培优03 三角形常见经典模型汇总(3种题型12种重点突破) （专项训练）数学人教版2024八年级上册

培优03 三角形常见经典模型汇总 (3种题型12种重点突破) 题型1 五个基本导角模型 A字模型 8字模型 图示 结论 ∠1+∠2 = 180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D 证明 ∵∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC ∴∠1+∠2 = ∠A+∠ACB+∠A+∠ABC 而∠ACB+∠A+∠ABC=180° ∴∠1+∠2 = 180°+∠A 在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180° 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180° 而∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型 图示 点O为∠A内部的一点 结论 ∠BCD=∠A+∠B+∠D ∠1+∠2 = ∠A+∠O 证明 证明：延长BC交AC于点P ∵∠BPD=∠A+∠B， ∠BCD=∠BPD+∠D ∴∠BCD=∠A+∠B+∠D 证明“”连接AO，由外角的性质可知： ∠1=∠3+∠5 ①，∠2=∠4+∠6 ② ①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6， 即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC 一线三等角模型 图示 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90° ∠D=∠ACB=∠E 结论 ∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED ∠DAC=∠BCE，∠ACB=∠CED 重难点一 A字模型 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的四边形纸片，剪去这个角后，得到一个五边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，，再根据三角形内角和为180度即可求解． 【详解】解：由图可知，和是的两个外角， ，， ， ，， ， 故选：C． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知直线两两相交，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，由垂直的定义可得；根据对顶角相等可得，再根据三角形外角的性质即可解题． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 【答案】5 【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题： 如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B． （1）则 度； （2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别计算出正九边形的外角和内角度数，进而求得和的度数，即可判断出，根据三角形的内角和为可得的度数； （2）连接，易得，证明是等边三角形，可判断，整理后即可得到a，b，c满足的数量关系． 【详解】解：（1）正九边形每个外角的度数为：， 正九边形每个内角的度数为：， 即：，， 多边形是正九边形， ， ， ， ． 故答案为：60； （2）连接，由图形可知：， 由（1）得：，， 为等边三角形， ， 多边形是正九边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，，， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 故答案为：； 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． 重难点二 8字模型 6．（24-25八年级上·河北保定·期末）某工人加工一个机器零件（数据如图），经过测量这个零件不符合标准.标准要求是：，且、、保持不变.为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中______（填“增大”或“减小”）______度，横线处应分别填（   ）    A．减小；15 B．增大；15 C．减小；5 D．增大；5 【答案】A 【分析】延长到H与交于H，先利用对顶角的性质求出，然后根据三角形外角的性质得到，，由此求解即可． 【详解】解：如图，延长到H与交于H，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴从35°减小到20°，减小了15°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 7．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在多边形中，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为，掌握以上知识是解题的关键； 本题连接，根据多边形的内角和公式可得五边形的内角和，进而得出，由可得的度数，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ， ∵五边形的内角和为：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，的延长线交于点H，延长线交于点，测得，则 ． 【答案】204 【分析】此题考查四边形的内角和，三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质得出解答．根据三角形外角性质得出，进而利用四边形的内角和解答即可． 【详解】解：由三角形外角性质可知：，， ，， ， ， ， 故答案为：204． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，， ； （2）如图3：连接， 由（1）得：， ， ， 即五角星的五个内角之和为． （3）如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点， 由（3）得， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ． 重难点三 利用8字模型探究多边形内角和 10．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，若，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，，，再结合题意求解即可，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由三角形内角和定理可得：，，， ∴， 故选：C． 11．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理．由，推出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ． 故答案为：． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，线段两两相交，连接，则的度数为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查三角形的外角和三角形的外角性质，数量掌握三角形的外角性质是解题的关键，根据外角性质得，再利用三角形的外角和定理即可得解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于转化为是解题的关键．根据三角形的外角性质可得，，，，再根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：由图形可知：，，，， ， ． 故答案为：． 重难点四 飞镖模型 15．（24-25八年级上·山西朔州·期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．根据三角形外角性质得，从而即可求解． 【详解】解：如图，延长交于，    由题意知，， ∵，， ∴，即 ∴， 故选：C． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 ． 【答案】61 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：61． 17．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理等知识点，根据翻折变换的性质可得，再根据三角形的内角和等于，求出，进而即可得解，熟练掌握翻折变换的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵沿着折叠压平，A与重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 重难点五 老鹰抓小鸡模型 18．