专题03 代数式的化简求值4大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题03 代数式的化简求值 目录 典例详解 类型一、整体代入求值 类型二、特殊值法代入求值 类型三、流程图与代数式求值 类型四、绝对值代数式求值 压轴专练 类型一、整体代入求值 分析待求代数式与已知条件的整体结构关系，将待求式变形，凑出已知条件中的整体，然后用已知整体的值直接代入变形后的式子，计算结果。 【例1】已知，，则 ． 【例2】当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【变式1-1】若，，则 ． 【变式1-2】若，且，则的值为 ． 【变式1-3】若，则的值是 ． 类型二、特殊值法代入求值 【例3】给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式，当时，可得，计算得；请你再给x赋不同的值，可计算得 ． 【例4】已知关于的多项式，其中为互不相等的整数． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为27，求e的值； (3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是33，求的值． 【变式2-1】已知：，则的值为（　　） A．124 B．125 C．126 D．127 【变式2-2】赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 【变式2-3】【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)； (2)． 类型三、流程图与代数式求值 【例5】按如图所示的程序进行计算，若输出y的值为4，则输入x的值为（   ） A．3 B．2 C． D．或2 【例6】按照如图所示的操作步骤，若输入，则最后输出的值为 ． 【变式3-1】我国古代数学名著《九章算术》里记载了程序框图的算法思路，如图所示，如果第一次输入的值是，这样下去第次计算输出的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果为215，则输入的x值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-3】开始输入的值为1，则第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为2，…．请你探索第2024次输出结果为 ． 类型四、绝对值代数式求值 根据已知条件或范围，判断绝对值内代数式的正负性，将原式化为普通代数式，化简后代入已知值计算，或通过方程求解参数后再求值。 若正负不确定，按临界值分区间讨论，再分别化简求值。 【例7】如果、表示有理数，且、满足条件，，，那么的值（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不是 【例8】已知，，且，则 ． 【变式4-1】若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 【变式4-2】已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 【变式4-3】已知，且，，求的值. 1．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（   ） A． B． C．9 D．256 2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 3．按如图所示的程序计算，若输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，按此程序进行计算，则第2025次得到的结果为 ． 4．已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为 ． 5．若且，则 6．已知，则的值为 ． 7．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示，例如当时，多项式的值记为，则． 已知，且．请解决以下问题： (1)________； (2)若，求的值： (3)若，求的值． 8．已知，求的值． 9．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 10．已知，． (1)求x，y的值； (2)若，求的值． 11．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 代数式的化简求值 目录 典例详解 类型一、整体代入求值 类型二、特殊值法代入求值 类型三、流程图与代数式求值 类型四、绝对值代数式求值 压轴专练 类型一、整体代入求值 分析待求代数式与已知条件的整体结构关系，将待求式变形，凑出已知条件中的整体，然后用已知整体的值直接代入变形后的式子，计算结果。 【例1】已知，，则 ． 【答案】15 【详解】解： ∵，， ∴， 故答案为：15． 【例2】当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴当时， ， 故选：B． 【变式1-1】若，，则 ． 【答案】16 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：16． 【变式1-2】若，且，则的值为 ． 【答案】18 【详解】解：设 ， 则，，， ∴， 解得， ∴把，，，代入，得： ， 把代入，得． 故答案为：18． 【变式1-3】若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：， ， 故答案为：． 类型二、特殊值法代入求值 【例3】给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式，当时，可得，计算得；请你再给x赋不同的值，可计算得 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：当时，， 给赋值，使得，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】已知关于的多项式，其中为互不相等的整数． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为27，求e的值； (3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是33，求的值． 【答案】(1)0 (2)3 (3) 【详解】（1）解：由为互不相等的整数，而， ∴， 即四个数中有两对相反数， ∴， 即； （2）解：当时，， 由于， ∴， ∴； （3）解：当时，有， 由（2）知， ∴， 即； 由（1）知，， ∴， ∴． 【变式2-1】已知：，则的值为（　　） A．124 B．125 C．126 D．127 【答案】D 【详解】解：根据已知等式，当，时，代入得： ， ， 故选：D． 【变式2-2】赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 【答案】 【详解】解：当时，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴得， ∴． 【变式2-3】【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)243 (2)122 【详解】（1）解：当时，左边，右边， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 类型三、流程图与代数式求值 【例5】按如图所示的程序进行计算，若输出y的值为4，则输入x的值为（   ） A．3 B．2 C． D．或2 【答案】A 【详解】解：∵输出y的值为4， ∴分两种情况：①，②， ①，求得：， ∵， ∴不符合题意， ②，求得：， 符合题意，不符合题意； 故选：A； 【例6】按照如图所示的操作步骤，若输入，则最后输出的值为 ． 【答案】 【详解】解：若输入，得到， 输入，得到， 则输出的值为． 故答案为：． 【变式3-1】我国古代数学名著《九章算术》里记载了程序框图的算法思路，如图所示，如果第一次输入的值是，这样下去第次计算输出的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一次输入的值是，输出的结果为； 第二次输入的值是时，输出的结果为； 第三次输入的值是时，输出的结果为； ， ∴每次输出的结果，，循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：． 【变式3-2】如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果为215，则输入的x值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如果输入的数经过一次运算就能输出结果，则 解得， 如果输入的数字经过两次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是71， 于是， 解得， 如果输入的数字经过三次运算才能输出结果，则第2次计算后的结果是53，第1次计算后的结果是17， 于是， 解得， 如果输入的数字经过四次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是5， 于是， 解得， 如果输入的数字经过五次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是1， 此时不是正整数， 综上所述，输入的的值可能是7，23，71， 故选：B． 【变式3-3】开始输入的值为1，则第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为2，…．请你探索第2024次输出结果为 ． 【答案】2 【详解】解：当开始输入的值为1时，第1次输出的结果为3， 第2次输出的结果为2， 第3次输出的结果为1， 第4次输出的结果为3，… 故数据每3次循环一轮， ， 第2024次输出的结果和第2次相同为2． 故答案为：2． 类型四、绝对值代数式求值 根据已知条件或范围，判断绝对值内代数式的正负性，将原式化为普通代数式，化简后代入已知值计算，或通过方程求解参数后再求值。 若正负不确定，按临界值分区间讨论，再分别化简求值。 【例7】如果、表示有理数，且、满足条件，，，那么的值（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不是 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，时，； 当时，时，； 综上，的值为或， 故选：． 【例8】已知，，且，则 ． 【答案】4或 【详解】解：∵， ∴，即或， ∵， ∴， ∵， ∴m与n同号，则可取或， ∴或， 故答案为：4或． 【变式4-1】若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 【答案】B 【详解】解：∵、、都为整数，且满足， ∴，或，； 当，时，； 当，时，； 综上：的值为1， 故选：B． 【变式4-2】已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 【答案】15 【详解】解：∵，， ∴，，， a，b，c三个数中有两负一正，当a，b为负，c为正数时， ； 当a，c为负，b为正数时， ； 当b，c为负，a为正数时， ； ， m共有3个不同的值，在这些不同的m值中，最小的值为， ， ∴， 故答案为：15． 【变式4-3】已知，且，，求的值. 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∴． 1．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（   ） A． B． C．9 D．256 【答案】A 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6， 为偶数，， 第3次输出的结果是3， 为奇数，， 第4次输出的结果是8， 为偶数，， 第5次输出的结果是4， 为偶数，， 第6次输出的结果是2， 为偶数，， 第7次输出的结果是1， 为奇数，， 第8次输出的结果是6， 综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1， ， 第2024次输出的结果是6． 故选：B． 3．按如图所示的程序计算，若输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，按此程序进行计算，则第2025次得到的结果为 ． 【答案】 【详解】解：第一次得到的结果为； 第二次得到的结果为； 第三次得到的结果为； 第四次得到的结果为； 第五次得到的结果为； 第六次得到的结果为； 第七次得到的结果为； 第八次得到的结果为 ，从第三次开始，每三次输出的结果为一个循环，依次为， ， 第2025次得到的结果为， 故答案为： ． 4．已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为 ． 【答案】23 【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足， ， ， ，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 不妨设，，，， 解得，，，， ，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 当，，，时，取得最小值，此时的值为23， 故答案为：23． 5．若且，则 【答案】或 【详解】解：， ，， ， ， ， ，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 6．已知，则的值为 ． 【答案】392 【详解】解：令，得：①； 令，得②， 得：， 即， 令，得， 则， ∴， 故答案为：392． 7．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示，例如当时，多项式的值记为，则． 已知，且．请解决以下问题： (1)________； (2)若，求的值： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）∵， ∴ ， 故答案为：； （2）∵ ∴ ∴， 即的值是0； （3）， ∴ ∴ ∴， ， 的值是． 8．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：设，则，，， ∴． 9．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 10．已知，． (1)求x，y的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或，或5 (2)或9 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴或，或5 （2）解：∵， ∴，或，， ∴，或，， 当，，∴； 当，，∴， 综上，的值为或9． 11．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）． 【详解】解：（1）当时，； 故答案为：； （2）当时， ， ， （3）当时， ， ， （4）由（2）知， 由（3）知， ①+②得：， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$