第十章 分式（单元测试·提升卷）数学北京版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B D A A D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12．4 13． 14．或 15．8 16．（1）；（2）. 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ····································3分 经检验：是原方程的解， 原方程的解是．···································5分 18．（5分） 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ，···································3分 ∵， ∴， ∴原式．···································5分 19．（6分） 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ，···································3分 ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式．···································6分 20．（6分） 【答案】边衬的宽度为 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键． 设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得．···································3分 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：边衬的宽度为．···································6分 21．（6分） 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B···································2分 （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴···································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，；···································2分 （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，；··································4分 （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，，···································6分 经检验得，，是原方程的解．···································8分 23．（8分） 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，；···································3分 （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，···································5分 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元．···································8分 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 24．（8分） 【答案】(1)与F是“合分式”，理由见解析，3 (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【详解】（1）解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3；···································4分 （2）解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， ···································8分 25．（10分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是n的平方差倒数”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方差倒数是， 故答案为：；···································3分 （2）解：由题易得，， 即， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时；···································6分 （3）解： ， ， ， ，b，n为正整数， 可取的最小值为6， 的最小值为．···································10分 26．（10分） 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小；···································2分 （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2；···································6分 （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即···································8分 ∴， 故答案为：···································10分 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 4．（2025·天津·一模）计算的结果是（   ） A．1 B． C． D．2 5．（23-24八年级上·北京西城·期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）如果，那么代数式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 8．（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（　　） A． B．4039 C． D．4041 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）若分式有意义，则的取值范围是 ． 10．（2025·北京海淀·二模）计算： ． 11．（2025·河北石家庄·一模）如图，若x为大于1的正整数，则表示分式的值落在段 处．（请从中选择正确答案填在横线上） 12．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 13．（23-24八年级上·北京·阶段练习）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 14．（24-25八年级上·北京·期末）关于的方程的解为正整数，整数的值为 ． 15．（23-24七年级下·北京·期末）若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 16．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： (1)_______. (2)当时，最后一项=_____. 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·开学考试）解方程：． 18．（5分）（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 19．（6分）（2025·北京昌平·二模）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 20．（6分）（24-25八年级上·北京门头沟·期末）列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 21．（6分）（2025·北京·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 22．（8分）（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 23．（8分）（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 24．（8分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 25．（10分）（24-25八年级上·北京东城·期末）已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 26．（10分）（24-25八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 4．（2025·天津·一模）计算的结果是（   ） A．1 B． C． D．2 5．（23-24八年级上·北京西城·期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）如果，那么代数式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 8．（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（　　） A． B．4039 C． D．4041 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）若分式有意义，则的取值范围是 ． 10．（2025·北京海淀·二模）计算： ． 11．（2025·河北石家庄·一模）如图，若x为大于1的正整数，则表示分式的值落在段 处．（请从中选择正确答案填在横线上） 12．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 13．（23-24八年级上·北京·阶段练习）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 14．（24-25八年级上·北京·期末）关于的方程的解为正整数，整数的值为 ． 15．（23-24七年级下·北京·期末）若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 16．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： (1)_______. (2)当时，最后一项=_____. 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·开学考试）解方程：． 18．（5分）（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 19．（6分）（2025·北京昌平·二模）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 20．（6分）（24-25八年级上·北京门头沟·期末）列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 21．（6分）（2025·北京·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 22．（8分）（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 23．（8分）（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 24．（8分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 25．（10分）（24-25八年级上·北京东城·期末）已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 26．（10分）（24-25八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：，则A符合题意； 无法约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：D． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·天津·一模）计算的结果是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可． 【详解】解： 故选：D． 5．（23-24八年级上·北京西城·期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程解决实际问题，设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可． 【详解】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为，由题意得， ， 故选：A． 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）如果，那么代数式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是分式的混合运算．根据分式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可． 【详解】解：，解得：， 由题意，得：且， ∴且， 解得：且； 故选D． 8．（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（　　） A． B．4039 C． D．4041 【答案】C 【分析】根据已知规定，可得，进而可以解决问题． 【详解】解：∵f（x）＝，， ∴， ∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+… = = =， 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，分式的加法．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 10．（2025·北京海淀·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是将异分分母分式通分． 先将小括号内的通分，再计算乘法． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2025·河北石家庄·一模）如图，若x为大于1的正整数，则表示分式的值落在段 处．（请从中选择正确答案填在横线上） 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 先将化简为，然后利用不等式的性质得出，即，于是得解． 【详解】解： ， 为大于1的正整数， ， ， ， ， ， ， 分式的值落在段处， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，接着根据原方程无解得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．（23-24八年级上·北京·阶段练习）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙单独完成任务所需时间为小时，根据“乙3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等”列分式方程，得到甲、乙、丙三人的工作效率，即可求解． 【详解】解：设乙单独完成任务所需时间为小时，则甲单独完成任务所需时间为小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， 甲、乙、丙工作一轮的工作量为， 甲、乙、丙工作六轮的工作量为， 工作六轮后剩余工作量为， ，即甲工作1小时候剩余工作量为， 乙的工作时间为， 完成工作任务，共需小时， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·北京·期末）关于的方程的解为正整数，整数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，先解方程可得，再结合关于的方程的解为正整数，再进一步求解并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 移项合并得：， 当时， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数， 即或或， 解得：或或． ∵，， ∴， ∴或， 故答案为：或． 15．（23-24七年级下·北京·期末）若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键．解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 分式方程两边都乘得：， 解得：， ∵方程的解是正整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴能使是正整数的a是：或0或2或4或6， ∴和为8， 故答案为：8． 16．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： (1)_______. (2)当时，最后一项=_____. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据题中方法计算即可； (2)设，根据题中方法，解方程即可. 【详解】解：（1）由题可知：， ∴ （2）设 ∵ ∴ 解得：，经检验是原方程的解. ∴ 【点睛】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和用换元法列方程并解方程是解决此题的关键. 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 原方程的解是． 18．（5分）（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 19．（6分）（2025·北京昌平·二模）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式． 20．（6分）（24-25八年级上·北京门头沟·期末）列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】边衬的宽度为 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键． 设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：边衬的宽度为． 21．（6分）（2025·北京·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 22．（8分）（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 23．（8分）（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，； （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 24．（8分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 【答案】(1)与F是“合分式”，理由见解析，3 (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【详解】（1）解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3； （2）解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， 25．（10分）（24-25八年级上·北京东城·期末）已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是n的平方差倒数”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：由题易得，， 即， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解： ， ， ， ，b，n为正整数， 可取的最小值为6， 的最小值为． 26．（10分）（24-25八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$