专题4.1函数的奇偶性（高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

专题4.1 函数的奇偶性 教学目标 1.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法. 2.了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. 3. 利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. 教学重难点 重点：(1)掌握判断函数奇偶性的方法; (2)求与奇偶函数有关的函数解析式 难点：处理与函数单调性、对称相关的综合问题. 知识点01 函数奇偶性定义（易错） 1.函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 ，那么函数就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 ，那么函数就叫做奇函数 关于 对称 2.重要结论 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 【易错警示】 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 【即学即练】 1.下列函数是偶函数且值域是的函数是（ ） A． B． C． D． 2.函数是定义在上的奇函数，下列说法： ①； ②若在上有最小值，则在上有最大值； ③若在上为增函数，则在上为减函数． 其中正确的个数是（ ） A．0 B.1 C.2 D.3 知识点02 奇偶性函数的图象特征（重点） 1.奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 2.偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． 【即学即练】 1.已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点03 奇偶性函数的单调性（重点） 根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： （1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为 ． （2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的 互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为 ，取最值时的自变量也互为 ． 【即学即练】 1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 知识点04 函数奇偶性的性质（拓展） 1.两个函数间奇偶性的关系 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 2.函数奇偶性的两个特殊结论 (1)若奇函数在x=0处有定义，则 ； (2)若函数为 ，则 【即学即练】 1.（2024青海西宁·高二校考开学考试）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 知识点05 函数的对称性（拓展） 1．若函数为偶函数，则函数关于对称． 2．若函数为奇函数，则函数关于点对称． 3．若，则函数关于对称． 4．若，则函数关于点对称． 【即学即练】 1.（2024南宁三中校考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 题型01 一般函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性. (1); (2); (3)； (4). 判断函数的奇偶性的基本方法 1.定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x). 2.验证法:即在定义法的基础上,验证f(-x)±f(x)=0、=±1(f(x)≠0)是否成立.这是因为若f(-x)+f(x)=0,则f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.其他可类似推知. 3.图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称,所以通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性. 4.性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数. 【变式1-1】（2024·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 题型02 分段函数奇偶性的判断 【典例2】判定下列分段函数的奇偶性 (1);(2) 分段函数奇偶性的判断 对于分段函数的奇偶性的判定,首先看定义域是否关于原点对称,其次要分段讨论,注意要根据x的取值范围选取相应的函数表达式. 【变式2-1】判断函数的奇偶性. 【变式2-2】证明函数是奇函数. 题型03 抽象函数奇偶性的判断 【典例3】（2025·河南开封高一上联考）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 抽象函数奇偶性的判断 判定抽象函数f(x)的奇偶性时，因无具体的解析式，所以需要利用给定的函数方程式，对变量赋值，将其转化为含有f(x)、 f(-x)的式子,再判断奇偶性. 【变式3-1】（多选）（2024春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【变式3-2】（2024全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性. 题型04 利用奇偶性求解析式 【典例4】（2025·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 奇偶性求解析式 分正负两种情况去考虑,告诉一边求另一边,从中发现规律． 【变式4-1】（2025春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求当时，函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式4-2】（2025秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. 题型05 利用奇偶性求值 【典例5-1】(2025·上海市川沙中学高一期末)若函数为偶函数，则_______________. 【典例5-2】(2025·内蒙古赤峰学院附属中学高一期末)若函数在上是奇函数，则的解析式为______． 奇偶性求值 根据题目特征，由奇偶性性质，代入数字可以求值． 【变式5-1】(2025·吉林长春外国语学校高一开学考试)已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于( ) A． B． C． D． 【变式5-2】(2025·云南弥勒市一中高一月考)已知，其中为常数，若，则(　　) A．－10 B．－2 C．10 D．2 【变式5-3】(2025·辽宁高一期末)已知函数，若，则____________． 题型06 利用奇偶性求参数 【典例6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（   ） A． B． C．1 D．2 【典例6-2】（2025秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 奇偶性求参数 根据题目特征，由奇偶性性质，代入相关数字可以求参数． 【变式6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（   ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】（2025·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 题型07 利用奇偶性解不等式 【典例7-1】（2025·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2025·湖北·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 利用奇偶性求参数 1、 判断奇偶性，化不等式为对称区间形式， 2、 用单调性解，注意定义域， 3、 结合奇偶性变号规则。 【变式7-1】（2024辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·广东深圳·高一统考期末）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________. 【变式7-3】（2024广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______. 题型08 奇偶性与单调性的综合 【典例8-1】（(2025·浙江高一期末)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A． B． C． D． 【典例8-2】（(2021年广东)已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是( ) A． B． C． D． 奇偶性与单调性的综合运用 1、 奇偶性化对称区间，单调性定增减，结合用奇偶性变号， 2、 单调性解不等式，勿忘定义域。 【变式8-1】(2025·江西南昌高一上联考)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( ) A． B． C． D． 【变式8-2】(2025吉林高一上期末)设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是( ) A． B． C． D． 【变式8-3】(2025广东揭阳第一中学高一上期末)已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 【变式8-4】(2024·福建高一期末)若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 题型09 数形结合解决奇偶性问题 【典例9】（2024上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________． 奇偶性与单调性的运用 奇函数图象关于原点对称，偶函数关于y轴对称，借图象直观分析性质。 【变式9-1】（2025·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·北京·高三统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图象如图所示． (1)求的值； (2)补全的图象，并写出不等式的解集． 题型10 函数性质的综合应用 【典例10】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 函数性质的综合应用问题破解策略 对于函数性质的综合应用问题，常采用各个击破的策略求解，如需要用到函数奇偶性的则联想函数的奇偶性，需要比较大小或解不等式则可联想函数的单调性，等等.另外要注意各种数学思想，尤其是数形结合思想和整体代换思想的应用. 【变式10-1】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知定义在上的奇函数满足. (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递减； (3)求关于的不等式的解集. 【变式10-2】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 练基础 1．（24-25高一上·河南商丘·期中）下列函数是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025全国·课后作业）函数，那么的奇偶性是（ ） A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 3．（2024甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024广西·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 5．（2024北京·期末）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025福建厦门·期末）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7（多选）（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 8.（多选）（2025全国·课后作业）下列判断正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是非奇非偶函数 9.（2025上海·课后作业）若函数，（其中为常数）是奇函数，则 ． 10．（2025上海·专题练习）若函数的图象与的图象关于轴对称，则 ． 11．（2025全国·课后作业）已知是R上的偶函数，且在上是严格增函数，若，则a的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 13．（2025全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 13．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 练提升 14．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知定义在R上的函数满足:关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 16.(多选)（2025广东佛山·阶段练习）已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．定义域为 C． D．是奇函数 17.（多选）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 18．（2025全国·课后作业）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则不等式的解集为 ． 19．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 20．（2024北京朝阳·期末）已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设， (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围; (3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小. 练创新 21．(多选)（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 22．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 . 23．函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立． (1)证明函数f（x）的奇偶性； (2)若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值； (3)解关于x的不等式 24.（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 函数的奇偶性 教学目标 1.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法. 2.了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. 3. 利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. 教学重难点 重点：(1)掌握判断函数奇偶性的方法; (2)求与奇偶函数有关的函数解析式 难点：处理与函数单调性、对称相关的综合问题. 知识点01 函数奇偶性定义（易错） 1.函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 2.重要结论 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 【易错警示】 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 【即学即练】 1.下列函数是偶函数且值域是的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数定义域为，不可能是偶函数，不是A； 对于B，函数定义域为，值域是，不符合要求，不是B； 对于C，函数定义域为，是偶函数，值域为，符合要求，是C； 对于D，函数定义域为，是奇函数，不符合要求，不是D. 2.函数是定义在上的奇函数，下列说法： ①； ②若在上有最小值，则在上有最大值； ③若在上为增函数，则在上为减函数． 其中正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】对于①，，可得，①对； 对于②，由题意可知，存在，使得对任意的，都有， 则，且， 对任意的，，所以，， 即函数在上有最大值，②对； 对于③，任取、且，则， 因为函数在上为增函数，则，即，故， 所以，函数在上为增函数，③错. 知识点02 奇偶性函数的图象特征（重点） 1.奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 2.偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． 【即学即练】 1.已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是 ， 知识点03 奇偶性函数的单调性（重点） 根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： （1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． （2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【即学即练】 1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：的定义域为关于原点对称，，可知且，所以是非奇非偶函数，是增函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，故选项B不正确； 对于C：的定义域为，关于原点对称，且 是奇函数，在和单调递增，但不是定义域内的增函数，故选项C不正确； 对于D：，作出其图象如图所示： 图象关于原点对称，是奇函数，且是增函数，故选项D正确； 知识点04 函数奇偶性的性质（拓展） 1.两个函数间奇偶性的关系 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 2.函数奇偶性的两个特殊结论 (1)若奇函数在x=0处有定义，则； (2)若函数为偶函数，则 【即学即练】 1.（2024青海西宁·高二校考开学考试）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，为增函数，不符合题意；对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，，故为奇函数，当时，在上单调递减，当时，在单调递减，故C符合题意；对于D，为偶函数，且在定义域内不单调. 2.（多选）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】BD 【解析】对于A：令，则， 所以A中的函数是偶函数，所以A错误； 对于B：令，则 ，所以B中的函数为奇函数，故B正确； 对于C：令 ，则 ，故C错误； 对于D：令，则 ，故D正确． 知识点05 函数的对称性（拓展） 1．若函数为偶函数，则函数关于对称． 2．若函数为奇函数，则函数关于点对称． 3．若，则函数关于对称． 4．若，则函数关于点对称． 【即学即练】 1.（2024南宁三中校考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 【答案】B 【解析】∵，∴以为对称中心，且； ∵即， ∴为偶函数，以轴为对称轴； ∴，即， 由知，， ∴，， 从而，即， ∴的周期为4，∴的周期为4； 故． 题型01 一般函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性. (1); (2); (3)； (4). 【分析】先看定义域是否关于原点对称，再考察f(x)与f(-x)的关系. 【解析)原函数的定义域为,对于定义域内的每一个都有 从而函数为奇函数. (2)原函数的定义域为R,对于定义域内的每一个都有 从而函数为偶函数. (3)由于,从而函数既不是奇函数也不是偶函数. (4)f(x) 的定义域为{2},不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 【易错警示】利用定义法判断函数的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，若不对称，则是非奇非偶函数，若对称，再去验证是否有式子f(-x)=f(x)或f(-x)=－f(x)成立. 判断函数的奇偶性的基本方法 1.定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x). 2.验证法:即在定义法的基础上,验证f(-x)±f(x)=0、=±1(f(x)≠0)是否成立.这是因为若f(-x)+f(x)=0,则f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.其他可类似推知. 3.图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称,所以通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性. 4.性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数. 【变式1-1】（2024·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是. 【变式1-2】（2025·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【解析】函数的定义域为，不关于数0对称， 所以函数是非奇非偶函数. 题型02 分段函数奇偶性的判断 【典例2】判定下列分段函数的奇偶性 (1);(2) 【分析】 分x>0与x<0，x=0三种情况，分别验证f(－x)与f(x)的关系． 【解析】 (1(当x＞0时，－x＜0，故有, 当x＜0时，－x＞0，. 当x=0时，f(-x)=0=-f(x), ∴在定义域内都有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数为奇函数． (2)当时，，； 当时，，．故函数既不是奇函数也不是偶函数． 【易错警示】第(2)小题的一个典型错解是：∵当时，，当时，， ∴ 当时，函数f(x)是偶函数；当时，函数f(x)是奇函数． 事实上，函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，即不能说一个函数在某一段是奇函数，另一段是偶函数，上述错解恰好犯了这样的概念性错误 分段函数奇偶性的判断 对于分段函数的奇偶性的判定,首先看定义域是否关于原点对称,其次要分段讨论,注意要根据x的取值范围选取相应的函数表达式. 【变式2-1】判断函数的奇偶性. 【解析】由已知函数的定义域为， 由已知： 当时，； 当时，. （1）当时，， . （2）当时，， . 综上，f (x)为偶函数. 【变式2-2】证明函数是奇函数. 【证明】由已知函数的定义域为， 对分段函数进行变形： ， 当时，， 当时，. ∴f (x)为奇函数. 题型03 抽象函数奇偶性的判断 【典例3】（2025·河南开封高一上联考）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【解析】（1）因为函数对一切实数都有成立，， 所以当时，即， 令可得，所以，即 （2）令可得，所以， 所以，即，， 所以函数是奇函数. 抽象函数奇偶性的判断 判定抽象函数f(x)的奇偶性时，因无具体的解析式，所以需要利用给定的函数方程式，对变量赋值，将其转化为含有f(x)、 f(-x)的式子,再判断奇偶性. 【变式3-1】（多选）（2024春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 【变式3-2】（2024全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性. 【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析. 【解析】（1）依题意，. （2）由（1）知， ∴，即， ∴， 又因为的定义域为， 所以函数为偶函数 题型04 利用奇偶性求解析式 【典例4】（2025·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，，∴， 奇偶性求解析式 分正负两种情况去考虑,告诉一边求另一边,从中发现规律． 【变式4-1】（2025春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求当时，函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 所以 即当时，函数的解析式为， （2）由，得， 因为为奇函数，所以， 当时，， 所以在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为 【变式4-2】（2025秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵函数为奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则； 所以在上的解析式为. （2）当时，则， 对，且，则，故， ∴，即， 故在上为增函数， 且，则， 所以当时，的值域为. 题型05 利用奇偶性求值 【典例5-1】(2025·上海市川沙中学高一期末)若函数为偶函数，则_______________. 【答案】2 【解析】 因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2. 也可用，解出m=2.故答案为：2 【典例5-2】(2025·内蒙古赤峰学院附属中学高一期末)若函数在上是奇函数，则的解析式为______． 【答案】 【解析】在上是奇函数，，，． 又，，即，． 奇偶性求值 根据题目特征，由奇偶性性质，代入数字可以求值． 【变式5-1】(2025·吉林长春外国语学校高一开学考试)已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】(1)故选：D 【变式5-2】(2025·云南弥勒市一中高一月考)已知，其中为常数，若，则(　　) A．－10 B．－2 C．10 D．2 【答案】A 【解析】因为，所以，若，则故选: A． 【变式5-3】(2025·辽宁高一期末)已知函数，若，则____________． 【答案】 【解析】因为，所以，若，则故选: A． (3) 令，∵ ∵，∴，故 ∴故答案为： 题型06 利用奇偶性求参数 【典例6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数， 则， 即，因此，解得， 所以. 【典例6-2】（2025秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，且，故，所以， 所以，则. 奇偶性求参数 根据题目特征，由奇偶性性质，代入相关数字可以求参数． 【变式6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数， 则， 即，因此，解得， 所以. 【变式6-2】（2025·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，且，故，所以， 所以，则. 题型07 利用奇偶性解不等式 【典例7-1】（2025·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意的，都有，则， 令，则在上单调递增， 因为为定义在上的偶函数， 所以，即为偶函数， 又， 由，可得，即， 所以， 所以的解集为， 【典例7-2】（2025·湖北·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知是定义在上的偶函数，则， 又对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以， 根据函数的单调性可知：等价为或， 即或，解得或， 即不等式的解集为. 利用奇偶性求参数 1、 判断奇偶性，化不等式为对称区间形式， 2、 用单调性解，注意定义域， 3、 结合奇偶性变号规则。 【变式7-1】（2024辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是偶函数，所以由， 当时，由， 因为在上单调递增， 所以，或， 而，所以； 当时，由， 因为在上单调递增， 所以或， 而，所以， 【变式7-2】（2024·广东深圳·高一统考期末）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________. 【答案】 【解析】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以， 所以， 即， 故答案为： 【变式7-3】（2024广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】因为为上的偶函数，函数， 所以，即函数为偶函数， 由，可得， 即，又函数为偶函数且在上单调递增， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 题型08 奇偶性与单调性的综合 【典例8-1】（(2025·浙江高一期末)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，是奇函数，是偶函数，故排除ABC， 的定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，故选：D 【典例8-2】（(2021年广东)已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为且在上单调递增，所以， 所以，故选：B. 奇偶性与单调性的综合运用 1、 奇偶性化对称区间，单调性定增减，结合用奇偶性变号， 2、 单调性解不等式，勿忘定义域。 【变式8-1】(2025·江西南昌高一上联考)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确； 对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误.故选：C 【变式8-2】(2025吉林高一上期末)设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是偶函数，所以 因为时，是增函数，所以，所以.故选：A 【变式8-3】(2025广东揭阳第一中学高一上期末)已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则， 所以，函数为上的增函数， 由于函数是偶函数，可得， ， ，因此，.故选：A. 【变式8-4】(2024·福建高一期末)若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是奇函数，在上递减，则在上递减， ∴在上是减函数， 又由是奇函数，则不等式可化为， ∴，． 题型09 数形结合解决奇偶性问题 【典例9】（2024上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________． 【答案】 【解析】已知是定义在上的奇函数，则，且 又对任意且，都有， 不妨设，则，所以，即， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又，所以， 则函数的大致图象如下图： 根据图象可得不等式的解集为：. 奇偶性与单调性的运用 奇函数图象关于原点对称，偶函数关于y轴对称，借图象直观分析性质。 【变式9-1】（2025·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增，且，， 可画出其大致图象，如图所示， 因为， 所以当时，，解得， 当时，，解得， 当时，显然不合题意， 所以不等式的解集为， 【变式9-2】（2025·北京·高三统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图象如图所示． (1)求的值； (2)补全的图象，并写出不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)作图见解析， 【解析】（1）由图可知，， 因为是偶函数，所以； （2） 的图象如上图，不等式的解集为； 综上， ，的解集为. 题型10 函数性质的综合应用 【典例10】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【解析】（1）是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； （2）依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 函数性质的综合应用问题破解策略 对于函数性质的综合应用问题，常采用各个击破的策略求解，如需要用到函数奇偶性的则联想函数的奇偶性，需要比较大小或解不等式则可联想函数的单调性，等等.另外要注意各种数学思想，尤其是数形结合思想和整体代换思想的应用. 【变式10-1】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知定义在上的奇函数满足. (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递减； (3)求关于的不等式的解集. 【分析】（1）由，求得，再利用，求得，可得的解析式； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性与单调性即可求解. 【解析】（1）因为为奇函数，所以，即； 因为，所以.    经检验函数是奇函数 所以的解析式为. （2）证明：，且，    ，，，，   ，即 所以函数在上单调递减； （3）因为为奇函数，所以等价于， 因为在上单调递减，所以，解得， 即不等式的解集为. 【变式10-2】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【分析】（1）利用赋值法，结合函数的奇偶性的定义进行证明. （2）利用函数单调性的定义，通过计算来进行证明. （3）根据函数的单调性、奇偶性等知识，结合对进行分类讨论来求得正确答案. 【解析】（1）函数为奇函数， 证明如下：令，可得，故， 令可得， 即. 又函数的定义域是，故函数为奇函数. （2）函数单调递减， 证明如下：任取，则， 故，即， 所以在上单调递减. （3）因为在上单调递减，且为奇函数， 则不等式， 可化为，即. 即，即， 当时，不等式为，解得， 则不等式的解集； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得或， 故此时不等式的解集为； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得， 故此时不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 练基础 1．（24-25高一上·河南商丘·期中）下列函数是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于B，的定义域为，且，可得是奇函数，故选B. 2．（2025全国·课后作业）函数，那么的奇偶性是（ ） A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，关于坐标原点对称，且： ， 故函数为奇函数. 3．（2024甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，， 因为，所以，，B错误，D正确； 对于A，C，、与的大小无法判断， 4．（2024广西·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，. 当时，，. 5．（2024北京·期末）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，．当时，为增函数， 所以，，因此，． 6．（2025福建厦门·期末）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是奇函数，在上递减，则在上递减， ∴在上是减函数， 又由是奇函数，则不等式可化为， ∴，． 7（多选）（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据幂函数和反比例函数的图象与性质依次判断可. 【解析】对于A，为其定义域上的增函数，是奇函数，故A正确； 对于B，为其定义域上的增函数，是奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但只在和上分别为增函数， 不是整个定义域上的增函数，故C错误； 对于D，为偶函数，故D错误. 故选：AB. 8.（多选）（2025全国·课后作业）下列判断正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是非奇非偶函数 【答案】BC 【解析】对于A，由且，得， 则的定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数，故A错误; 对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，， ， 当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确; 对于C，由且，得，即， 的定义域关于原点对称，此时， 所以既是奇函数又是偶函数，故C正确; 对于D，由且，得且x≠0， 的定义域关于原点对称，因为， ，所以函数为奇函数，故D错误. 9.（2025上海·课后作业）若函数，（其中为常数）是奇函数，则 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为上的奇函数， 所以，，解得. 故答案为： 10．（2025上海·专题练习）若函数的图象与的图象关于轴对称，则 ． 【答案】 【解析】在函数的图象上任取，点关于对称的点为， 在的图象上，所以． ， 故答案为：． 11．（2025全国·课后作业）已知是R上的偶函数，且在上是严格增函数，若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为是R上的偶函数，所以的图象关于轴对称. 因为在上是严格增函数，所以在上是严格减函数. 所以可化为，解得：. 故答案为： 12．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 【分析】先考查函数的定义域，进一步利用奇偶性的定义逐题判断即可. 【解析】（1）函数的定义域为， 不关于原点对称，故函数既不是奇函数，又不是偶函数． （2）函数的定义域为R. 又 所以函数为奇函数. （3）函数的定义域为R. 又， 所以函数为偶函数. （4）因为函数的定义域为， 则，且， 则且， 所以函数既是奇函数，又是偶函数. 13．（2025全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【解析】（1）解：由题意知的定义域为，定义域关于原点对称. 当时，，所以； 当时，，所以. 综上所述，知对于任意，都有， 所以，函数为偶函数. （2）解：函数的定义域为，关于原点对称. 当时，，所以； 当时，，所以 ； 当时，，所以，. 综上可知，当时，都有，所以是奇函数. 13．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 【分析】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可； （2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可； （3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得. 【解析】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    练提升 14．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得， 又由当时，函数为单调递减函数，所以， 所以， 故选：A. 15．已知定义在R上的函数满足:关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 16.(多选)（2025广东佛山·阶段练习）已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．定义域为 C． D．是奇函数 【答案】BC 【解析】对A, 的值域为,故A错误. 对B, 定义域为.故B正确. 对C,当是有理数时也为有理数,当是无理数时也为无理数, 故成立.故C正确. 对D, 因为,故D错误. 17.（多选）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【解析】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 18．（2025全国·课后作业）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由题知，， 又在上单调递减，所以在上单调递减， 由可得，且或且， 则或，所以不等式的解集为． 19．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【解析】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 20．（2024北京朝阳·期末）已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设， (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围; (3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小. 【答案】(1).(2).(3) F(m)+F(n)>0. 【解析】(1)∵， ∴b=a+1. ∵f(x)≥0对任意实数x恒成立， ∴， 解得a=1． ∴f(x)=x2+2x+1. 故． (2)由(1)知f(x)=x2+2x+1， ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1． 由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得或， 解得k≤-2或k≥6． 故k的取值范围为． (3)∵f(-x)=f(x)， ∴f(x)为偶函数， ∴b=0． 又a>0, ∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数． 对于F(x),当x>0时，； 当x<0时,， ∴,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数， ∴在上为增函数． 由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0, 则有m>-n>0， ∴， ∴． 练创新 21．(多选)（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可. 【解析】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，， 所以区间上单调递增，， 对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，若，则或，解得或，故B正确； 对于C，若，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当，，当，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确； 故选：ABD. 22．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 . 【答案】1 【解析】由题意知，（）， 设，则， 因为， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 23．函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立． (1)证明函数f（x）的奇偶性； (2)若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值； (3)解关于x的不等式 【解析】（1）令x=y=0得f(0)=0, 再令y=—x即得f(－x)=－f(x）, ∴是奇函数. （2）设任意，且，则，由已知得①， 又②， 由①②可知， 由函数的单调性定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数， ∴x∈[－2，2]时，， ∴f(x)当x∈[－2，2]时的最大值为4． （3）由已知得：， 由（1）知f(x）是奇函数， ∴上式又可化为：， 由（2）知f(x）是R上的减函数， ∴上式即：， 化简得， ∴ 原不等式的解集为或. 24.（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 【分析】（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明； （2）由单调性的定义,做差证明； （3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证． 【解析】（1）令，代入得到. 令，得，即. 所以在上是奇函数. （2）设，则. 因为，所以，. 又因为，所以且， 所以：，所以. 所以，. 所以在上是单调递减函数. （3）， 所以. 因为，所以. 所以. 故. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$