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理， 根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 19．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理．根据两直线平行，同位角相等求出，，再根据翻折的性质求出和，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵沿翻折得， ∴，， 在中， ． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”，“四边形的内角和是”，“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠知． ， ， ， ， ， ， 故选：D． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 22．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点，分别连接和．”所形成的图形展开研究． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，和分别平分和． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，和分别平分和，将沿折叠，点恰好落在点处，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. （1）根据三角形内角和定理求出，得到， 从而得到； （2）①根据题意得到，得到，从而得到； ②根据题意得到，得到，从而得到； （3）根据题意得到，得到，从而得到，求出，根据折叠的性质得到 ，求出，即可求得. 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）解：①， ， 和分别平分和， ， ； ②， ， 和分别平分和， ， ； （3）解：， ， 和分别平分和， ， ， ， 沿折叠，点恰好落在点处， ， ， . 重难点六 一线三等角模型 23．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图，，，．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，同角的余角相等，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据同角的余角相等，得到，即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 24．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，若，则的度数为 （用含的式子表示）； 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，先根据等边对等角，三角形内角和定理可知，再证明，由全等三角形的性质可得出，进而根据等量代换以及三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶． 25．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点 E．下列结论：；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性质，①根据三角形外角和、角的和差以及等量代换即可得证；②证明即可判断；③根据等腰三角形的三线合一、三角形内角和以及外角和即可得证；④根据等腰三角形的性质、三角形外角和即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①， ． ， ． ∴由三角形内角和定理知：．故①正确； ， ， 由①知：． ． ． ，故②正确； ③∵为中点，， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ，故④不正确． 故答案为：①②③ 26．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下： ，， ， ∵当时，， ， ， 在和中， ， ． ． ， ， 又， ， ． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∵ ∴分两种情况讨论： ①若，则，， 可得，， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得，． 综上，当与全等时，的值为3或． 27．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，点E在正方形的边上，于点F，于点G，直接写出，，三者的关系 （2）如图②， 点B、C分别在的边、上，点E、F在内部的射线上，、分别是.、的外角．已知，，求证：． （3）如图③，在等腰三角形中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为9，则与的面积之和为 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1）根据正方形的性质得，，根据垂直的定义和三角形的内角和得，再证，根据全等三角形的性质及等量代换即可得出结论； （2）先根据邻补角的定义可得，再根据三角形的外角性质、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （3）先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形全等的性质可得与的面积相等，由此即可得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）， ，即， 由三角形的外角性质得：， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （3）的边上的高与的边上的高相等，且， 的面积等于的面积的， 的面积为9， 的面积为， 由（2）知：， 与的面积相等，即， ， 即与的面积之和为6， 故答案为：6． 题型2 五大双角平分线夹角模型 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 ∠D = 90°+∠A ∠D = 90°-∠A ∠E = ∠A 证明 证明：∵BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ACB 根据飞镖模型可得 ∠D=∠A+∠1+∠2 =∠A+（∠ABC+∠ACB） =∠A+（∠180°-∠A） = 90°+∠A 证明：∵BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF ∴∠1=∠2=∠EBC，∠3=∠4=∠BCF ∴∠D = 180°-∠2-∠3 = 180°-（∠EBC +∠BCF） = 180°-（180°- ∠ABC +180°- ∠ACB） = （∠ABC +∠ACB） = （180°- ∠A） = 90°-∠A 证明：∵BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD ∴∠1=∠2 =∠ABC，∠3=∠4 =∠ACD ∴∠E=∠4-∠2=(∠ACD-∠ABC)= ∠A 大招 内加外减，一内一外不加不减. 8字模型+双角平分线模型 飞镖模型+双角平分线模型 图示 AP平分∠BAD， CP平分∠BCD BO平分∠ABC， OD平分∠ADC 结论 证明 证明：∵AP平分∠BAD， CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD， ∠BCP=∠PCD 根据8字模型结论，得 ∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则) 证明：∵BO平分∠ABC， OD平分∠ADC ∴∠ABO=∠CBO， ∠ADO=∠CDO 根据飞镖模型结论，得 ∠C=∠A+∠ABC+∠ADC ① ∠O=∠A+∠ABO+∠ADO ② ②×2-①得2∠O-∠C =∠A 则) 重难点一 三角形双内角平分线模型 28．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ， 故选：B． 29．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知在中，． 在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得； 在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得； 在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，再根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：在中，， ， ∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可； （2）根据三等分角，求出，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． （3）根据三等分角，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵、把三等分，把三等分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵把三等分，把三等分， ∴， ∴； ∴． 31．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． (1)当时，求的度数； (2)点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)的度数不变， (3)°或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴； （2）解：的度数不变， 理由：∵， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴ ； （3）解：为或． 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①若，则，解得：（舍）， ②若，则，解得：， ③若，则，解得：， ④若，则，解得：， 综上，在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 重难点二 三角形双外角平分线模型 32．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形的外角的性质和“两直线平行内错角相等”，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键． 本题先根据三角形外角性质可得，可求出的度数，接下来根据角平分线的定义，在中利用三角形内角和定理可以求得的度数．然后根据角平分线性质和平行线性质可得，即得到，再根据三角形内角和得到，两个式子联立即可求出的度数． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵三角形的外角和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴化简求得． 故答案为：，． 33．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分． (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解； （3）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：； 理由：， ， 平分，平分， ，， ， ， ，即． 34．（24-25八年级上·山东青岛·期末）（1）如图1，若，平分，平分，则________°； （2）如图1，若，，，则_________（用含的式子表示）； （3）如图1，若，，，则________（用含，的式子表示）； （4）如图2，若，，，，则________（用含，，的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，然后将代入即可求出的度数； （2）由三角形外角的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，然后将代入即可求出； （3）由三角形外角的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，然后将代入即可求出； （4）由角的和差关系可得，，由三角形的内角和定理可得，由四边形的内角和可得，然后将，代入即可求出． 【详解】解：（1）平分，平分， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ； 故答案为：； （3）， ， ； 故答案为：； （4），， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，多边形内角和问题，角平分线的有关计算，列代数式等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及多边形的内角和问题是解题的关键． 重难点三 三角形一内一外角平分线模型 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．设，，根据，，得，，根据外角的性质列式解答即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴①，②， ∵， ∴由①②得 解得． 故答案为：． 36．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点得；和的平分线交于点，……则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】解：和的平分线交于点， ， ， 同理，， ， ， 当时， 故答案为：． 37．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，平分，分别是的两外角的平分线，下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是 （直接填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据邻补角平分线性质可判断①；根据三角形外角与角平分线定义列出等式，可判断②，根据外角性质与角平分线定义，结合三角形内角和可判断④，利用等腰三角形性质与外角性质，可得，可得，得出，当时，成立，可判断③，根据，利用平行线判定定理可判断⑤． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 延长，如图所示： ∵平分，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，故②正确； 假设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 而中，， ∴是等腰三角形， ∴假设不成立，故③错误； ∵分别是的两个外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 而， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上分析可知，确的结论是①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查三角形内角与外角平分线，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定，掌握三角形内角与外角平分线定义，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定是解题关键． 38．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，再结合平角概念得，则运用三角形外角性质得，因为，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点在的角平分线上；结合三角形外角性质以及角平分线的性质得，根据角平分线线的性质定理，结合即可判断． 【详解】解：为外角的角平分线，平分， ，， 又是的外角， ， 故①正确； ，分别平分，， ∴， 则， ∴， 故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上， 故③是正确的． ∵， 平分， ∴ 平分， ∴ ∴ 故④是错误的， ∵，分别平分，， ∴点到的距离点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的， 故答案为：①②③． 39．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①，②的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】（1）解：； ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ； （3）解：①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 重难点四 8字模型+双角平分线模型 40．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解； 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 42．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 43．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 重难点五 飞镖模型+双角平分线模型 44．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 45．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 【答案】(1) (2)① ②③ 【分析】（1）连接并延长到点G，利用三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）①根据题意，得，结合前面的结论，得根据，计算即可． ②根据题意，平分平分，得 根据前面的结论，得，，结合，求的度数即可． ③连接，两次运用结论，再求和计算即可． 本题考查了三角形外角性质，直角三角形的性质，角的平分线，熟练掌握外角性质，灵活运用基本结论是解题的关键． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为： ．理由如下： 连接并延长到点G， 根据题意，得， ∵， ∴． （2）解：①根据题意，得，结合前面的结论，得， ∵， ∴， 故答案为：． ②解：根据题意，平分平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ③连接， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵ ∴． 46．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2）（i），；（ii） （3） （4）或 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． （1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可； （2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可； （ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可； （3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可； （4）分为，，，，这四种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 重难点六 探究角度之间的关系 47．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【答案】（2），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 49．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）某学习小组在综合与实践活动课上进行平行线及三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用平行线的性质及三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年11月25日 知识储备 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 问题解决 如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边上的点，将沿直线折叠，使点落在点处． 任务1 （1）如图1，若，探究和的数量关系，并说明理由； 任务2 （2）如图2，若，则与的数量关系是______； （3）如图3，若点落在下方，探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；（3）．理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，平行线的性质，三角形的外角性质． （1）利用平行线的性质求得，，即可求解； （2）判断出点恰好在上，利用三角形的外角性质即可求解； （3）连接，利用三角形的外角性质求得，，据此求解即可． 【详解】解：（1）；理由如下， 由折叠的性质知， ∵， ∴，， ∴； （2）由折叠的性质知， ∵， ∴点恰好在上， ∴； 故答案为：； （3）．理由如下： 连接， 由折叠的性质知，，， ∴，， ∴，， ∴． 50．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探： （1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ； ②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，连接． ，， ， ，， ． 故答案为：； ②由①可知，， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时， ，， ， ． 当在四边形内部时，同理得：． 51．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【答案】（1）45，40；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）利用三角形外角，等腰三角形的判定与性质进行计算即可； （2）利用三角形和轴对称图形的知识进行证明即可； （3）①由三角形外角得，，故，即，再换算即可． ②由三角形外角得，，故，又，再换算即可． 【详解】解：问题解决（1），若点恰好与点重合， 为等腰直角三角形， ； ， ， ， 故答案为：45，40； （2）， ． 是的外角， ， ． 又由折叠可知，， ． 同理：． ． ， 即． 迁移应用（3）①， 理由： ，， ， ， 即， ， ． ②如图： ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称图形，三角形外角性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，利用对称是解答关键． 52．（2024八年级上·全国·专题练习）已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 【答案】，理由见解析 ，理由见解析 （理由见解析） 【分析】延长交于，设与交于点，由三角形外角的性质可得，，进而可得，再根据角平分线的定义可得，，由三角形的内角和定理可得，据此即可得出结论； 根据，是与的平分线，可设，，由可知，即，则，根据四边形的内角和等于可得，即，将代入整理即可得出结论； 延长交于，根据，是与的平分线，可设，，在中，利用三角形的内角和定理可得，由可知，即，由邻补角互补可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，将代入整理即可得出结论． 【详解】解：，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于，设与交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， 又， ， 即：， 整理，得：， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： ，为与的平分线， 可设，， 由可知：， 即：， ， 根据四边形的内角和等于，得：， 即：， 将代入上式，得：， ， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于， ，是与的平分线， 可设，， 在中，， 即：， ， 由可知：， 即：， 由邻补角互补可得：， 是的一个外角， ， ， 将代入上式，得：， 即：， 答：，与之间的数量关系是：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，等式的性质，利用邻补角互补求角度等知识点，准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理及三角形外角的性质进行计算是解题的关键． 53．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； （3）解：∵P，Q分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点H， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点H，设射线交于K，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 题型3 高与角平分线夹角模型 条件 已知AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E AD平分∠BAC交BC于点D，点P在BC延长线上，PE⊥AD 于点E.,∠C＞∠B 图示 ∠C＞∠B 结论 证明 证明：∵AE平分∠BAC ∴∠CAE=∠CAB ∵∠BAC+∠B+∠C=180° ∴∠CAE=（180°-∠B-∠C） ∵AD⊥BC ∴∠CAD =90°-∠C ∵∠EAD=∠CAE-∠CAD ∴∠EAD =（180°-∠B-∠C）-(90°-∠C) =(∠C-∠B) 54．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于G，交于H，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据，求出，即可判断①；根据角平分线的定义结合三角形外角的定义及性质即可判断②；证明再结合①的结论即可判断③；根据角平分线的定义结合三角形外角的定义及性质即可判断④，从而得解． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，②错误；     ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，④正确， 故正确的序号是：①③④． 55．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，点在的延长线上，过点作，交于，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练应用三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据三角形内角和定理和角平分线的性质，三角形外角的性质逐项推理证明即可． 【详解】解：如图，设与相交于点N，与相交于点G， ，， ， ， ； 故①符合题意； 平分， ， ， ， 故②符合题意； 是的角平分线， ， ，， ， ， ， 故③不符合题意； ， ， ， ， ， 由①得，， ， 故④符合题意； 综上所述：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 56．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，则可利用三角形内角和定理求出的度数； （2）同（1）求解过程即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 57．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在中，平分，．    (1)如图1，若于点D，，，求的度数； (2)如图2、3，若点P是射线上一动点，过点P作于点G，直接写出与，之间的数量关系 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）如图2，先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可,；如图3，先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可． 【详解】（1）解：如图1，、， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由是：如图2，过作于，   ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 如图3，过作于，   ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 综上所述，， 故答案为：． 58．（24-25八年级上·山西大同·期中）【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在中，，平分，于点，猜想与，之间的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 /度 /度 上表中________，于是得到与，之间的数量关系为_______________． 【变式应用】 （2）小明继续研究，在图②中，，，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，求的度数，并直接写出与，之间的数量关系． 【思维发散】 （3）小明突发奇想，交换，两个字母的位置，在图③中，若把（2）中的“是线段上一点”改为“是的延长线上一点”，其余条件不变，当，时，的度数为________． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出和的大小即可得出的值，再通过找规律的形式得出三者的关系； （2）分别用和表示出和，即可得出答案； （3）分别用和表示出和，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 于是得到与，之间的数量关系为； （2）如图，过点作于点．      ，， ． ．      ，， ，．      平分， ．      ， ，．      （3）如图，过点作于点． ，， ． ． 由（2）同理可得， ． ，， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优03 三角形常见经典模型汇总 (3种题型12种重点突破) 题型1 五个基本导角模型 A字模型 8字模型 图示 结论 证明 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型 图示 点O为∠A内部的一点 结论 证明 证明： 证明： 一线三等角模型 图示 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90° ∠D=∠ACB=∠E 结论 重难点一 A字模型 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的四边形纸片，剪去这个角后，得到一个五边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知直线两两相交，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题： 如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B． （1）则 度； （2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 重难点二 8字模型 6．（24-25八年级上·河北保定·期末）某工人加工一个机器零件（数据如图），经过测量这个零件不符合标准.标准要求是：，且、、保持不变.为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中______（填“增大”或“减小”）______度，横线处应分别填（   ）    A．减小；15 B．增大；15 C．减小；5 D．增大；5 7．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在多边形中，，，则 ． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，的延长线交于点H，延长线交于点，测得，则 ． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 重难点三 利用8字模型探究多边形内角和 10．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，若，那么（　　） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 12．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数为 ． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，线段两两相交，连接，则的度数为 ． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ． 重难点四 飞镖模型 15．（24-25八年级上·山西朔州·期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 ． 17．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 重难点五 老鹰抓小鸡模型 18．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ）． A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则 ． 20．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 22．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点，分别连接和．”所形成的图形展开研究． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，和分别平分和． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，和分别平分和，将沿折叠，点恰好落在点处，若，请直接写出的度数． 重难点六 一线三等角模型 23．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图，，，．若，则（    ）． A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，若，则的度数为 （用含的式子表示）； 25．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点 E．下列结论：；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）． 26．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 27．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，点E在正方形的边上，于点F，于点G，直接写出，，三者的关系 （2）如图②， 点B、C分别在的边、上，点E、F在内部的射线上，、分别是.、的外角．