第十二章 分式和分式方程（知识清单）数学冀教版2024八年级上册

第十二章 分式和分式方程 知识点一、分式及其性质 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于 ，即B≠0 分式无意义 分母等于 ，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点三、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的 ， 不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点四、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的 ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做 . 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到 知识点五、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点六、分式的加减法 1）同分母分式相加减： ，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先 ，变为同分母的分式，再 ；符号表示为： 注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。 知识点七、分式的乘除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 知识点八、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先 ，再 ，最后 ；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点九、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做 ． 分式方程的重要特征：① ；② ；③分母中含有 . 注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 知识点十、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为 . 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先 ； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去 ，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点十一、用分式方程解决实际问题的步骤： ：理解并找出实际问题中的等量关系; ：用代数式表示实际问题中的基础数据; ：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; ：求解方程; ：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. ：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 一、分式的相关概念 1.分式有无意义的条件 错误：不理解分式有无意义的条件 注意：分式有意义时分母不为零；无意义时分母为零 例．当a是某一个实数时，分式可以计算求值，写出a的一个值为 ． 2.分式值为零的情况 错误：分类讨论，一是分子为零；二是分母为零 注意：分式值为零时也要满足分式有意义的条件，即分母不为零 例．当分式的值为时， ． 二、分式的运算 1.分式化简求值 错误：分式化简求值时代入的值不符合分式有意义的条件 注意：应当分析分式有意义的条件，再代入合适的值进行求解 例．先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 2.分式混合运算 错误：分式混合运算不注意分式计算的顺序 注意：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 例．老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下： (1)求所捂部分化简后的结果； (2)若，求（1）所得代数式的值． 三、分式方程 1.分式方程的解法 错误：忘记验根 注意：解分式方程的时候，要注意将解出来的根代入原分式方程进行排除 5例如图是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： (1)小明的作业是从第____步开始出现错误的，正确的结果是________； (2)当的值等于2时，求a的值． 2.分式方程的含参问题 错误： 注意：1、分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2、分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根. 3、分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根； ③特殊解大于0或小于0 4、 分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 例．若分式方程有增根，求m的值． 3.分式方程的应用 错误：找不到等量关系 注意：正确理解题干中出现的数据，找到等量关系 例．某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 1．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025·河北沧州·模拟预测）若是非负整数，则表示的值的对应点落在图数轴上的范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·二模）已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有一块长为米、宽为米的长方形空地，现在中间挖一个长方形游泳池，若游泳池四周与空地边缘的距离相等，且游泳池宽与长的比是，求游泳池四周与空地边缘的距离是多少？设游泳池四周与空地边缘的距离是米，下列符合题意的方程是（      ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）关于的分式方程的解为正数，则字母的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 6．（2025·河北张家口·二模）若，则“□”表示的最简分式为 ． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知实数a，b满足，则 ． 8．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则的值为 ． 9．（23-24八年级上·上海·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 10．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是 ． 11．（2025·甘肃张掖·一模）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． (1)正确化简 ． (2)求图中被污染的x的值． 12．（20-21八年级上·辽宁葫芦岛·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）嘉嘉和淇淇一起做游戏，她们面前有三张大小相同的卡片，分别写有三个分式，如图．要求排列卡片顺序组成“②－①③”或“②①＋③”的形式，然后先进行化简，再将“”代入化简的结果求值． (1)淇淇发现三个分式中有一个还可以进行化简，这个分式是______（填序号），化简的结果为______； (2)请你帮她们在题目要求的两个形式中任选一个，完成化简求值． 14．（2025·河北石家庄·模拟预测）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有_______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高， 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． 问：甲、乙每件商品的进价是多少元？ 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）（1）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 第一次： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 __________元 乙 __________千克 30元 第二次： 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价总金额总质量） （2）【数学思考】设甲每次买质量为千克的水果，乙每次买金额为元的水果，两次的单价分别是元/千克、元/千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小并说明理由． （3）【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由． 17．