精品解析：湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

湖南省长沙市宁乡市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 2. 正比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 长沙是一座充满历史底蕴和现代文明的城市，市内有湖南省博物院、湖南省科学技术馆、湖南湘绣博物馆、隆平水稻博物馆、湖南地质博物馆等研学景点，某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，8，11，7，（单位：人），则这组数据的中位数是（    ） A. 12 B. 8 C. 11 D. 7 6. 如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的菱形是正方形 D. 矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质 9. 如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（    ） A. B. 当时， C. D. 的解集是 10. 如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 13. 一列数据：1，2，5，x，7的平均数是4，则这组数据的众数是______． 14. 将直线平移后经过点（2，），则平移后的直线解析式为______________． 15. 某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 16. 如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 若，求的值． 19. 已知关于的函数． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与轴的交点坐标． 20. 如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，， （1）证明：是直角三角形； （2）求的长． 21. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … （1）______； （2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； （3）当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 22. AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 23. 如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 24. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）点D为x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，与直线，分别交于点E，F，当时，求点D的坐标； （3）点M为线段上一点，点N为x轴上方的平面内一点．若以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市宁乡市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，由平行四边形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：A． 2. 正比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式，将已知点的坐标代入正比例函数解析式，解方程即可求出的值． 【详解】解：正比例函数的解析式为，已知图象经过点， 将点的坐标代入解析式，得， 解得， 故选：B． 3. 若，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开数是非负数是解答关键． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：A、3和不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 5. 长沙是一座充满历史底蕴和现代文明的城市，市内有湖南省博物院、湖南省科学技术馆、湖南湘绣博物馆、隆平水稻博物馆、湖南地质博物馆等研学景点，某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，8，11，7，（单位：人），则这组数据的中位数是（    ） A. 12 B. 8 C. 11 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将各小组人数按从小到大的顺序排列，得到：7，8，11，12，12， 共有5个数据（奇数个），中位数为第3个数， 排序后的第3个数是11，因此这组数据的中位数为11． 故选：C． 6. 如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理结合正方形的面积公式求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9， ，， ， 故选：C． 7. 物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键． 由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可． 【详解】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大， ∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大， ∴． 故选A． 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的菱形是正方形 D. 矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误； B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误； C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确； D、矩形、菱形都具有“对角线平分”的性质，故选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型． 9. 如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（    ） A. B. 当时， C. D. 的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程的应用，依据题意，根据所给函数图象的分布及两直线的交点的横坐标为进而逐个判断可以得解． 【详解】解：A、直线的图象经过第二、三、四象限，，故A正确，不合题意； B、由条件可知方程的解是，故B正确，不合题意； C、直线的图象与y轴交于正半轴，，故C正确，不合题意； D、结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方，不等式的解集为，故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图，得 ， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得 故选． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解． 【详解】作轴于，则，． 则根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值． 13. 一列数据：1，2，5，x，7的平均数是4，则这组数据的众数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数、众数，关键是求得x的值．根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，，则这组数据的众数是． 故答案为：． 14. 将直线平移后经过点（2，），则平移后的直线解析式为______________． 【答案】y=2x﹣3 【解析】 【详解】解：设平移后直线的解析式为y=2x+b． 把（2，1）代入直线解析式得1=2×2+b，解得 b=﹣3． 所以平移后直线的解析式为y=2x﹣3． 故答案是y=2x﹣3． 15. 某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【答案】4 【解析】 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 16. 如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为______． 【答案】9或25 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论． 分为两种情况，一种是点E在线段上，另一种是点E在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：将沿翻折得到， ，， ①如图1，当点E在线段上时， ， ，，E三点共线. ， . ， ； ②如图2，当点E在的延长线上时， ，，， . 设，则， ， ， ， 解得， ， 综上，的值为9或 故答案为：9或 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数的开方法则，零指数幂及绝对值的性质分别计算出各数，再算加减即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 18. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 19. 已知关于的函数． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）3 （2）函数图象与x轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出的值； （2）当时，函数为一次函数，令，即可得出图象与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：是的正比例函数， ， 解得． 故的值为：3． 【小问2详解】 解：当时，该函数的表达式为， 令，得， 解得， 当时，该函数图象与轴的交点坐标为． 20. 如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，， （1）证明：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （2）在中利用勾股定理即可求出CD的长，进而可得出结论． 此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形． 【小问1详解】 证明：，，， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形，， ， 21. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … （1）______； （2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； （3）当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 【答案】（1） （2）1，2 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入对应函数关系式，求出对应y的值即可； （2）根据一次函数的特点，即当自变量均匀变化时，因变量也均匀变化判断即可； （3）利用待定系数法解答即可． 本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的特点及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， 故答案为： 【小问2详解】 表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为 故答案为：1， 【小问3详解】 将，和，分别代入， 得， 解得， 当时，函数的表达为 22. AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【答案】（1）七 （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，方差和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据方差的意义判断即可； （2）根据七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，求出2分和3分的人数，即可补全条形统计图； （3）用400乘以参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 学生代表成绩比较整齐的是七年级； 故答案为：七； 【小问2详解】 解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， 分和3分的人数分别有1人和4人， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人． 23. 如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据和勾股定理可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长， 【小问1详解】 证明：是等边的边上的高， ，， ， ， ， ， 为等边三角形三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形的周长为：． 24. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）10或 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，理解定义是解题关键． （1）根据“等角线四边形”的定义即可判断； （2）连接、，根据正方形的性质，证明，即可得证； （3）根据题意求出、、，根据题意，分两种情况：Ⅰ当点在的上方时，连接；Ⅱ当点在的下方时，连接，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理及三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意； ②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意； ③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意； ④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）证明：如图，连接、， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是等角线四边形． （3）解：，，， ， 点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点， 是的垂直平分线， ， 根据题意，分两种情况： Ⅰ当点在的上方时，如图，连接， 四边形为等角线四边形， ， ， ． Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，， 四边形是矩形， ，， 四边形为等角线四边形， ． ， ， ， 综上，这个等角线四边形的面积为10或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）求直线的表达式； （2）点D为x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，与直线，分别交于点E，F，当时，求点D的坐标； （3）点M为线段上一点，点N为x轴上方的平面内一点．若以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并说明理由． 【答案】（1）直线的表达式为 （2）点D的坐标为或 （3）N的坐标为或， 为边时，如图： 由表达式得， 菱形的边长为， 设， ， ， 解得（舍去）或， ， 轴，， ； 当为对角线时，连接交轴于，如图： 四边形是菱形， 直线是线段的垂直平分线， ， 在中，令得， ， 是线段的垂直平分线， ， 综上所述，的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，菱形的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； （1）求出，再代入即可得直线的表达式为； （2）设，其中，则，，可得，解得的值可得点的坐标为或； （3）分两种情况：当为边时，求出，设，由，得，解得的值得，即可得；当为对角线时，连接交轴于，由直线是线段的垂直平分线，求出，即可得． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：，其中，则，， ，， ， 解得或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $