1.1认识三角形 同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册浙教版（2024）

第1章 三角形的初步认识 1.1认识三角形 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 明确三角形的概念，能准确指出其边、角与顶点。​ . 掌握三角形三边关系，能据此判断能否构成三角形。​ . 理解三角形按角和边的分类方式。​ . 探索并掌握三角形内角和定理，会用于角度计算。 . . . 一：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二：三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三：三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五：三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 考点一： 三角形的识别与有关概念 1．在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 2．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 3．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 4．某有理数等于它的倒数的4倍，现在某三角形的两条边的长度分别是这个有理数和它的倒数，这个三角形的面积最大是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的应用，先求出这两个数，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】设这个数是，（因为这个数可以作为三角形的边所以必为正数），三角形的两条边长度分别为2和，这两条边互相垂直时面积最大，此时面积是． 故答案为：． 考点二：三角形的分类 5．亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三个内角，亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”要想说明亮亮的说法错误，需要用锐角三角形说明． 【详解】解：A选项：直角三角形有一个直角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故A选项不符合题意； B选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故B选项不符合题意； C选项：锐角三角形的三个角都是锐角，能说明亮亮的说法错误，故C选项符合题意； D选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 6．【比的应用】一个三角形内角度数比是，这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】该题考查了三角形内角和定理，根据题意设三角形的三个内角分别为、、，列方程求解即可． 【详解】解：设三角形的三个内角分别为、、， 根据三角形内角和为，得方程：， 解得，即． 因此，三个内角分别为、、． 其中最大角为，则该三角形是直角三角形． 故选：C． 7．一个三角形的三个内角分别是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形内角判断其类型． 【详解】解：三个内角分别为，，．其中，因此该三角形有一个钝角，则这个三角形是钝角三角形 故选：C． 8．在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 考点三.构成三角形的条件 9．下列长度的三条线段能组成三角形的是(    ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】A．最大边为，检验，等于第三边，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． B．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． C．最大边为，检验，满足两边之和大于第三边； 其他组合和均成立，因此可以构成三角形． D．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 综上，只有选项C符合条件． 故选：C． 10．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形三边关系，根据三角形三边关系，较短的两边之和必须大于最长的第三边，若两边之和等于或小于第三边，则无法组成三角形． 【详解】A 、2，2，3，较短两边为2和2，和为4，大于第三边3，能组成三角形； B 、2，3，3，较短两边为2和3，和为5，大于第三边3，能组成三角形； C 、2，2，4，较短两边为2和2，和为4，等于第三边4，无法组成三角形； D 、2，3，4，较短两边为2和3，和为5，大于第三边4，能组成三角形． 故选：C． 11．将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了构成三角形的条件，根据任意两边之和大于第三边即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能围成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能围成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能围成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能围成三角形，该选项符合题意； 故选：． 12．能围成三角形的一组线段是（   ）．（单位：厘米） A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握任意两边之和必须大于第三边是解题的关键．根据任意两边之和必须大于第三边，逐一选项判断是否符合． 【详解】A、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B、，，满足条件，可以构成三角形； C、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； D、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形。 故选B． 考点四.三角形三边关系 13．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 14．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设它的第三边的长为， ∴， ∴， ∴选项中符合题意， 故选：． 15．如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴折叠凳的宽可能为； 故选D． 16．在中，，，则的长不可能为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再比较各个选项即可． 【详解】解：在中，，， ， 2不在此范围内， 故选A． 考点五.与三角形的高有关的计算问题 17．在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 18．如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，单项式与多项式的乘法，等式的性质． 连接，，设，，根据题意可知，根据图形得到，分别求出每个三角形的面积，列等式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 设，， ∵，，正方形和长方形的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即代数式的值不变的是， 故选：B． 19．如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度． 连接和，要求的面积，可以分成三部分来分别计算，是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得的面积． 【详解】解：连接和， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 2， 则； ； ∴． 故选A． 20．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 考点六.根据三角形中线求长度、面积 21．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 22．如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 23．如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查三角形中线的性质，根据三角形中线性质得到的面积与的面积相等，由此推出的面积的面积，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵D是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积与的面积相等， ∴的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 故选：B． 24．如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比． 连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值． 【详解】解：连接，    设， ∵， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴当时，的面积最大，为， 四边形的面积的最大值是， 故选：B． 考点七.三角形内角和定理的应用 25．张师傅用锤子起钉子，如图（1）所示，将其抽象成图（2）所示的示意图，其中，锤柄，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角的度数，延长交于点G，由三角形内角和定理可得出，由平行线的性质得出，由垂线的定义以及角的和差关系即可得出． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选 ：D． 26．如图，在四边形纸片中，，，，将一把直尺如图放置在纸片上，直尺的边恰好分别是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，证明，，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，将一把直尺如图放置在纸片上，直尺的边恰好是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵直尺的边， ∴， ∴， 故选：A 27．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解：由翻折得到，， ，， ， ． 故选：D． 28．如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题意易证，推出，由得到，求出，结合，利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 考点八.三角形折叠中的角度问题 29．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 30．已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 31．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故选∶D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 32．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 一、单选题 1．