（2025·河北·模拟预测）如图是某景区的游览路线图，从大门到游乐场的路程是，从游乐场到休闲区的路程是，从休闲区到观景台的路程是．已知小华从大门到观景台游览的平均速度是，观景台原路返回大门的时间是． (1)用含v，t的代数式表示： ①小华从观景台返回大门的平均速度是______； ②小华从大门到观景台，然后再返回大门的平均速度是______． (2)小华从大门到观景台游览了，然后从观景台沿原路返回大门的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求m的值． 18．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程 知识点一、分式及其性质 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点三、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点四、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到 知识点五、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点六、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。 知识点七、分式的乘除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 知识点八、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点九、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 知识点十、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点十一、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 一、分式的相关概念 1.分式有无意义的条件 错误：不理解分式有无意义的条件 注意：分式有意义时分母不为零；无意义时分母为零 例．当a是某一个实数时，分式可以计算求值，写出a的一个值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件确定a的范围，代入一个使分式有意义的a的值计算即可．本题考查的是最简分式、分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 则， 当时，， 故答案为：0（答案不唯一） 2.分式值为零的情况 错误：分类讨论，一是分子为零；二是分母为零 注意：分式值为零时也要满足分式有意义的条件，即分母不为零 例．当分式的值为时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式有意义的条件，绝对值方程，不等式的性质，绝对值的非负性等知识点，熟练掌握分式值为零的条件和分式有意义的条件是解题的关键．根据题意及分式有意义的条件可得，解之，即可得出答案． 【详解】解：分式的值为， ， ， 解得：， 故答案为：． 二、分式的运算 1.分式化简求值 错误：分式化简求值时代入的值不符合分式有意义的条件 注意：应当分析分式有意义的条件，再代入合适的值进行求解 例．先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、求一元一次不等式的整数解等知识点，正确确定x的取值成为解答本题的关键．先利用分式的四则混合运算法则对原分式化简，然后再解不等式确定不等式的整数解，最后选择合适的x的值代入求解即可． 【详解】解： ； 解不等式， 得：， 其正整数解为1，2，3． ∵分式有意义， ∴且， 当时，原式． 2.分式混合运算 错误：分式混合运算不注意分式计算的顺序 注意：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 例．老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下： (1)求所捂部分化简后的结果； (2)若，求（1）所得代数式的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据被除数=除数乘以商，列式计算即可； （2）根据，变形得，整体代入解答即可． 本题考查了分式化简混合计算，求分式的值，熟练掌握化简的基本方法，整体代入求值是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得所捂部分为： ． （2）根据， 变形得， 故． 三、分式方程 1.分式方程的解法 错误：忘记验根 注意：解分式方程的时候，要注意将解出来的根代入原分式方程进行排除 5例如图是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： (1)小明的作业是从第____步开始出现错误的，正确的结果是________； (2)当的值等于2时，求a的值． 【答案】(1)二， (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据分式加减运算法则可进行求解； （2）根据的值等于2，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】（1）解：小明的作业是从第二步开始出现错误的， ． 正确的结果：． （2）解：由题意得，即， 解得， 经检验是原方程的解， ∴当原代数式的值等于2时，． 2.分式方程的含参问题 错误： 注意：1、分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2、分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根. 3、分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根； ③特殊解大于0或小于0 4、 分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 例．若分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 去分母，得， 将代入，得， 解得． 3.分式方程的应用 错误：找不到等量关系 注意：正确理解题干中出现的数据，找到等量关系 例．某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 【答案】乙工程队每天改造50米管道 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天，列出方程，可求解． 【详解】解：设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米． 根据题意得，． 解得． 经检验，是原方程的根． 答：乙工程队每天改造50米管道 1．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题考查了分式的约分，根据题意将分式约分，然后比较求解即可． 【详解】解：①，②不能继续化简；③；④ ∴与相等的是④． 故选：D． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）若是非负整数，则表示的值的对应点落在图数轴上的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减，首先把约分化为，可得：原式，再根据同分母分式的加减进行计算得到的值，根据分式的值判断对应点落在图中数轴上的范围． 【详解】解： ， 的值对应的点应落在数轴上第的范围内． 故选：B． 3．（2025·河南周口·二模）已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有一块长为米、宽为米的长方形空地，现在中间挖一个长方形游泳池，若游泳池四周与空地边缘的距离相等，且游泳池宽与长的比是，求游泳池四周与空地边缘的距离是多少？设游泳池四周与空地边缘的距离是米，下列符合题意的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设游泳池四周与空地边缘的距离是米，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设游泳池四周与空地边缘的距离是米， 由题意可得，， 故选：． 5．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）关于的分式方程的解为正数，则字母的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程有意义的条件，将a看做已知数求出分式方程的解得到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：即． 又∵， ∴， ∴， 解得∶， ∴的取值范围为且． 故选：C． 6．（2025·河北张家口·二模）若，则“□”表示的最简分式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算．将未知分式设为变量，通过方程变形逐步解出，最终化简为最简分式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值是解题的关键．先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 故答案为：1． 