精品解析：辽宁省沈阳市浑南区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年下学期7月调研 七年级数学 试题满分120分，考试时长120分钟 注意事项： 1、答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2、考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3、考试结束，将答题卡交回． 4、本试卷包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 博物馆是历史见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其图案不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，8，15 C. 5，12，13 D. 5，5，11 5. 若，则为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6. 成语言简意赅，形象生动，使用广泛，是中华文化的瑰宝．下列成语反映的事件是随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 水中捞月 C 刻舟求剑 D. 瓮中捉鳖 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A B. C. D. 8. 如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. 长方形的周长为 C. 当秒时， D. 当时，秒 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 12. 当一个等腰三角形底角度数变化时，这个等腰三角形顶角的度数也随之发生了变化，若设这个等腰三角形底角的度数为，顶角的度数为，则与的关系式为_____． 13. 如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是_________. 14. 如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是____． 15. 如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，若，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 18. 在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每个球除颜色外其余都相同． （1）从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？ （2）如果再加5个球放入袋中并搅匀（这5个球仅为红球和黄球），使得从中任意摸出一个球，摸到红球和黄球概率相等，那么应放入几个红球，几个黄球？ 19. 如图，点，在上，，，，，相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； （3）某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 21. 阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等面积法”直观地推导出了完全平方公式：．所谓“等面积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为；从局部看由四部分组成，即一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个宽和长分别为的长方形，这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式相等，即．同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图3可得等式：_____； （2）由图4可得等式：_____； （3）仿照上面方法设计一个图形，计算（其中均大于0），请画出图形并写出算式； （4）若，（其中均大于0），请直接写出的值． 22. 如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． （1）如图1，求证：． （2）过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 23. （1）如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出之间的等量关系． （2）如图2，中，，点，分别在边，上，且，． ①求证：； ②若，求的长度（用含的代数式表示）． （3）如图3，在中，，点分别是边上的动点，以为腰作等腰（点按逆时针排列），使得，且 ，连接，若． ①求证：； ②在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，当，，三点共线，且时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期7月调研 七年级数学 试题满分120分，考试时长120分钟 注意事项： 1、答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2、考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3、考试结束，将答题卡交回． 4、本试卷包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其图案不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该文字图案是轴对称图形，不合题意； B．该文字图案不是轴对称图形，符合题意； C，该文字图案是轴对称图形，不合题意； D，该文字图案是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查较小数的科学记数法，掌握知识点是解题的关键． 根据小于1的数的科学记数法的定义，即可解答． 【详解】解：． 故选C． 4. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，8，15 C. 5，12，13 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、3，4，7， ∵， ∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15， ∵， ∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13， ∵， ∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11， ∵， ∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形． 故选：C． 5. 若，则为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 故选：A． 6. 成语言简意赅，形象生动，使用广泛，是中华文化的瑰宝．下列成语反映的事件是随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 瓮中捉鳖 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】 解：A、不期而遇，是随机事件，符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； D、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意； 故选：A． 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 8. 如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 由题意知，，，由，可得，进而可求． 【详解】解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k或． 故选：C． 10. 如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. 长方形的周长为 C. 当秒时， D. 当时，秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单概率公式计算概率即可． 【详解】解∶∵在单词“”中，一共有11个字母，其中字母“”有2个， ∴字母“”出现的概率是， 故答案为∶． 12. 当一个等腰三角形底角的度数变化时，这个等腰三角形顶角的度数也随之发生了变化，若设这个等腰三角形底角的度数为，顶角的度数为，则与的关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、利用关系式表示函数关系，熟练掌握三角形的内角和定理和等腰三角形的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质可得x的取值范围，由此即可得． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是_________. 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，利用三线合一定理和三角形面积公式求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴要使的周长最小，即要使最小， ∴当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的周长最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，三角形面积，线段垂直平分线的性质，正确根据题意得到当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为是解题的关键． 14. 如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线平分三角形的面积，掌握这一性质是解题的关键．连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解∶连接， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴， ， ， ， ，得 ， ∴ ． 故答案为；16． 15. 如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F， 则四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2），3 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是∶ （1）根据积的乘方法则，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则计算即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【小问1详解】 解∶原式 ； 【小问2详解】 解∶ ， 当时，原式． 17. 如图，在中，若，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 18. 在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每个球除颜色外其余都相同． （1）从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？ （2）如果再加5个球放入袋中并搅匀（这5个球仅为红球和黄球），使得从中任意摸出一个球，摸到红球和黄球概率相等，那么应放入几个红球，几个黄球？ 【答案】（1） （2）应放入4个红球，1个黄球 【解析】 【分析】本题考查概率计算、等可能性大小时的频数情况，熟记概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）要使摸到红球和黄球的可能性大小相等，只需黄球、红球的个数相等即可． 【小问1详解】 解：根据红球和黄球的频数可得，摸到黄球的概率为： ； 【小问2详解】 解：假设放入红球为个，则放入黄球为个，根据两球的概率相等得， ， 解得，， ， 所以，应放入4个红球，1个黄球． 19. 如图，点，在上，，，，，相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据（1）中求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又， ∴． 20. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； （3）某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了运用函数概念解决实际问题,理解题意是解题的关键． （1）结合题意运用函数的定义进行求解即可； （2）根据表中信息，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大，得到答案； （3）根据路程速度时间进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； 【小问2详解】 解：由题意得，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大， 声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为， 故答案：； 【小问3详解】 解： （） 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 21. 阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等面积法”直观地推导出了完全平方公式：．所谓“等面积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为；从局部看由四部分组成，即一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个宽和长分别为的长方形，这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式相等，即．同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供方法，完成下列问题： （1）由图3可得等式：_____； （2）由图4可得等式：_____； （3）仿照上面方法设计一个图形，计算（其中均大于0），请画出图形并写出算式； （4）若，（其中均大于0），请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）图见解析，； （4）． 【解析】 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积等于各小正方形与各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）根据题意画出图形即可； （3）根据题意画出边长的正方形，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图3可得等式：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图4可得等式：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：图形如图所示， 可得等式：； 【小问4详解】 解：如图，， ∵， ∴， ∴， ∵均大于0， ∴． 22. 如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． （1）如图1，求证：． （2）过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又 ∴， ∴， ∴， 解得． 23. （1）如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出之间的等量关系． （2）如图2，在中，，点，分别在边，上，且，． ①求证：； ②若，求的长度（用含的代数式表示）． （3）如图3，在中，，点分别是边上的动点，以为腰作等腰（点按逆时针排列），使得，且 ，连接，若． ①求证：； ②在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，当，，三点共线，且时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②25 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，即可得出结论； （2）根据三角形外角的性质可证明，根据等边对等角得出，然后根据证明即可； ②根据全等三角形的性质即可求解； （3）①在上取点G，使，根据三角形外角的性质可证明，根据证明，得出，，根据三角形外角的性质可求出，根据等角对等边得出，结合，，可得出，即可得证； ②过F作于H，取中点G，连接，根据三角形的内角和定理，等边对等角可求出，，根据三角形的外角的性质可求出，进而求出，根据等角对等边得出，结合（3）①中可得出，根据证明，得出，，，等量代换得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质得出，进而求出，证明、都是等腰直角三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②∵， ∴，， ∵，， ∴； （3）在上取点G，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即； ②当C、F、E三点共线时，如图，过F作于H，取中点G，连接， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，G中点， ∴， ∴ 又，， ∴， ∴，，， 又， ∴， ∴ 又， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$