购物券的概率，进而可得出结论． 【小问1详解】 ∵共有种可能情况，获得元购物券的情况有种，获得元购物券的情况有种，不获奖的情况有种， 获得元购物券的概率为；获得元购物券的概率是；不获奖的概率是， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ∵共有种可能情况，获得元购物券的情况有种， 获得元购物券的概率为， 此商场某天有名顾客参与抽奖， 估计抽到元购物券的大约有：（人）． 答：估计抽到元购物券的大约有人． 20. 周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： （1）根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； （2）若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】（1）21.7 （2）要回收8米的风筝线． 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意， 在中，，，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：设此时风筝下降到点，由题意得， ∴， 在中，， ∴． ∴要回收8米风筝线． 21. 如图，的顶点，，都在小正方形的格点上，利用网格线按下列要求画图或解答． （1）画，使它与关于直线成轴对称； （2）若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，三角形面积； （1）分别作出点关于直线的对称点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算的面积； （3）连接交直线于，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【小问1详解】 解：如图1，为所作； 【小问2详解】 的面积； 【小问3详解】 如图2，点为所作． 22. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是______； （2）出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； （3）整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟； （4）当快递员小李距离派送点米时，请直接写出小李所用时间． 【答案】（1）时间； （2），； （3）； （4）分钟或分钟或分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象，由图象得出有用信息是解题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）根据图象可知 至 分钟速度最快； （4）分别求出在不同时段的速度，再根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：图中自变量是时间， 故答案为：时间； 【小问2详解】 解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了：分钟， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：整个送快递过程中，小李的最快速度是：米分钟， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，速度为米分钟， 当时，速度为， 当时，速度为米分钟， 设小李从家出发分钟时，离派送点的距离是米， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 即小李出发分钟或分钟或分钟后，离派送点的距离是米． 23. 数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． （1）一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； （2）二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； （3）三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【答案】（1），； （2），证明见解析； （3）结论不变，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线性质、直角三角形的性质以及角度之间的等量代换，解题的关键是通过作辅助线（如过点A作的垂线），将所求角度与已知角（）建立联系，利用角的和差关系进行推导． （1）观察表格数据，发现与的差值存在倍数关系，通过前两组数据推测出规律，代入数值计算得出 和的值．； （2）过点 A 作 的垂线，利用角平分线性质表示出，结合直角三角形中与的关系，通过进行等量代换，推导出； （3）同样过点A作BC的垂线，借鉴小问2的推导思路，通过角度之间的和差关系，证明即使点F在直线上（不包括），仍有． 【小问1详解】 由表中数据推测： ，． 故答案为：，； 【小问2详解】 结论：． 理由：如图，过点作于点． 则，① 平分， ，② ， ，③ 由①②③得， 故答案为：； 【小问3详解】 结论：． 理由：如图中，过点作于点． 与（2）证法过程完全相同可得结论：． 24. 如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． （1）求证：≌； （2）试说明：； （3）如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $