重难点培优01 三角函数图象与性质的通用解法（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 三角函数图象与性质的通用解法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 三角函数定义域问题（★★） 2 题型二 三角函数的最值与值域问题（★★★） 4 题型三 三角函数的周期性问题（★★★★） 5 题型四 函数的奇偶性的判断与证明（★★★★）....................................................................................7 题型五 已知三角函数的奇偶性求参数（★★★★）................................................................................7 题型六 已知三角函数的奇偶性求表达式、求值（★★★★）................................................................7 题型七 三角函数的对称性问题（★★★★）............................................................................................7 题型八 利用函数单调性求参数的范围（★★★★）................................................................................7 题型九 利用函数的单调性比较函数值大小（★★★★）.......................................................................7 题型十 三角函数图象的变换（★★★★）...............................................................................................7 题型十一 根据三角函数图象求解析式（★★★★）..............................................................................7 题型十二 三角函数图象的综合应用（★★★★★）..............................................................................7 03 实战检测・分层突破验成效 8 检测Ⅰ组 重难知识巩固 8 检测Ⅱ组 创新能力提升 10 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 二、函数的最值 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 （1），都有；②，使得，则M是函数的最大值； （2），都有；②，使得，则M是函数的最小值. 三、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 4、 函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 5、 函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 六、与的图象与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩：由函数的图象变换为函数的图象的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图象，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 题型一 三角函数定义域问题 【技巧通法·提分快招】 求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集． 1．（2024·天津·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津和平·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 5．（2024·天津·调研）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是关于角的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D． 6．（2024·天津武清·一模）已知函数的部分图象如图所示，则函数 的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·调研）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·二模）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若，求函数的单调区间. 9．（2025·天津·一模）已知函数． （Ⅰ）求f（0）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的定义域； （Ⅲ）求函数f（x）在上的取值范围． 题型二 三角函数的最值与值域问题 【技巧通法·提分快招】 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． （6）导数法 1．（2025·天津武清·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 2．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知函数若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·二模）已知集合，曲线上的点构成集合，则曲线上的点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 5．（2025·天津·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津宝坻·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·模拟预测）已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 9．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 10．（2025·天津宁河·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)求B； (2)求的取值范围. 题型三 三角函数的周期性问题 【技巧通法·提分快招】 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 1．（2024·天津·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 3．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，现给出下列四个结论： ①的图象关于点对称； ②函数的最小正周期为； ③函数在上单调递减； ④对于函数． 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 4．（2025·天津·三模）已知函数的部分图象如下所示，其中，，其中，则（   ） A． B．1 C． D． 5．（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·调研）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高一下·天津·开学考）已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 8．（24-25高三下·天津·期中）已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 9．（24-25高三·天津·开学考）已知函数． (1)求最小正周期及图象的对称中心； (2)在中，，，分别为角，，的对边，且，，，求的面积． 题型四 函数的奇偶性的判断与证明 【技巧通法·提分快招】 函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图象的对称性. 1．（23-24高一下·天津·期末）函数，其中. （1）讨论的奇偶性; （2）时，求证：的最小正周期是； （3），当函数的图象与的图象有交点时，求满足条件的的个数，说明理由. 2．（24-25高一上·天津·期末）已知函数 (1)证明：是偶函数. (2)若，求在上的零点. 3．（23-24高二上·天津武清·开学考试）已知数列中，关于的函数有唯一零点，记． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求； (3)求证：； 4．（24-25高一下·天津·期中）判断的奇偶性. 5．（22-23高一·天津·开学考）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25高一下·天津·期末）已知函数，试根据下列要求研究函数的性质. （1）求证：函数是偶函数； （2）求证：是函数的一个周期； （3）写出函数的单调区间（不必证明），并求函数的最值. 题型五 已知函数的奇偶性求参数 【技巧通法·提分快招】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 1．（24-25高三下·天津·阶段练习）若是偶函数，则 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，且关于的方程在上恰有2个解，则 ． 3．（24-25高一下·天津蓟州·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 5．（2025·天津宝坻·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 6．（2025·天津宝坻·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·天津河西·期末）已知. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数的最值并写出取最值时自变量的值； (3)若函数为偶函数，求的值. 题型六 已知函数的奇偶性求表达式、求值 【技巧通法·提分快招】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 1．（2025高三·天津·专题练习）设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·天津·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 3．（23-24高二下·天津宁河·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 4．（2024·天津蓟州·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 5．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025高三·天津·专题练习）已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 7．（22-23高一下·天津·阶段练习）已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为． (1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值； (2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 题型七 三角函数的对称性问题 【技巧通法·提分快招】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 1．（2024·天津和平·一模）若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为 . 2．（2022·天津河东·一模）已知函数，若方程在区间上的根为，则 . 3．（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 4．（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·天津河东·一模）关于函数，下列结论正确的为（    ） A．的最小正周期为 B．是的对称中心 C．当时，的最小值为0 D．当时，单调递增 7．（24-25高一上·天津·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)求函数在区间 上的最大值和最小值. 8．（24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 题型八 利用函数单调性求参数的范围 【技巧通法·提分快招】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 1．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·天津·二模）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 4．（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 5．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 7．（2025·天津·调研）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 8．（2025·天津·三模）已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 题型九 利用函数的单调性比较函数值大小 【技巧通法·提分快招】 比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 1．（2024·天津河西·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津河西·一模）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津武清·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津南开·二模）已知函数的部分图象如下：    则的解析式可能为（    ）. A． B． C． D． 6．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知 (1)求证：. (2)若. ①求； ②若，且，求. 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知定义在R上的二次函数，且在上的最小值是7． (1)求实数的值； (2)设函数，方程在上是否存在两个不等实根？若存在，请说明与的大小关系，若不存在，请说明理由． 8．（24-25高一下·天津·期中）已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 题型十 三角函数图象的变换 【技巧通法·提分快招】 由函数的图象变换为函数的图象． 方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换． 的图象的图象 的图象 的图象 1．（24-25高三上·天津·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 2．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的有 ． ①函数的最小正周期为； ②是函数h(x)图象的一个对称中心； ③函数图象的一个对称轴方程为； ④函数在区间 上单增 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位 长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为 . 4．（24-25高三上·天津·期中）函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在上的最小值为 . 5．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 . 6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是 ． 7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图象关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 8．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数.下列结论正确的是 .①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 9．（24-25高一下·天津红桥·阶段练习）函数 (1)求函数的最小正周期 (2)求函数单调递减区间； (3)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象.求的值. 10．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在 上的值域. (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图象，求函数 在上的单调减区间. 题型十一 根据三角函数图象求解析式 【技巧通法·提分快招】 根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解． 1．（2019·天津·一模）已知函数最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024高三·天津·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，则 ；函数在不单调，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一下·天津·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为 . 6．（24-25高一下·天津·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，其图象经过点，且与轴两个相邻的交点的距离为． (1)求的解析式； (2)在中，，求的面积． 8．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的最大值为2，且，．若，且． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的零点． 9．（24-25高一上·天津·期末）若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 题型十二 三角函数图象的综合应用 【技巧通法·提分快招】 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性． 因为对称性奇偶性（若函数图象关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系） 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ①  ②函数为偶函数 ③  ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．③④ D．①④ 3．（23-24高三上·天津河东·期中）已知，给出下列结论： 若，，且，则； 存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； 若，则在上单调递增； 若在上恰有个零点，则的取值范围为． 其中，所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 6．（20-21高一上·天津西青·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在上的单调递增区间； （Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域. 7．（24-25高一下·天津·期末）已知函数，且. (1)求a的值和函数的最小正周期； (2)求不等式的解集； (3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 8．（24-25高一下·天津·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（22-23高二下·天津河北·期末）将函数，的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．