已知，，求证：． （3）如图③，在等腰三角形中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为9，则与的面积之和为 题型2 五大双角平分线夹角模型 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 证明 大招 8字模型+双角平分线模型 飞镖模型+双角平分线模型 图示 AP平分∠BAD， CP平分∠BCD BO平分∠ABC， OD平分∠ADC 结论 证明 证明： 证明： 重难点一 三角形双内角平分线模型 28．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 29．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知在中，． 在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得； 在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得； 在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则 （用含的代数式表示）． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 31．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． (1)当时，求的度数； (2)点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 重难点二 三角形双外角平分线模型 32．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 33．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分． (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由． 34．（24-25八年级上·山东青岛·期末）（1）如图1，若，平分，平分，则________°； （2）如图1，若，，，则_________（用含的式子表示）； （3）如图1，若，，，则________（用含，的式子表示）； （4）如图2，若，，，，则________（用含，，的式子表示）． 重难点三 三角形一内一外角平分线模型 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 36．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点得；和的平分线交于点，……则的度数是 ． 37．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，平分，分别是的两外角的平分线，下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是 （直接填写序号）． 38．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 39．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 重难点四 8字模型+双角平分线模型 40．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 41．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 42．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 43．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 重难点五 飞镖模型+双角平分线模型 44．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 46．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】（1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】（2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】（3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】（4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 重难点六 探究角度之间的关系 47．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 48．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 49．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）某学习小组在综合与实践活动课上进行平行线及三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用平行线的性质及三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年11月25日 知识储备 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 问题解决 如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边上的点，将沿直线折叠，使点落在点处． 任务1 （1）如图1，若，探究和的数量关系，并说明理由； 任务2 （2）如图2，若，则与的数量关系是______； （3）如图3，若点落在下方，探究和的数量关系，并说明理由． 50．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探： （1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ； ②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 51．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】（1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】（3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 52．（2024八年级上·全国·专题练习）已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 53．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 题型3 高与角平分线夹角模型 条件 已知AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E AD平分∠BAC交BC于点D，点P在BC延长线上，PE⊥AD 于点E.,∠C＞∠B 图示 ∠C＞∠B 结论 证明 证明： 证明： 54．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于G，交于H，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是 ． 55．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，点在的延长线上，过点作，交于，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写序号）． 56．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 57．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在中，平分，．    (1)如图1，若于点D，，，求的度数； (2)如图2、3，若点P是射线上一动点，过点P作于点G，直接写出与，之间的数量关系 ． 58．（24-25八年级上·山西大同·期中）【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在中，，平分，于点，猜想与，之间的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 /度 /度 上表中________，于是得到与，之间的数量关系为_______________． 【变式应用】（2）小明继续研究，在图②中，，，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，求的度数，并直接写出与，之间的数量关系． 【思维发散】（3）小明突发奇想，交换，两个字母的位置，在图③中，若把（2）中的“是线段上一点”改为“是的延长线上一点”，其余条件不变，当，时，的度数为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$