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 2．如图．在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：；；；；其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对等角相等，三角形内角和定理，根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断；只需要证明，，即可判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∵， ∴，故正确； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∴， ∴，故正确； 综上正确的结论是， 故选：． 3．如图，中，为的平分线．若，比大，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和为是解决本题的关键． 先由比大可求解的度数，再由角平分线的性质可求解的度数，再结合三角形的内角和为求解即可． 【详解】解：∵为的平分线且， ∴， ∵比大， ∴， 在中，， 在中，， ∴的度数是． 故选：D ． 4．在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 5．在中，若，则形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．先根据，可得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：C． 6．下列每组数分别是三根小棒的长度，其中能摆成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，对各选项进行判断即可． 【详解】A、，不能摆成一个三角形，不符合题意； B、，不能摆成一个三角形，不符合题意； C、，能摆成一个三角形，符合题意； D、，不能摆成一个三角形，不符合题意； 故选：C． 7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．5，11，5 C．12，7，4 D．7，8，9 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于另外两边之和即可． 【详解】解：A．最长边为5，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． B．最长边为11，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． C．最长边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． D．最长边为9，，满足条件；且，，均成立，能组成三角形． 故选：D． 8．如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边之间的关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：D． 9．某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【答案】A 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 10．如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作平行线交延长线于点G，可得，通过比例式即可求出，即可解决问题． 【详解】解：过点A作平行线交延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2、 填空题 11．如图，若，与互余，则的度数 ． 【答案】/126度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．在中，，，再将两式相加求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得： ∵在中，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 【答案】4或8/8或4 【分析】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．利用面积法求出，即可求得，再分在内部和外部，求出即可． 【详解】解：为的高，的面积为12，， ， ∴， ∵为的中线， ∴， 当在内部时，如图所示： ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴； 综上分析可知：的长为4或8． 故答案为：4或8． 13．在中，为边上的高，，，则 度． 【答案】34或74 【分析】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： 高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； 高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 14．如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了中线的性质，三角形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 由可得，由三角形的中线的性质，可得，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：18． 15．如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 1.1认识三角形 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 明确三角形的概念，能准确指出其边、角与顶点。​ . 掌握三角形三边关系，能据此判断能否构成三角形。​ . 理解三角形按角和边的分类方式。​ . 探索并掌握三角形内角和定理，会用于角度计算。 . . . 一：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二：三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三：三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五：三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 考点一： 三角形的识别与有关概念 1．在中，已知，那么 （大小比较）． 2．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    3．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 4．某有理数等于它的倒数的4倍，现在某三角形的两条边的长度分别是这个有理数和它的倒数，这个三角形的面积最大是 ． 考点二：三角形的分类 5．亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 6．【比的应用】一个三角形内角度数比是，这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7．一个三角形的三个内角分别是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 8．在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 考点三.构成三角形的条件 9．下列长度的三条线段能组成三角形的是(    ) A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 10．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4 11．将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 12．能围成三角形的一组线段是（   ）．（单位：厘米） A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1 考点四.三角形三边关系 13．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 14．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 15．如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 16．在中，，，则的长不可能为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 考点五.与三角形的高有关的计算问题 17．在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 18．如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 20．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 考点六.根据三角形中线求长度、面积 21．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 22．如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 23．如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 24．如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 考点七.三角形内角和定理的应用 25．张师傅用锤子起钉子，如图（1）所示，将其抽象成图（2）所示的示意图，其中，锤柄，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．如图，在四边形纸片中，，，，将一把直尺如图放置在纸片上，直尺的边恰好分别是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 28．如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点八.三角形折叠中的角度问题 29．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 30．已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 32．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图．在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：；；；；其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，为的平分线．若，比大，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 5．在中，若，则形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．下列每组数分别是三根小棒的长度，其中能摆成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．5，11，5 C．12，7，4 D．7，8，9 8．如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 10．如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 11．如图，若，与互余，则的度数 ． 12．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 13．在中，为边上的高，，，则 度． 14．如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 15．如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$