在上单调递减 D．在上的最小值为 2．（2024·天津·二模）已知函数，关于有下面四个说法： 的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到； 在区间上单调递增； 当时，的取值范围为； 在区间上有个零点． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）． A．是最小正周期为的偶函数 B．点是的对称中心 C．在区间上的最大值为 D．在区间上单调递减 4．（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③的最大值为，最小值为，则； ④最小正周期是. 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，是图象与轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称； B．函数的最小正周期为； C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到； D．函数的单调递增区间是. 6．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25高一下·天津和平·期末）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高三上·天津滨海新·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（   ） ①函数的最小正周期为； ②是函数图象的一个对称中心； ③函数图象的一个对称轴方程为； ④函数在区间上单调递增 A． B． C． D． 9．（23-24高三上·天津宁河·期末）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） ①的最小正周期为；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的单调递增区间为；④将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 10．（23-24高三上·天津·期末）已知函数，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且直线是其一条对称轴，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 11．（22-23高一上·天津河西·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象. (1)函数的最小正周期和对称轴方程及对称中心坐标； (2)求的单调递增区间和对称轴方程及对称中心坐标. 12．（24-25高一上·天津·期末）若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 13．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间： (3)当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 14．（2022·天津北辰·模拟预测）已知，，. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若将图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的对称轴及其对称中心. 15．（2022·天津南开·模拟预测）已知数． (1)求函数的最小正周期，并写出函数的单调递增区间 (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（   ）    ①；     ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·天津南开·二模）已知函数的部分图象如下：    则的解析式可能为（    ）. A． B． C． D． 4．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．函数在的零点为，则 5．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 三角函数图象与性质的通用解法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 2 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 三角函数定义域问题（★★） 5 题型二 三角函数的最值与值域问题（★★★） 11 题型三 三角函数的周期性问题（★★★★） 20 题型四 函数的奇偶性的判断与证明（★★★★） 26 题型五 已知函数的奇偶性求参数（★★★★） 30 题型六 已知函数的奇偶性求表达式、求值（★★★★） 34 题型七 三角函数的对称性问题（★★★★） 38 题型八 利用函数单调性求参数的范围（★★★★） 46 题型九 利用函数的单调性比较函数值大小（★★★★） 53 题型十 三角函数图象的变换（★★★★） 58 题型十一 根据三角函数图象求解析式（★★★★） 67 题型十二 三角函数图象的综合应用（★★★★★） 75 03 实战检测・分层突破验成效 85 检测Ⅰ组 重难知识巩固 85 检测Ⅱ组 创新能力提升 98 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 二、函数的最值 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 （1），都有；②，使得，则M是函数的最大值； （2），都有；②，使得，则M是函数的最小值. 三、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 4、 函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 5、 函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 六、与的图象与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩：由函数的图象变换为函数的图象的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图象，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 题型一 三角函数定义域问题 【技巧通法·提分快招】 求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集． 1．（2024·天津·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即，可得， 故. 故选：B. 2．（2023·天津·模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知求在区间内的零点， 所以令，得， 又因为， 所以只能是，得， 在区间内，当时，有， 所以共有个零点，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得． 当时，函数单调递增． 所以当时，单调递增． 故在上单调递增． 故选：A. 4．（2024·天津和平·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【详解】设，由可得， 所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数不是偶函数，A错B错； 当时，则 ， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 因为， 结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错. 故选：C. 5．（2024·天津·调研）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是关于角的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D． 【答案】C 【详解】由题知，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，函数，由得 所以的定义域为，C错误； 对于D， ， 当时，等号成立，D正确. 故选：C. 6．（2024·天津武清·一模）已知函数的部分图象如图所示，则函数 的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项：已知，， 因为，所以， 又因为（为任意角），这里， 所以，故是奇函数， 而题目所给函数图象关于轴对称，是偶函数，所以A选项不符合，排除. 对于B选项：对于，同样根据奇函数的定义计算：， 由于，所以， 又因为（为任意角，这里）， 所以，即是奇函数， 不符合函数图象为偶函数这一条件，排除. 对于C选项：对于，， 因为，且（为任意角，这里）， 所以，所以是偶函数. 对于D选项：对于，， 因为，所以， 所以是偶函数. 此时C、D选项函数均为偶函数，还需结合定义域进一步判断. 对于C选项：正切函数的定义域为，， 对于，其自变量需满足有意义， 所以的定义域为，，不是. 而从题目所给图象来看，函数的定义域是，所以C选项不符合，排除. 对于D选项：对于，因为余弦函数的定义域是， 且，的值在正切函数的定义域内， 所以的定义域是，符合图象所给信息. 故选：D. 7．（2025·天津·调研）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数中，，且， 即有，且，于是得原函数定义域为且， 又，函数最小正周期为， 显然区间内的任意实数，原函数都有意义，而区间内取不为的实数原函数才有意义， 因此原函数的周期不是，又， 经验证任取长度为的区间，每个单位平移，不在定义域内的实数呈周期性， 如区间中，且，区间中，且，不取的实数依次相差， 所以原函数的最小正周期为. 故选：B 8．（2023·天津·二模）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1），即，则，即， 又有意义，则，， 综上可得，，，则函数的定义域为 （2） ∵，则， 由，解得， 由，解得， 即的单调递增区间为，单调递减区间为 9．（2025·天津·一模）已知函数． （Ⅰ）求f（0）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的定义域； （Ⅲ）求函数f（x）在上的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ） （Ⅲ） 【详解】解：（Ⅰ）∵， ∴； （Ⅱ）由cosx≠0，得， ∴函数的定义域是 ； （Ⅲ） ==sinx+cosx=， ∵，即 ，∴＜＜， 则＜sin（x+）≤1，∴． ∴函数f（x）在上的取值范围为． 题型二 三角函数的最值与值域问题 【技巧通法·提分快招】 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． （1），设，化为一次函数在上的最值求解． （2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1） （3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． （4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． （5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． （6）导数法 1．（2025·天津武清·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 【答案】C 【详解】由题意知不是奇函数，故A错误． 不关于直线对称，故B错误． 由，得，则，故C正确． 当时，，而在上不单调， 所以在上不单调，故D错误． 故选：C 2．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知函数若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，恒成立，等价于， 易知，所以，即，得； 当时，恒成立，等价于， 因为，易知在上单调递减， 因此当时，， 所以，解得. 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 3．（2025·天津·二模）已知集合，曲线上的点构成集合，则曲线上的点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，曲线上的点构成集合， 设曲线C上的点，则， 所以，所以，即， 所以设， 所以曲线上的点到直线的最大距离为 ， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，曲线上的点到直线的最大距离为. 故选：A. 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，， 又因为在处取得极值， 即关于对称，所以，，即，， 由为奇函数且在上单调，可得在上单调， 所以的周期，所以，又，所以. 故选：B. 5．（2025·天津·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理，可得， 由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，，所以， 所以，又因为边上的高，所以． 故选：B. 6．（2025·天津宝坻·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 7．（2023·天津·模拟预测）已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数， 当时，方程可化为，解得 ，则当时，， 当时，方程可化为，解得， 则当时， 因为根据方程在上恰有5个不同实根， 所以这5个不同实根为，则， 故选：D. 8．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为：； (2)最大值为，最小值为0． 【详解】（1） ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． （2）当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 9．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 因为的最小值为，所以，所以； （2）因为，所以，解得， 所以， 若选择条件①：函数的图象的对称轴为， 所以，所以，， 因为，所以，， 所以，即， 因为，故，且，对应的满足题意， 所以函数存在且不唯一； 若选择条件②：因为在区间上单调，所以， 所以，又，所以， 因为的图象关于点对称，所以， 所以，所以， 所以，解得，因为，所以，即， 所以，此时当时，， 故在上单调减，故符合题设要求. 因为，所以， 所以，所以； 若选择条件③：因为的最小正周期，所以， 所以，又，所以， 因为，所以， 所以或， 所以或， 当时，，因为，所以，此时， 当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以. 10．（2025·天津宁河·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)求B； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 即， 所以， 即， 所以， 因为，所以；故， 又因为，所以； （2）由（1）知，可得， 根据正弦定理，得 ， 令，则，因为，所以， 所以， 所以 . 因为，所以. 所以的取值范围是. 题型三 三角函数的周期性问题 【技巧通法·提分快招】 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 1．（2024·天津·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，即，则，所以， 且和是两个对称中心，且， 所以和在同一周期内， 又的一个周期内有个对称中心， 所以，即，，则， 又，解得，， 又当，时单调递减， 解得，， 所以区间为的一个子集， 所以，结合得，，可得， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高三下·天津·阶段练习）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】或， 因为对恒成立，所以， ①； ②； 故选：B． 3．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，现给出下列四个结论： ①的图象关于点对称； ②函数的最小正周期为； ③函数在上单调递减； ④对于函数． 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】对于①，由得的定义域为， ， 因此的图象关于点对称，故①正确； 对于②，因为， 所以是的周期，故②错误； 对于③，当时，，所以， 故， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，由复合函数性质可知，函数在上单调递减，③正确； 对于④，由上知，当时，， ， 因此，故④正确. 故选：C. 4．（2025·天津·三模）已知函数的部分图象如下所示，其中，，其中，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，为等腰直角三角形，则，故，故， 则；而，故，解得， 又，故，则. 故选：B． 5．（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称， 可得出函数为奇函数， 所以，，解得，A选项合乎题意. 故选：A. 6．（2023·天津·调研）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则，    ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A 7．（23-24高一下·天津·开学考）已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且，解得， 又因为，则， 解得， 且，可得， 所以. （2）由题意可知：， 因为， 由，即， 可知，解得， 且，所以的最小值为． 8．（24-25高三下·天津·期中）已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期； （2）， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 9．（24-25高三·天津·开学考）已知函数． (1)求最小正周期及图象的对称中心； (2)在中，，，分别为角，，的对边，且，，，求的面积． 【答案】(1)最小正周期为，对称中心是， (2) 【详解】（1） ， 最小正周期， 又，，，， 即图象的对称中心是，； （2），， ，，，， ． 题型四 函数的奇偶性的判断与证明 【技巧通法·提分快招】 函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图象的对称性. 1．（23-24高一下·天津·期末）函数，其中. （1）讨论的奇偶性; （2）时，求证：的最小正周期是； （3），当函数的图象与的图象有交点时，求满足条件的的个数，说明理由. 【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）的个数为个，见解析. 【详解】（1），所以函数是奇函数； （2），所以的最小正周期是； （3）因为当时，，（当且仅当时取等号），所以当函数的图象与的图象有交点时，只能，即，因为，所以， 因此，，因此满足条件的的个数为198个， 当时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称， 所以当函数的图象与的图象有交点时，满足条件的的个数为198. 2．（24-25高一上·天津·期末）已知函数 (1)证明：是偶函数. (2)若，求在上的零点. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）函数， 其定义域为，有， 则为偶函数； （2）若，即，解可得， 故， 若，即，解可得或舍， 又由，则， 即在上的零点为. 3．（23-24高二上·天津武清·开学考试）已知数列中，关于的函数有唯一零点，记． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求； (3)求证：； 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）定义域为，显然关于原点对称，又， 于是是偶函数. （2）由于偶函数有唯一零点，则是唯一解，若不然有非零解，即， 但是偶函数，故，则有两个零点和题目矛盾. 根据可得，，则，于是是常数列， 又，故，故. （3） ； 又， ， ； 4．（24-25高一下·天津·期中）判断的奇偶性. 【答案】奇函数 【详解】定义域为，关于原点对称， ∵，∴它是奇函数. 5．（22-23高一·天津·开学考）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 (4)既不是奇函数，也不是偶函数 【详解】（1）因为的定义域为， 又， 所以是偶函数. （2）因为的定义域为， 又， 所以是偶函数. （3）因为的定义域为， 又， 所以是奇函数. （4）因为， 而 所以既不是奇函数，也不是偶函数. 6．（24-25高一下·天津·期末）已知函数，试根据下列要求研究函数的性质. （1）求证：函数是偶函数； （2）求证：是函数的一个周期； （3）写出函数的单调区间（不必证明），并求函数的最值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）函数的单调递增区间是（），单调递减区间是（）.函数的最大值为，最小值为1． 【详解】（1）函数定义域，任取， ， 所以，函数是偶函数； （2）任取， 所以是周期函数，是它的一个周期； （3）由函数周期性，可先研究在上的单调性和最值. 当时，， 所以函数的单调递增区间是（）， 单调递减区间是（）. 函数的最大值为，最小值为1． 题型五 已知函数的奇偶性求参数 【技巧通法·提分快招】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 1．（24-25高三下·天津·阶段练习）若是偶函数，则 【答案】0或2 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 2．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，且关于的方程在上恰有2个解，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意，可得是偶函数， 则，可得； 又由在上恰有2个解，即在上恰有2个解， 因为时，可得， 所以在上恰有2个解， 由图象性质，可得，可得. 又因为，所以只有当时，符合题意，所以． 故答案为：． 3．（24-25高一下·天津蓟州·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 【答案】2 【详解】为偶函数， 所以，，得，， 当时，，在区间内仅有两个零点， 所以，解得：，所以. 故答案为：2 5．（2025·天津宝坻·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 6．（2025·天津宝坻·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 7．（21-22高一上·天津河西·期末）已知. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数的最值并写出取最值时自变量的值； (3)若函数为偶函数，求的值. 【答案】(1)； (2)当时，；当时，； (3). 【详解】（1）依题意，， 由得：， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）知，当，即时，， 当，即时，， 所以，当时，，当时，. （3）由（1）知，，因函数为偶函数， 于是得，化简整理得，而，则， 所以的值是. 题型六 已知函数的奇偶性求表达式、求值 【技巧通法·提分快招】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 1．（2025高三·天津·专题练习）设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，又其为偶函数， 则图象关于轴对称，则， 得，又，则或. 故选：B 2．（23-24高二下·天津·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 3．（23-24高二下·天津宁河·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为， 故，而，故， 故选：B. 4．（2024·天津蓟州·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】定义域为，令， 则， ∴是上的奇函数， ∴， 即， 故选：A． 5．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】，则 . 故. 故选：A 6．（2025高三·天津·专题练习）已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以． 当时，， 所以， 所以，即当时，． 又当时，，所以数列的通项公式为． （2）， 所以． 所以． 7．（22-23高一下·天津·阶段练习）已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为． (1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值； (2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【详解】（1），且当时，， 故； （2），当时，， ……， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ……， 画出的图象如下： 设当时，，即， 解得或， 因为，所以， 对任意，都有，故 故实数的取值范围是， （3）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数， 即，， 因为的值域为，而， 故，解得或， 当时，，故， 当时，，故， 综上，或. 题型七 三角函数的对称性问题 【技巧通法·提分快招】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 1．（2024·天津和平·一模）若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】当，设，， 则为开口向上的二次函数，， ①当，有唯一解，此时， ，此时有三个解，且均不为3，符合题意； ②当，无解，故区间上恰有4个零点， 则，解得，符合题意； ③当，的对称轴，且， （i）当，，此时有两个解：2和5，，此时有三个解，且与的解2，5不重合，不合题意， （ii）当，且，此时有两个解，且均属于，， 若有2个解，故，解得，则，舍去； （iii）若有3个解，故，解得， 若此时有2个解，则必须有1个重根， 下面检验重根情况：，则，的3个解为， 且，，， 故重根可能为，，. 令，，解得， 当重合，若，则（）， 解得，满足题意； 若，则，即，无解； 若，，即，无解； 当重合，若，则，解得（舍去）； 若，则，解得，符合题意； 若，则，即，无解，舍去； （iv）当，，此时有1个解， 设为m，则，，故，解得， 又，综合得， 同理（iii）的分析，，， 此时有三个解，且与的解不重合，符合题意， 综上所述：或或 故答案为： 2．（2022·天津河东·一模）已知函数，若方程在区间上的根为，则 . 【答案】/ 【详解】∵，∴， 正弦函数在上图象如图： 则f(x)的一条对称轴：， 的两根关于对称， 故， ∴． 故答案为：． 3．（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【答案】B 【详解】由题意得. 将代入中，得，故函数的图象关于点中心对称，故选项A错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确； 当时，，根据余弦函数的图象可知，当，即时，即在区间有一个零点，故选项C错误； 将代入中，得，故函数的图象关于直线对称，故选项D错误. 故选：B. 4．（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 【答案】D 【详解】由题意，画出函数的部分图象， 如图所示： 根据图象可知为的最小正周期，故A错误； 由图象知图象的对称轴方程为，故B错误； 在上先单调递增，再单调递减，故C错误； 函数在上的零点个数，转化为方程在上的解的个数， 转化为函数与的交点个数，由图知，函数与有6个交点， 所以，函数在上有4个零点，故D正确； 故选：D 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据题意，，， 对于①，令，，解得， 取，可得， 所以函数的图象关于点对称，故①正确； 对于②，，， 由正切函数的性质可知在上单调递增，故②正确； 对于③，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故③错误； 对于④，，，令， 由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且， 所以方程在区间上只有一个实数解，故④错误； 故选：B． 6．（2024·天津河东·一模）关于函数，下列结论正确的为（    ） A．的最小正周期为 B．是的对称中心 C．当时，的最小值为0 D．当时，单调递增 【答案】B 【详解】对于A，易知，则的最小正周期为，故A错误， 对于B，易知，，解得，，当时，， 此时对称中心为，故B正确， 对于C，当时，，故的最小值不为0，故C错误， 对于D，易知，，故当时，并非单调递增，故D错误. 故选：B 7．（24-25高一上·天津·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)求函数在区间 上的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期. （2）由，解得， 所以函数图象的对称中心是. （3）当时，， 则当，即时，；当，即时，， 所以函数在区间 上的最大值和最小值分别为. 8．（24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) (3) 【详解】（1）由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. 令，解得， 所以单调递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即，， 解得， 所以. 题型八 利用函数单调性求参数的范围 【技巧通法·提分快招】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 1．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，极小值点为. ，令. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得. 因为的单调递增区间为. 对于，令， 则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，当时，， 故，则且. 解不等式得. 综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 2．