专题05 分式章末易错压轴题型19易错+6压轴（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题05 分式章末易错压轴题型（19易错+6压轴） 目录 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、分式的相关概念 易错题型二、分式有无意义的条件 易错题型三、分式的求值 易错题型四、分式的基本性质 易错题型五、分式变形 易错题型六、最简分式与最简公分母 易错题型七、通分与约分 易错题型八、分式的乘除法 易错题型九、分式的乘方运算 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 易错题型十一、分式的加减法 易错题型十二、分式的四则混合运算 易错题型十三、分式的应用 易错题型十四、分式的化简求值 易错题型十五、分式方程 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 易错题型十七、分式方程的增根问题 易错题型十八、分式方程的无解问题 易错题型十九、分式方程的应用 压轴题型一、分式的规律性问题 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 压轴题型三、分式的化简求值综合 压轴题型四、分式最值问题 压轴题型五、分式方程的含参问题 压轴题型六、分式方程的综合应用 易错题型一、分式的相关概念 1．下列式子，，，，， 中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 易错题型二、分式有无意义的条件 4．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．当 时，分式没有意义． 6．已知． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x取何值时，y的值是0？ (3)当x取何值时，y的值是负数？ 易错题型三、分式的求值 7．若，则分式的值是（   ） A． B． C．1 D． 8．已知，那么的值是 ． 9．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 易错题型四、分式的基本性质 10．若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 11．如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为 ． 12．把中的分母化为整数，得 ． 易错题型五、分式变形 13．下列各式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．若，则“？”所代表的分子是 ． 15．若成立，则的取值范围是 ． 易错题型六、最简分式与最简公分母 16．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 17．在分式，，，中，最简分式有 个 18．分式，，的最简公分母是 ． 易错题型七、通分与约分 19．分式化简的结果为 ． 20．（1）约分：； （2）通分：． 21．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 易错题型八、分式的乘除法 22．计算： (1)； (2) 23．计算 (1)． (2)． 24．计算： (1)； (2) 易错题型九、分式的乘方运算 25．计算： (1)； (2)． 26．（1）计算：. （2）化简：. 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 28．的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 29． ． 30．计算： 易错题型十一、分式的加减法 31．计算：． 32．计算： (1)； (2)； (3)． 33．计算： (1)； (2)． 易错题型十二、分式的四则混合运算 34．化简：． 35．化简：． 36．化简： 易错题型十三、分式的应用 37．小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 38．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 39．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 易错题型十四、分式的化简求值 40．先化简，再求值：，其中 ． 41．先化简，再求值：，请在，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 42．已知，求代数式的值． 易错题型十五、分式方程 43．解方程： 44．解分式方程： (1) (2) 45．解分式方程： (1)； (2)． 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 46．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 47．若关于的分式方程的解是，则的值是 ． 48．已知关于的分式方程的解为负数，求m的取值范围． 易错题型十七、分式方程的增根问题 49．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．若关于x的分式方程有增根，则 ． 51．若分式方程有增根，求的值． 易错题型十八、分式方程的无解问题 52．若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 53．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 54．若关于x的分式方程无解，求m的值． 易错题型十九、分式方程的应用 55．为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同． (1)求A，B两种文具的单价； (2)若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？ 56．2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． (1)每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 57．某超市购进A型和B型两种玩具，已知用720元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元? (2)该超市计划以原单价再次购进这两种型号的玩具共150个，且支付费用不超过1100元，则最多可购进A型玩具多少个? 压轴题型一、分式的规律性问题 58．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 59．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 60．观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 61．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 62．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为 ． 63．在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，． (1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可） (2)若分式的值为整数，求出整数m的值； (3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和． 例如：； ． 请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值． 压轴题型三、分式的化简求值综合 64．先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个合适的数代入求值． 65．化简，再请从-2，0，1选取合适的代入求值． 66．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 压轴题型四、分式最值问题 67．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 68．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 69．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 压轴题型五、分式方程的含参问题 70．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．-7 B．-10 C．-12 D．-15 71．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的和是 ． 72．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 压轴题型六、分式方程的综合应用 73．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 74．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 75．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式章末易错压轴题型（19易错+6压轴） 目录 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、分式的相关概念 易错题型二、分式有无意义的条件 易错题型三、分式的求值 易错题型四、分式的基本性质 易错题型五、分式变形 易错题型六、最简分式与最简公分母 易错题型七、通分与约分 易错题型八、分式的乘除法 易错题型九、分式的乘方运算 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 易错题型十一、分式的加减法 易错题型十二、分式的四则混合运算 易错题型十三、分式的应用 易错题型十四、分式的化简求值 易错题型十五、分式方程 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 易错题型十七、分式方程的增根问题 易错题型十八、分式方程的无解问题 易错题型十九、分式方程的应用 压轴题型一、分式的规律性问题 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 压轴题型三、分式的化简求值综合 压轴题型四、分式最值问题 压轴题型五、分式方程的含参问题 压轴题型六、分式方程的综合应用 易错题型一、分式的相关概念 1．下列式子，，，，， 中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分母中含有字母的式子即为分式成为解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：：分母为常数3，不含字母，不是分式； ：分母为，是常数，不含字母，不是分式； ：分母为，含字母，是分式； ：分母为，含字母，是分式； ：的分母为常数2，不含字母，整体为整式，不是分式； ：分母为，含字母和，是分式． 综上，分式共有3个． 故选B． 2．代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式定义：分母中含有字母的代数式称为分式．根据分式的定义，逐一判断各代数式的分母是否含有字母即可得到答案． 【详解】解：：分母为常数5，不含字母，属于整式，不符合题意； ：分母为常数，不含字母，属于整式，不符合题意； ：分母为，含字母，属于分式，符合题意； ：分母为常数3，不含字母，属于整式，不符合题意； ：分母为，含字母，属于分式，符合题意； ：分母为，含字母，属于分式，符合题意； 综上所述，分式共有3个， 故选：B． 3．有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 易错题型二、分式有无意义的条件 4．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不能为零，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，分母必须不等于零，即： 解得：， 因此，x的取值范围是， 故选：A． 5．当 时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分母等于即可求解． 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x取何值时，y的值是0？ (3)当x取何值时，y的值是负数？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为负数的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0求解即可； （3）先判断分子非负，则问题转化为分母小于0求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得： ∴当时，分式无意义； （2）解：由题意得， 则，， ∴； （3）解：由题意得，， ∵， ∴，， 解得：． 易错题型三、分式的求值 7．若，则分式的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式求值，将代入分式，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 8．已知，那么的值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 9．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 易错题型四、分式的基本性质 10．若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，通过代入和化简来判断分式值的变化是解题的关键．根据、的值扩大倍得到新的、值，再将其代入原分式，通过化简新分式并与原分式对比，从而判断分式值的变化情况． 【详解】解：将、的值扩大倍，则变为，变为，代入分式可得： ∵分子分母可提取公因式， ∴ 新分式与原分式相同，所以分式的值不变． 故选：B． 11．如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的求值，根据题意可得，据此可得． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴原分式的值为， 故答案为：． 12．把中的分母化为整数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； 把的分子分母都乘以乘10，的分子分母都乘以乘100，即可解答． 【详解】解：把中的分母化为整数得， 故答案为：． 易错题型五、分式变形 13．下列各式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：选项A：若分子从2变为4，需乘以2，但分母应变为而非，变形不符合分式基本性质，故A错误； 选项B：分子乘以2，分母需乘以2，但，变形不成立，故B错误； 选项C：右边分子分母含，当时分母为0，分式无意义，而左边在时有意义，变形需保证，但题目未限定条件，不一定正确，故C错误； 选项D：左边分母，即且，此时分子分母同除以，得，右边分式在时有意义，变形过程符合分式基本性质，故D正确． 故选：D． 14．若，则“？”所代表的分子是 ． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 易错题型六、最简分式与最简公分母 16．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式的定义． 判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式，若无，则为最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A：分子为，无法因式分解，分母为，分子与分母无公因式，故为最简分式； B：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； C：分子为，分母为，系数12与15有公因数3，可化简为，不是最简分式； D：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； 故选：A． 17．在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 18．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式，，最简公分母是． 故答案为：． 易错题型七、通分与约分 19．分式化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． 将分子与分母的公因式约去即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（1）约分：； （2）通分：． 【答案】（1）．（2）， 【分析】本题考查了分式的性质，分式化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式，完全平方公式整理，再结合分式的性质进行化简，即可作答． （2）先得，故它们的最简公分母是，再结合分式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：（1）． （2）依题意，， 则它们的最简公分母是， ∴，． 21．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 易错题型八、分式的乘除法 22．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 23．计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用． （1）先把各分式的分子、分母因式分解，然后约分即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 24．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错题型九、分式的乘方运算 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用积的乘方与幂的乘方法则求解； （2）利用积的乘方与幂的乘方法则求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【点睛】本题考查分式的乘方、积的乘方与幂的乘方，熟记运算法则是解题的关键．积的乘方：先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：底数不变，指数相乘． 26．（1）计算：. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查了分式的运算，涉及分式的乘方和乘除，熟练掌握运算法则是解题关键. 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式乘方的运算法则处理； （2）根据负整数指数幂、积的乘方运算法则处理； （3）根据分式的约分，同底数指数幂的法则处理； （4）根据负整数指数幂，积的乘方，分式的通分法则处理； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查分式的运算，幂的运算法则，分式的约分，通分；掌握分式的基本性质，分式的运算法则是解题的关键． 易错题型十、零指数幂与负整数指数幂 28．的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】由 可得答案． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，掌握零次幂的含义进行计算是解题的关键． 29． ． 【答案】3 【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂的公式解答即可． 本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：3． 30．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 易错题型十一、分式的加减法 31．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，根据分式的加减法则直接求解即可，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】解： ． 32．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （ 1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案； （ 2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案； （ 3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据分式的加减法的运算法则计算即可． （2）根据分式的加减法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 易错题型十二、分式的四则混合运算 34．化简：． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可. 【详解】解：原式． 35．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 36．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 易错题型十三、分式的应用 37．小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 38．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 39．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； （2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 易错题型十四、分式的化简求值 40．先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 41．先化简，再求值：，请在，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，原式；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可． 【详解】解：． ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， 当a取时，原式； 当a取1时，原式． 42．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 易错题型十五、分式方程 43．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后要检验． 先找到方程中两个分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后进行检验． 【详解】解： ， 当时， 所以是原分式方程的解． 综上，方程的解为． 44．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 45．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，最后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， 原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 把代入， 是分式方程的增根， 原分式方程无解． 【点睛】 易错题型十六、根据分式方程解的情况求值 46．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程有意义的条件，解出分式方程，根据解是非负数求出m取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案． 【详解】解： ． ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， 解得：且， 故选：A 47．若关于的分式方程的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握分式方程的运算是解题关键． 去分母，将分式方程转化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解： 整理，得：， 去分母，得：， 解得：， 把代入，得：． 故答案为：． 48．已知关于的分式方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】m>1且m≠2 【分析】将m当成常数，解分式方程，再根据分式方程解的情况，列不等式求解即可． 【详解】， 解：， ， ， ∵方程的解为负数 ∴1-m＜0 ∴ m>1 ∵ x≠-1 ∴ m≠2 ∴ m>1且m≠2 故答案为：m>1且m≠2． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围：将参数当成常数正确的解出分式方程的根是解题的关键，在求参数的值时，要注意分式的分母不能为0． 易错题型十七、分式方程的增根问题 49．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先把分式方程转化为整式方程，再确定增根的值，然后把增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘（），得：， 展开并整理右边：，即， 因为是增根，将其代入整式方程：， 解得：， 因此，的值为3， 故选：C． 50．若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程的根的情况求参数．方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解出这个方程的解，根据分式方程有增根，所以，从而求出a的值． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 解得：， ∵方程有增根， ∴当时，， ∴， ∴． 故答案为： 51．若分式方程有增根，求的值． 【答案】 【分析】根据题意可得方程的增根是，然后把的值代入到整式方程中进行计算，即可解答．本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得：， 分式方程有增根， ， ， 把代入中可得： ， 解得：． 易错题型十八、分式方程的无解问题 52．若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，所以或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， ， 方程无解， 或， 或， 或， 故选：D． 53．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的无解，熟练掌握分母等于零时分式方程无解是解答本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解： 由分式方程无解，得到， 解得， 将代入， 故答案为：5． 54．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】m的值为0或4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据题意分、和情况求解即可． 【详解】解：原方程可化为，即， ∵方程无解， ∴或或， 当即时，方程无解，即原分式方程无解， 当时，m无解， 当时，， 综上，m的值为0或4． 【点睛】本题考查解分式方程，熟知分式方程无解时的等价关系是解答的关键． 易错题型十九、分式方程的应用 55．为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同． (1)求A，B两种文具的单价； (2)若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元 (2)年级组至少购买B种文具60件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设文具的单价为元，则文具的单价为元，根据“用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同”列方程求解即可； （2）设年级组购买B种文具m件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设文具的单价为元，则文具的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元； （2）解：设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具件， 根据题意，得， 解得， 答：年级组至少购买B种文具60件． 56．2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． (1)每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 【答案】(1)每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件； (2)至少需要安排6台A型机器． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，根据一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，列出分式方程，即可解答； （2）设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，依题意，得 解得： 经检验：是原方程的解， ∴ 答：每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件． （2）解：设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据题意得 解得： 答：至少需要安排6台A型机器． 57．某超市购进A型和B型两种玩具，已知用720元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元? (2)该超市计划以原单价再次购进这两种型号的玩具共150个，且支付费用不超过1100元，则最多可购进A型玩具多少个? 【答案】(1)型玩具单价为9元/个，型玩具单价为6元/个 (2)最多可购进A型玩具66个 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设型玩具每个元，则型玩具每个元，根据用720元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多30个，列出方程，解方程即可； （2）设购进个型玩具，则购进型玩具个，根据支付费用不超过1100元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设型玩具每个元，则型玩具每个元． 依题意，可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴型玩具单价：（元/个）， 答：型玩具单价为9元/个，型玩具单价为6元/个． （2）解：设购进个型玩具，则购进型玩具个， 依题意，可列不等式：， 解得：， 可得，不等式的最大整数解为66． 答：最多可购进66个型玩具． 压轴题型一、分式的规律性问题 58．观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接作答即可； （2）认真理解题干的式子过程，总结得第n个等式为，再把进行通分化简，得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式： …… ∴第n个等式为 证明过程如下： 故． 59．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 60．观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为：， 第6个分式为． （2）由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶． 理由如下： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数， 分子的底数是x，次数是连续的奇数， ∴第n(n为正整数)个分式为． 压轴题型二、分式值为整数时未知数的取值范围 61．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 62．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解． 【详解】解：， ∵分式的值是大于2的整数，且x是整数， ∴或， 解得：或， 故答案：6或． 63．在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，． (1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可） (2)若分式的值为整数，求出整数m的值； (3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和． 例如：； ． 请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值． 【答案】(1)①④；② (2) (3) 【分析】（1）由题意①④分子的次数小于分母的次数，是真分式；②分子的次数大于分母的次数，是假分式；③不是分式； （2）分式的值为整数，则的值为或，计算求解即可； （3）先将分式化为整式与“真分式”的和，则的值为或，计算求解即可． 【详解】（1）解：由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②； （2）解：分式的值为整数，则的值为或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数m的值为：； （3）解： 要使的值为整数，即为整数，则是整数即可， 所以的值为或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数m的值为： 【点睛】本题考查分式的计算，如何理解题意进行正确运算是解题的关键． 压轴题型三、分式的化简求值综合 64．先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．原式先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后根据分式有意义的条件选取合适的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ， 当时，原式． 65．化简，再请从-2，0，1选取合适的代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则、因式分解以及代入求值时注意分母不为的条件是解题的关键． 需要先对分式进行化简，包括因式分解、分式的除法运算等，化简完成后再将合适的值代入化简后的式子进行求值．在代入值时，要注意使原式分母不为． 【详解】解： 原式 ∵要使原式分母不为，则，即；，经检验， ∴从，，中只能取代入， 当时，原式． 故答案为：． 66．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 压轴题型四、分式最值问题 67．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 68．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 69．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解：， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 压轴题型五、分式方程的含参问题 70．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．-7 B．-10 C．-12 D．-15 【答案】B 【分析】解不等式组求出解集，根据不等式组只有4个整数解得出m的取值范围，解分式方程得，由方程的解为整数且分式有意义得出只可以取奇数且，综合以上要求，找出符合条件的值相加即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴， ∴， 将分式方程变形整理得，， ∵， ， ， ∴分式方程的解为：， ∵分式方程的解为整数， ∴只可以取奇数， 由，可得，或， ∴符合条件的所有整数m的和为， 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，有一定难度，要注意分式方程的解要满足分母不分0的情况． 71．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法，根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的解和增根进一步确定的值后求和即可．理解一元一次不等式组的整数解以及分式方程的增根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， 关于的不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得：， 解得， 分式方程的解为正数， ， 即， 由于分式方程的增根是， ， 即， 综上所述，且， 所有满足条件的整数的和是． 故答案为：11． 72．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 压轴题型六、分式方程的综合应用 73．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 74．为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 75．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据异分母分式减法法则计算即可； （2）根据新定义，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$