8．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，解二元一次方程组，先通分得到，进而得到，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把看作常数，根据分式方程的解法求出的表达式，再根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步骤． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵分式方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵， ∴且，解得：且， 综上可知：且， 故答案为：且． 10．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是 ． 【答案】甲乙合作了4天 【分析】本题考查分式方程的应用，解答此类题目的关键是明确题意，根据方程可以推测出空白处应填写的内容，注意要联系实际情况． 根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了x天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决． 【详解】解：∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：， ∴甲工作了4天，乙工作了x天， 即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工， ∴可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天， 故答案为：甲乙合作了4天． 11．（2025·甘肃张掖·一模）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． (1)正确化简 ． (2)求图中被污染的x的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查整式的化简求值和解分式方程， （1）通分、化简后，即可得出结论； （2）利用原式，解分式方程可得出x的值，检验后即可得出结论． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴图中被污染的x的值为5． 12．（20-21八年级上·辽宁葫芦岛·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)此方程无解 (2) 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解： 解：整理可得：， 所有项同乘可得：， 移项可得：， 合并可得：， 系数化为1可得：， 检验：把代入可得：， ∴此方程无解； （2） 解：整理可得： ， 所有项同乘可得： ， 移项可得： ， 合并可得：， 系数化为1可得：， 检验：把代入可得：， ∴是原方程的解． 13．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）嘉嘉和淇淇一起做游戏，她们面前有三张大小相同的卡片，分别写有三个分式，如图．要求排列卡片顺序组成“②－①③”或“②①＋③”的形式，然后先进行化简，再将“”代入化简的结果求值． (1)淇淇发现三个分式中有一个还可以进行化简，这个分式是______（填序号），化简的结果为______； (2)请你帮她们在题目要求的两个形式中任选一个，完成化简求值． 【答案】(1)③； (2)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的定义，掌握分式的混合运算法则是关键． （1）根据因式分解，分解分子分母可得③可进一步约分； （2）利用分式的混合运算法则进行化简，再代入即可求解． 【详解】（1）解：， 分式③可以化简；结果为： 故答案为：③；； （2）解：②－①③ ； 当时， 原式； ②①＋③ ； 当时， 原式 14．（2025·河北石家庄·模拟预测）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示，每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有_______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)乙、丁； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是注意运算顺序及掌握运算法则． （）观察四人的计算过程即可作出判断； （）按照分式的混合运算顺序正确计算即可； （）使分式有意义的的值只能取，把代入化简后的算式中计算即可． 【详解】（1）解：乙分式分子相减时符号错误；丁遗漏了负号； 故答案为：乙、丁； （2）解：原式 ； （3）解：由于且， 所以且， 所以， 当时， 原式． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高， 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． 问：甲、乙每件商品的进价是多少元？ 【答案】甲商品在每件进价为75元，乙商品的每件进价为50元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙商品每件的进价为x元，则甲商品每件进价为元，根据“甲商品比乙商品的数量多60件”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设乙商品每件的进价为x元，则甲商品每件进价为元 根据题意，得 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意。 ∴元 答：甲商品在每件进价为75元，乙商品的每件进价为50元． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）（1）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如： 第一次： 水果单价4元/千克 质量 金额 甲 5千克 __________元 乙 __________千克 30元 第二次： 水果单价6元/千克 质量 金额 甲 5千克 30元 乙 5千克 30元 计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价总金额总质量） （2）【数学思考】设甲每次买质量为千克的水果，乙每次买金额为元的水果，两次的单价分别是元/千克、元/千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小并说明理由． （3）【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1）甲两次买菜的均价为元/千克，乙两次买菜的均价为元/千克；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【分析】本题考查了均价总金额总质量的基本计算方法，分式的加减运算，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用均价总金额总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价； （2）分别表示出、，然后求差，即可求解； （3）分别表示出、，然后求差，即可求解； 【详解】解：（1）第二次甲买水果费用为：元，乙买水果质量为：千克， 甲两次买水果的均价为：元千克， 乙两次买水果的均价为：元千克， ∴甲两次买菜的均价为元/千克，乙两次买菜的均价为元千克； （2），， ∴， ∴； （3），， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2025·河北·模拟预测）如图是某景区的游览路线图，从大门到游乐场的路程是，从游乐场到休闲区的路程是，从休闲区到观景台的路程是．已知小华从大门到观景台游览的平均速度是，观景台原路返回大门的时间是． (1)用含v，t的代数式表示： ①小华从观景台返回大门的平均速度是______； ②小华从大门到观景台，然后再返回大门的平均速度是______． (2)小华从大门到观景台游览了，然后从观景台沿原路返回大门的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求m的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查列代数式，分式的应用，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，弄清各个量的关系是解题的关键． （1）①根据速度＝路程÷时间列出代数式即可； ②先求出小华从大门到观景台所需时间，再根据速度＝路程之和÷时间之和列出代数即可； （2）小华从观景台沿原路返回大门的路程为，速度为，时间为，根据路程＝速度×时间即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：①大门到的观景台总路程为， 小华从观景台返回大门的平均速度是． 故答案为： ②小华从大门到观景台所需时间为， 小华从大门到观景台，然后再返回大门所需时间为， 则平均速度是． 故答案为： （2）解：根据题意，得， 解得． 18．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$