（2020·天津·二模）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 又，， 函数()在区间上单调递减， ，即，解得； 令，则，即， 由，可得当且仅当时，， 又函数()在区间上存在零点， ，解得； 综上，的取值范围是. 故选：D. 3．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 4．（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【答案】D 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 5．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为， 又在上单调递减，则，故，可得， 所以，可得，，则， 所以，则， 又在区间上单调递增，则， 所以，显然，故t的最大值为. 故选：C 6．（22-23高一上·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以，函数的最小正周期为. （2）当时，即当时，函数取最大值， 故函数取最大值时的取值集合为. （3）当时，， 由于函数在区间上单调递减，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 7．（2025·天津·调研）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 8．（2025·天津·三模）已知函数. (1)当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： (2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 【答案】(1)（i）有一个极值点，理由见解析；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，函数. （i）在上极值点的个数为1个. 对求导，根据求导公式，令， 对求导，. 当时，在上，在上， 在内，的符号会发生变化， 因为上连续，且，又符号变化， 所以存在使得先正后负，即先正后负， 根据极值点的定义，在上有一个极值点. （ii）已知，令，即，可得. 设与的交点横坐标为， 因为的周期为，且在上单调递增， 相邻两个交点之间，的图象变化一个周期。 考虑与的图象关系，， 对于在上，单调递减， 从可知，（因为一个周期内与有一个交点，且两交点间水平距离大于半个周期）， 又因为与的交点不会超过一个周期的距离，所以， 所以； （2）当时， 设为双重切线的两个切点， 则在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 因为两条切线重合，则，即，则或， 不妨设（取一种情况分析），则直线的斜率为， 设此时直线的斜率， 设此时直线的斜率， 则，因为根据三角函数的图象和性质， 令求导， 当求时，通过分析的单调性，可知当靠近时，较大； 当求时，靠近时，较大； 不妨设，则，由三角函数的图象和性质可知， 当在相应区间内时，，则 所以，故得证. 题型九 利用函数的单调性比较函数值大小 【技巧通法·提分快招】 比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 1．（2024·天津河西·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，，， 即， 则，，， 即，所以. 故选：A. 2．（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得 . 故选：A 3．（2025·天津河西·一模）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； ；， 则 故选：A 4．（24-25高一上·天津武清·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以，所以， 故选：B. 5．（2024·天津南开·二模）已知函数的部分图象如下：    则的解析式可能为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为奇函数，排除AB两个选项； C选项，因为，所以，由图，故排除C选项； D选项，是奇函数，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知 (1)求证：. (2)若. ①求； ②若，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）依题意， ， 所以. （2）①由（1）得，，解得， 所以. ②由及①，得，则，解得， 而，于是， 即，而，且函数在上单调递增， 所以，即. 7．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知定义在R上的二次函数，且在上的最小值是7． (1)求实数的值； (2)设函数，方程在上是否存在两个不等实根？若存在，请说明与的大小关系，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）函数，对称轴为． 当即时，在单调递增，最小值为． 由，解得，满足． 当即时，函数最小值为，无解． 当即时，函数最小值为，解得，不满足，舍去． 综上，． （2）在内，结合的取值范围与的取值范围， 可得根所在区间满足：且 时，解得，即或； 时，解得． 所以，若方程存在解，则一定有． 记， 则 可知方程在上有两不等实根． 而的图象如图所示： 故在上有且只有两个交点， （法一）由以上分析可知 则， 所以． 因为在单调递增，所以，即． （法二）则， 因为对称轴为，所以， 且整理可得，且， 显然在上单调递增，所以，即． 又因为且在该区间单调递减， 所以，即． 故． 8．（24-25高一下·天津·期中）已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意得，得． （2）． （3）由，得． 由，得，得， 所以，， 由，得， ， 所以 ． 题型十 三角函数图象的变换 【技巧通法·提分快招】 由函数的图象变换为函数的图象． 方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换． 的图象的图象 的图象 的图象 1．（24-25高三上·天津·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 【答案】①③ 【详解】由图可知，设函数的最小正周期为， 则，所以，由及， 又，所以， 又，所以， 所以， 对①：由，即， 令，则为函数的一条对称轴；故①正确； 对②：由，即， 令， 故函数的图象不关于点对称，故②不正确； 对③：的图象向右平移个单位长度可得： ，故③正确； 对④：因为，所以， 由函数在上不单调， 所以函数在上不单调；故④不正确； 故答案为：①③. 2．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的有 ． ①函数的最小正周期为； ②是函数h(x)图象的一个对称中心； ③函数图象的一个对称轴方程为； ④函数在区间 上单增 【答案】②④ 【详解】， ，. ①的最小正周期为，①错误. ②， ②正确. ③，③错误. ④， 所以函数在区间上单调递增，④正确. 所以正确的是②④. 故答案为：②④ 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位 长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为 . 【答案】 【详解】原函数向右平移后得到. 因为的图象关于轴对称，有. 得到. 已知，解得. 因为，所以能取到的最大整数为. 当时，，即. 故答案为：. 4．（24-25高三上·天津·期中）函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在上的最小值为 . 【答案】/ 【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 若函数为偶函数，又，所以，，故函数． ，，， 则函数在的最小值为， 故答案为： 5．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 . 【答案】 【详解】由题意， 因为，所以，所以， 所以函数在区间上的值域为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【详解】对于①， 的最小正周期为，故①正确； 对于②，因为，所以，由正弦函数的图象可知，在上单调递增，故②正确； 对于③，函数的图象上所有点向左平移个单位长度，则，而，故③错， 故答案为：①②. 7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图象关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 【答案】 【详解】. （i）若，则， 函数沿x轴向右平移单位后得到函数图象的解析式为： ， 由题意可知：函数的图象关于y轴对称， 所以函数是偶函数， 于是有， 因为，所以令，得； （ii）因为函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 解得， 当函数在上单调递增时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 当函数在上单调递减时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 综上所述：ω的最大值为， 故答案为： 8．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数.下列结论正确的是 .①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 【答案】②③④ 【详解】因为. 对①：由函数性质，函数的对称中心的纵坐标为，故①错误； 对②：因为，是函数的最大值，故②正确； 对③：由，，得：，. 所以函数在，上为增函数. 令，得函数在上为增函数.故③正确； 对④：将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，再把函数向上平移个单位长度，可得到的图象，即为函数的图象，故④正确. 故答案为：②③④ 9．（24-25高一下·天津红桥·阶段练习）函数 (1)求函数的最小正周期 (2)求函数单调递减区间； (3)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象.求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1） ， 因为，所以的最小正周期为. （2）令，，解得，， 所以函数的单调减区间为，. （3）函数的图象先向左平移个单位得到， 将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 所以. 10．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在 上的值域. (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图象，求函数 在上的单调减区间. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）根据函数的部分图象，可得， ，所以， 再根据过，可得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 故函数对称中心为. （2）因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值琙为. （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象， 即. 令，解得， 可得的减区间为， 结合，可得在上的单调递减区间为. 题型十一 根据三角函数图象求解析式 【技巧通法·提分快招】 根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解． 1．（2019·天津·一模）已知函数最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的最小正周期为，所以， 又因为的图象过点，所以， 所以，又因为，所以且此时， 所以，即， 即， 又因为时，，， 所以， 因为，所以， 当时，或，解得或， 所以方程所有解的和为. 故选：A. 2．（23-24高一下·天津·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确； 对②，由图象可知时，函数无意义，故 由，得，即，故②错误； 对③，由，故③正确； 对④，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确． 故选：C. 4．（2024高三·天津·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，则 ；函数在不单调，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由可知函数的最小正周期，解得， 又，故． 由图象得，且，则； 所以， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 要使其不单调，只需，解得， 的取值范围是． 故答案为：；． 5．（23-24高一下·天津·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】如图所示. 区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积， 可得，设函数的最小正周期为，则， 由题意可得，解得，故，可得， 即， 又的图象过点，即， 因为，所以，解得. 故. 故答案为：. 6．（24-25高一下·天津·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，， 即，，又， 所以，所以. 令，，解得，， 即的单调递减区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当，， 所以，， 若对任意的，，都有，则， 解得，即的取值范围是. 7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，其图象经过点，且与轴两个相邻的交点的距离为． (1)求的解析式； (2)在中，，求的面积． 【答案】(1) (2)84 【详解】（1）因为函数图象与轴两个相邻的交点的距离为， 所以，故， 所以， 又因为函数图象经过点， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的解析式为：. （2）因为， 所以， 所以，， 所以， 所以， 由正弦定理得， 所以. 8．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的最大值为2，且，．若，且． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的零点． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【详解】（1）由已知， 由得，或，， 又，所以， 又由得，，即，， 当时，，， 此时，得，则； 所以； （2）令，， 解得，， 即的单调递增区间是，； （3）令，则，，解得，． 9．（24-25高一上·天津·期末）若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为函数图象的相邻对称轴距离为， 所以，则，那么，则. 又因为，即. 由于，，所以，解得. 综上，.    令，得，，即，. 所以的单调减区间是. （2）当时，. 当，即时，取得最大值. 因为存在，使得不等式成立，所以. 即，解得不等式解集为，即实数的取值范围是. 题型十二 三角函数图象的综合应用 【技巧通法·提分快招】 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性． 因为对称性奇偶性（若函数图象关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系） 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意知时有，则， 解之得，即④正确； 作出部分图象如下，显然在区间上函数有3个极大值点，但不一定有3个极小值点，即①正确，②错误； 时， 因为，所以， 显然，此时单调递增，即③正确. 故选：C 2．（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ①  ②函数为偶函数 ③  ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】由图可得，， 且，则，即， ，即， 又，故，即， 对①：，由时，函数取最大值， 故是函数的最大值，故①正确； 对②：，故②错误； 对③：， 则，故③正确； 对④：当时，， 由函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故④正确. 故选：B. 3．（23-24高三上·天津河东·期中）已知，给出下列结论： 若，，且，则； 存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； 若，则在上单调递增； 若在上恰有个零点，则的取值范围为． 其中，所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①由题意可得， 由，，且得两相邻对称轴间的距离为， 所以，解得，故①错误； ②的图象向左平移个单位长度得 ， 若关于轴对称，则，即， 解得，所以当时符合题意，故②正确； ③当时，，所以当时，， 因为在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增，上单调递减，故③错误； ④设，当时，， 在上恰有5个零点，即在上恰有5个零点， 则，解得，故④错误． 故选：A． 4．（2023·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】第④，因为，故当时，，画出函数的图象如下： 因为在有且仅有5个零点，故， 解得，④正确； 第①，当，或，即，或时，取得极大值，故在有且仅有3个极大值点，①正确； 第②，当，即时， 当，，即，时，取得极小值，此时在有且仅有2个极小值点 当，即时， 当，或，即，或时，取得极小值，此时在有且仅有3个极小值点，②错误； 第③，当时，， 因为，所以，由于， 故在单调递增，③正确. 故选：C 5．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】 ， 当时，， 令，则， 作出函数的图象如图所示： 由于函数在上有且仅有个极值点， 则，解得. 故答案为： 6．（20-21高一上·天津西青·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在上的单调递增区间； （Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【详解】解：（Ⅰ） ， ； （Ⅱ）法一： 令；则. ，的单调增区间为. ，解得. 函数在上的单调递增区间. 法二： ， ， 画数轴与所有区间取交集可知：. 函数在上的单调递增区间； （Ⅲ）是函数的一个零点 . 解得：. . ，，当单调递减区间为. ，解得 在区间上为减函数. 函数在上的单调递增区间，单调递减区间 ，，. 函数在上的值域为. 7．（24-25高一下·天津·期末）已知函数，且. (1)求a的值和函数的最小正周期； (2)求不等式的解集； (3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长. 【答案】(1)，. (2)，. (3)， 【详解】（1）因为. 由. 所以. 所以函数的最小正周期为：. （2）由，. ，. 所以不等式的解集为，. （3）因为，所以. 由题意：，所以， 所以. 如图： 设，，， 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② ①②得：. 在，由余弦定理得：. 所以，因为，所以. 所以，即. 8．（24-25高一下·天津·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（22-23高二下·天津河北·期末）将函数，的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．在上单调递减 D．在上的最小值为 【答案】D 【详解】， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 对于A，,所以是偶函数，故A错误； 对于B，的最小正周期为,故B错误； 对于C，当，, 所以在上不单调，故C错误； 对于D，时，,所以,所以, 所以在上的最小值为，故D正确. 故选:D. 2．（2024·天津·二模）已知函数，关于有下面四个说法： 的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到； 在区间上单调递增； 当时，的取值范围为； 在区间上有个零点． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为， 即. 对于，函数的图象向右平行移动个单位长度， 得到，所以正确； 对于，，则， 先减后增，所以错误； 对于，当，则， 当且仅当时，即时，， 当且仅当时，即，， 所以的取值范围为，所以正确； 对于，由，则， 则当时，， 所以在上有个零点，所以错误. 故选：B. 3．（2024·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）． A．是最小正周期为的偶函数 B．点是的对称中心 C．在区间上的最大值为 D．在区间上单调递减 【答案】D 【详解】， 向左平移个单位长度得到函数，则， 对于A：由以上解析可得为奇函数，故A错误； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：因为函数的递增区间为，即， 同理得函数的递减区间为 所以是的一个递减区间， 又当时，， 所以，故C错误； D：由C的解析可知，所以减区间为， 所以当时可得，在区间上单调递减，故D正确； 故选：D. 4．（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③的最大值为，最小值为，则； ④最小正周期是. 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】函数的定义域为，因为， 故是偶函数； 当时，，此时， 对于，令，得， 令，得， 又，故在上单调递增，在上单调递减，故②错误； 当时，， 由②可知，在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 当时，，， 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 故，，，故③正确； 由③可知， 又， 故④正确； 故选 ：C 5．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，是图象与轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称； B．函数的最小正周期为； C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到； D．函数的单调递增区间是. 【答案】D 【详解】由图象可知，， 即，所以，故B错误； 即，所以，且图象过点，即， 又，所以，所以， 当时，故A错误； 将的图象向右平移个单位长度得到，故C错误； 令，则，函数为增函数， 当时为增函数， 即，解得， 所以函数的单调递增区间是，故D正确； 故选：D. 6．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数， 对于A，，为偶函数， 但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去， 对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合， 对于C，，为奇函数，故C不符合， 故选：D 7．（24-25高一下·天津和平·期末）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得 ， 所以， 因为与的图象关于轴对称， 所以，即， 所以，解得， 又由可得的最小值为， 故选：A 8．（22-23高三上·天津滨海新·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（   ） ①函数的最小正周期为； ②是函数图象的一个对称中心； ③函数图象的一个对称轴方程为； ④函数在区间上单调递增 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象， 则， 将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则， 对于①，函数的最小正周期为，①错； 对于②，，所以，是函数图象的一个对称中心，②对； 对于③，因为， 所以，直线不是函数图象的对称轴，③错； 对于④，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，④对. 因此，正确命题的序号为②④. 故选：B. 9．（23-24高三上·天津宁河·期末）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） ①的最小正周期为；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的单调递增区间为；④将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【详解】由图象可知，，且，所以， 且，即，，所以，故①错误； 所以，又， 所以，即， 且，所以，则. 因为，故②错误； 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为，故③正确； 将函数的图象向右平移个单位可得，故④正确； 故选：D 10．（23-24高三上·天津·期末）已知函数，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且直线是其一条对称轴，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 【答案】C 【详解】对于A，由题意可知，函数的最小正周期为，A错误； ，， 因为直线是函数的一条对称轴，则， 得，因为，则，所以，. 对B，当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对C，，故点是函数图象的一个对称中心，C对； 对D，由题意可知，，不为奇函数，D错. 故选：C. 11．（22-23高一上·天津河西·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象. (1)函数的最小正周期和对称轴方程及对称中心坐标； (2)求的单调递增区间和对称轴方程及对称中心坐标. 【答案】(1)；；； (2)；；. 【详解】（1）函数的最小正周期； 由函数得：， 由函数得：， 所以函数的对称轴方程为，对称中心坐标为. （2）依题意，， 由得：， 所以函数的单调递增区间是； 由得：，由得：， 所以函数的对称轴方程是，对称中心坐标是. 12．（24-25高一上·天津·期末）若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为函数图象的相邻对称轴距离为， 所以，则，那么，则. 又因为，即. 由于，，所以，解得. 综上，.    令，得，，即，. 所以的单调减区间是. （2）当时，. 当，即时，取得最大值. 因为存在，使得不等式成立，所以. 即，解得不等式解集为，即实数的取值范围是. 13．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间： (3)当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知 ， 所以函数的最小正周期. （2）令，，解得，， 所以的单调递增区间为. （3）当，则，可得， 则，解得， 所以， 由，即，可得，解得， 所以使成立时自变量的集合为. 14．（2022·天津北辰·模拟预测）已知，，. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若将图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的对称轴及其对称中心. 【答案】(1)，递减区间为. (2)对称轴为，对称中心为. 【详解】（1）由题设，， ∴最小正周期， 令，可得， ∴单调递减区间为. （2）， 令，则，故对称轴为. 令，则，故对称中心为. 15．（2022·天津南开·模拟预测）已知数． (1)求函数的最小正周期，并写出函数的单调递增区间 (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，增区间为 (2) 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 由， 得， 所以的单调增区间为， （2）因为， 所以由正弦定理得 , 所以, 所以, 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以的取值范围为 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为， 又在上单调递减，则，故，可得， 所以，可得，，则， 所以，则， 又在区间上单调递增，则， 所以，显然，故t的最大值为. 故选：C 2．（24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（   ）    ①；     ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故①正确； 所以， 对于②：为奇函数，故②正确； 对于③：因为，则， 由题意可得：，解得，故③正确； 对于④：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故④错误； 所以正确的个数为3. 故选：B. 3．（2024·天津南开·二模）已知函数的部分图象如下：    则的解析式可能为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为奇函数，排除AB两个选项； C选项，因为，所以，由图，故排除C选项； D选项，是奇函数，故D正确. 故选：D. 4．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递增 D．函数在的零点为，则 【答案】C 【详解】对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为， 则与关于对称， 又，结合图象可得， 所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，右移个单位得到函数的图象， 再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确； 对于C，由，得， 所以在上不单调，故C错误； 对于D，令，则， 函数在上有个零点， 则，，，，， 故， 所以，故D正确； 故选：C． 5．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)2 (2)（i），；（ii）7 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 1 / 102 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$