专题2.1等式与不等式（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题2.1 等式与不等式 1.能用不等式表示实际问题中的不等关系.(重点) 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.(重点) 3当代数式含参数时，作差后的结果符号会随参数取值变化，常因"分类讨论不全面"或"参数范围划分错误导致结论偏差.(难点) 知识点1 不等关系与不等式 1.不等关系与不等式 （1）在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号＂＂＂＞＂＂＂＂＜＂＂＂连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． （2）用＂＜＂或＂＞＂连接的不等式叫严格不等式；用＂＂或＂＂连接的不等式叫非严格不等式． 2.用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系. 知识点2 实数大小比较的依据 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为；． （等价符号） 知识点3 等式的性质 1．对称性（性质 1）：如果，那么 2．传递性（性质 2）：如果，那么 3．同加（减）性（性质3）：如果，那么 4．同乘性（性质4）：如果，那么 5．同除性（性质 5）：如果，那么 知识点4 不等式的性质与推论 性质1 如果，那么；如果，那么。即：. 性质2 如果，那么。即： 性质3 如果，那么。 推论1 如果 ，那么. 推论2 如果 ，那么. 性质4 如果，那么.如果，那么. 推论3 如果，那么. 推论4 如果，那么． 推论5 如果，那么. 性质5 如果，且，那么．如果，且，那么． (1)若a>b>0,则0<<; 若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. 若，则下列不等式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B 知识点5 作差法比较代数式的大小 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 1.作差: 2.变形：采用配方、因式分解、通分、有理化等手段把差转化为n个因式乘积或商的形式，有时也转化为完全平方的形式 3.定号：判断差与0的大小 4.结论：利用实数a,b大小比较的基本事实 作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立 已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 题型一、由已知条件判断所给不等式是否正确 例1（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 1-1（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1-2（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1-3（24-25高一上·吉林白城·期中）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是（只要举出适合条件的一组值即可）． 1-4（24-25高一上·山东临沂·期中）生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式. 题型二、由不等式的性质比较数(式)大小 例2（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 2-1（24-25高一上·贵州贵阳·期中）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2-2（24-25高一上·四川眉山·期中）“”是“且”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2-3（24-25高一上·河北唐山·期中）已知某商品的原价为元，由于市场原因，先降价出售，一段时间后，再提价出售，则该商品提价后的售价该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”） 2-4（24-25高一上·四川泸州·期中）．（填“＞”或“＜”） 题型三、作差法比较代数式的大小 例3（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3-1（24-25高一上·四川·期末）已知，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3-2（24-25高一上·广东深圳·期中）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3-3（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则（填“”或“”） 3-4（24-25高一上·上海·期中）若，设,则的大小关系为. 题型四、由不等式的性质证明不等式 例4（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4-1（23-24高一上·河南漯河·期中）已知x，y∈R，则“x>1”是“|x|+|y|>1”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4-2（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 4-3（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型五、利用不等式求值或取值范围 例5（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-1（24-25高一上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5-2（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5-3（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是． 5-4（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的范围是 1．下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 2．若且，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式不能成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 多选题 6．若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 7．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．若，则的最小值是. 9．若，，，则，的大小关系是. 10．在一间窗户面积（a）小于地板面积（b）的房子里，窗户与地板的面积同时增加（m），则采光条件可变好.根据这个事实可以提炼出一个不等式，常常称为“阳光不等式”，它就是. 11．设，是关于的方程的实数根，则实数a的取值范围是，的最大值为． 12．（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 13．已知实数，满足，． (1)求实数，的取值范围； (2)求的取值范围． 14．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 2/19 1/19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式与不等式 1.能用不等式表示实际问题中的不等关系.(重点) 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.(重点) 3当代数式含参数时，作差后的结果符号会随参数取值变化，常因"分类讨论不全面"或"参数范围划分错误导致结论偏差.(难点) 知识点1 不等关系与不等式 1.不等关系与不等式 （1）在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号＂＂＂＞＂＂＂＂＜＂＂＂连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． （2）用＂＜＂或＂＞＂连接的不等式叫严格不等式；用＂＂或＂＂连接的不等式叫非严格不等式． 2.用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系. 知识点2 实数大小比较的依据 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为；． （等价符号） 知识点3 等式的性质 1．对称性（性质 1）：如果，那么 2．传递性（性质 2）：如果，那么 3．同加（减）性（性质3）：如果，那么 4．同乘性（性质4）：如果，那么 5．同除性（性质 5）：如果，那么 知识点4 不等式的性质与推论 性质1 如果，那么；如果，那么。即：. 性质2 如果，那么。即： 性质3 如果，那么。 推论1 如果 ，那么. 推论2 如果 ，那么. 性质4 如果，那么.如果，那么. 推论3 如果，那么. 推论4 如果，那么． 推论5 如果，那么. 性质5 如果，且，那么．如果，且，那么． (1)若a>b>0,则0<<; 若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. 若，则下列不等式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B 知识点4 作差法比较代数式的大小 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 1.作差: 2.变形：采用配方、因式分解、通分、有理化等手段把差转化为n个因式乘积或商的形式，有时也转化为完全平方的形式 3.定号：判断差与0的大小 4.结论：利用实数a,b大小比较的基本事实 作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立 已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 题型一、由已知条件判断所给不等式是否正确 例1（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 1-1（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对ABC举反例即可判断，对C和D利用作差法即可判断. 【详解】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 1-2（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，， 所以，A选项正确； 对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误. 故选：A. 1-3（24-25高一上·吉林白城·期中）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是（只要举出适合条件的一组值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件写出满足不等式的一组值即可. 【详解】由知，同号，同号，且． 因为，所以． 所以在取时只需满足以下条件即可：①同号，同号，异号；②． 令，不妨取， 则，取，则满足要求． 故答案为：（答案不唯一）. 1-4（24-25高一上·山东临沂·期中）生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式. 【答案】 【分析】依题意结合不等式性质即可得解. 【详解】设原有汤为a，其中含盐b，则汤的浓度为， 则加入盐为c后可得汤的浓度为，此时，理由如下： 因为， 所以，所以， 所以将题中所述事实用表示为一个不等式为. 故答案为：. 题型二、由不等式的性质比较数(式)大小 例2（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 2-1（24-25高一上·贵州贵阳·期中）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可判断各选项. 【详解】对于A，取，此时，则有，所以A错误； 对于B，若，说明，则，所以B正确； 对于C，由，有，又因为， 从而，所以C正确； 对于D，若，则，则有，所以D正确. 故选：A． 2-2（24-25高一上·四川眉山·期中）“”是“且”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的. 【分析】令，，，则满足，但“且”不成立， 则“”不是“且”的充分条件； 由且，得，因此“”是“且”的必要条件， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：A 2-3（24-25高一上·河北唐山·期中）已知某商品的原价为元，由于市场原因，先降价出售，一段时间后，再提价出售，则该商品提价后的售价该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”） 【答案】低于 【分析】根据已知第一次降价后的售价为元，第二次提价后的售价为元，再计算判断即可. 【详解】第一次降价后的售价为元，第二次提价后的售价为元. 因为，所以，所以， 所以，即该商品提价后的售价低于该商品的原价. 故答案为：低于. 2-4（24-25高一上·四川泸州·期中）．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】利用不等式的基本性质即可得出结论. 【详解】，， ∵且 ∴， 则． 故答案为：＜ 题型三、作差法比较代数式的大小 例3（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】通过举反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正确. 【详解】对于A，因，取，则，有，故A是假命题； 对于B，当时，，故B是假命题； 对于C，取，，满足，但，故C是假命题； 对于D，由，由，所以，故D是真命题. 故选：D. 3-1（24-25高一上·四川·期末）已知，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质可判断ABC选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，可得，即，A错； 对于B选项，因为，则，B对； 对于C选项，因为，由不等式的性质可得，C对； 对于D选项，因为，则， 所以，，D对. 故选：A. 3-2（24-25高一上·广东深圳·期中）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：A.，与1的大小不定，故错误； ，故正确； C.，故错误； D.，故错误； 故选：B 3-3（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则（填“”或“”） 【答案】> 【分析】作差法比较大小. 【详解】，故. 故答案为：> 3-4（24-25高一上·上海·期中）若，设,则的大小关系为. 【答案】 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 题型四、由不等式的性质证明不等式 例4（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误. 【详解】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A 4-1（23-24高一上·河南漯河·期中）已知x，y∈R，则“x>1”是“|x|+|y|>1”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的性质可证明充分性，利用特殊值法可否定必要性. 【详解】若，则，由，得，则， 假设，，满足，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4-2（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和绝对值的意义，即可求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 4-3（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得. 【详解】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误； 对于B，可取，满足，但不满足，故B错误； 对于C，可取，满足，但，故C错误； 对于D，因，而，故必有成立，即D正确. 故选：D. 题型五、利用不等式求值或取值范围 例5（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 5-1（24-25高一上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据不等式性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且，所以，故B正确； 对于选项C：例如，满足题意，但，故C错误； 对于选项D：若，则， 所以，故D错误； 故选：B. 5-2（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题求得，再结合不等式性质即可得解. 【详解】设， 所以，解得， 所以，又， 所以. 故选：A. 5-3（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是． 【答案】 【分析】运用不等式的性质进行求解即可. 【详解】根据不等式的性质由，， 故答案为： 5-4（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的范围是 【答案】 【分析】应用不等式性质求范围即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 1．下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质及必要条件判断B. 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 2．若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得选项A错误；举反例可说明选项B，D错误；利用幂函数的单调性可得选项C正确. 【详解】对于A，当时，，故A错误. 对于B，取，则，，故B错误. 对于C，因为幂函数在上为增函数，且，所以，故C正确. 对于D，取，则，故D错误． 故选：C． 3．若，则下列不等式不能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，结合结合作差法比较大小得到答案. 【详解】因为，所以，，，， 对于A，，所以，故A成立； 对于B，，所以成立，故B成立； 对于C，，所以，故C成立； 对于D，，结合B选项，，又因为， 所以，所以，故D不成立， 故选：D. 4．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质或赋值逐项判断即可. 【详解】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确； 对于B选项：当时，，故B选项不正确； 对于C选项：当时，，，又，， 故C选项正确； 对于D选项：， ，，，，故D选项不正确； 故选：C 5．已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意； 故选：D. 多选题 6．若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 7．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】特殊值判断A､C；作差法比较大小判断B；利用不等式性质求的范围判断D. 【详解】对于A，由，但，故A错； 对于B，，又， 所以，即，故B正确； 对于C，由，即，故C错； 对于D，由且，故，故D正确. 故选：BD. 8．若，则的最小值是. 【答案】 【分析】用反证法证明的最小值不小于，再确定能等于，即可得． 【详解】由题意， 若存在使得，则， 因此，但， 因此假设错误，不存在使得， 所以的最小值不小于， 又时，， 所以的最小值为， 故答案为：． 9．若，，，则，的大小关系是. 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【详解】解法一：特殊值验证．解法二：直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小． 解法一：可令得 解法二：由，有，， 则，故， 故答案为：． 10．在一间窗户面积（a）小于地板面积（b）的房子里，窗户与地板的面积同时增加（m），则采光条件可变好.根据这个事实可以提炼出一个不等式，常常称为“阳光不等式”，它就是. 【答案】 【分析】根据题意，列出不等关系，然后利用作差法加以证明. 【详解】. 因为，所以，， 因此， 即. 故答案为： 11．设，是关于的方程的实数根，则实数a的取值范围是，的最大值为． 【答案】1 【分析】空1由判别式可得；空2由韦达定理结合不等式关系可得； 【详解】由； 又， ， 所以的最大值为1； 故答案为：. 12．（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【分析】（1）由不等式的性质即可求解；（2）通过作差法即可判断 【详解】（1）令，，，即， 则有解得．     又，，所以，，     所以，即．         （2）．     因为，，所以，．         当时，，即；     当时，，即．     综上所述，当时，；当时，． 13．已知实数，满足，． (1)求实数，的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用已知式子表示，利用不等式的性质求解范围即可； （2）用已知式子表示，利用不等式的性质求解范围即可. 【详解】（1）由，， 所以， 即， 所以， 即实数的取值范围为． 因为， 由，所以，又， 所以， 所以， 即， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ， ，． ，， ∴， 即的取值范围为． 14．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 2/19 1/19 学科网（北京）股份有限公司 $$