第六单元 多边形的面积 暑期预习讲义-2025-2026学年五年级上册数学人教版

第六单元 多边形的面积 暑期预习讲义-2025-2026学年数学人教版五年级上册 知识梳理 一、基本图形面积公式 1. 长方形 周长公式： 字母表示： 变形公式：长 = 周长÷2 - 宽；宽 = 周长÷2 - 长 面积公式： 字母表示： 2. 正方形 周长公式： 字母表示： 面积公式： 字母表示： 3. 平行四边形 面积公式： 字母表示： 变形公式：底 = 面积÷高 4. 三角形 面积公式： 字母表示： 5. 梯形 面积公式： 字母表示： 二、面积公式推导方法 1. 平行四边形（割补法） 将平行四边形沿高剪开，平移后拼成长方形。 长方形的长 = 平行四边形的底，长方形的宽 = 平行四边形的高。 因为长方形面积 = 长×宽，所以平行四边形面积 = 底×高。 2. 三角形（拼凑法） 两个完全一样的三角形可拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 三角形的底，平行四边形的高 = 三角形的高。 平行四边形面积 = 底×高，故三角形面积 = 底×高÷2（平行四边形面积的一半）。 3. 梯形（拼凑法） 两个完全一样的梯形可拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 梯形的上底+下底，平行四边形的高 = 梯形的高。 平行四边形面积 = 底×高，故梯形面积 = (上底+下底)×高÷2（平行四边形面积的一半）。 三、组合图形面积计算 1. 基本方法 分割法：将组合图形分成若干个基本图形（如长方形、三角形），分别计算面积后求和。 添补法：将组合图形补成基本图形，用补成图形面积减去添补部分面积求差。 2. 不规则图形面积估算 数方格法：满格算1格，不满格按半格计算。 转化法：将不规则图形近似转化为基本图形（如三角形、梯形）估算面积。 四、重要结论与注意事项 1. 等底等高的图形关系： 等底等高的平行四边形面积相等。 等底等高的三角形面积相等。 等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。 2. 图形变形与面积变化： 长方形框架拉成平行四边形后，周长不变，面积变小（高变短）。 3. 易错点提醒： 计算三角形和梯形面积时，不要忘记公式中的“÷2”。 已知三角形/梯形面积求底或高时，需先将面积×2，再进行计算。 平行四边形的面积由底和对应高决定，与斜边长度无关。 同步练习 一、单选题 1．奇奇用长度均为18分米的铁丝围成以下图形，面积最大的是(　　)。 A． B． C． D． 2． 如图，梯形的面积是12平方厘米，若要在梯形中剪出一个正方形，则最大正方形的面积是(　　)平方厘米。 A．36 B．25 C．16 D．9 3．某公园在儿童乐园的靠墙位置安装了一个安全监控，图中空白部分为安全监控的可视区域，已知儿童乐园的围栏长54米，监控可视区域的面积是(　　)平方米。 A．416 B．426 C．436 D．446 4．把一个平行四边形沿着它的一条高剪成两部分后，拼成一个长方形。这个长方形和原来的平行四边形相比，(　　)。 A．周长不变，面积变大 B．周长不变，面积也不变 C．周长变小，面积不变 D．周长变大，面积不变 5．设计图纸。聪聪负责设计图纸，他在纸上画了一个平行四边形的设计图，若设计图的面积是350cm2，底是20cm，对应的高是(　　) cm。 A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 6．一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是6厘米，那么平行四边形的高是（　　）厘米。 A．24 B．12 C．6 D．3 7．一个平行四边形框架的两条邻边分别长12厘米和8厘米，其中一条底对应的高是10.5厘米，如果把它拉成一个长方形，这个长方形的面积是（　　）。 A．84cm2 B．96cm2 C．126cm2 D．无法确定 8． 下图中涂色部分的面积是26.5cm2，点B是平行四边形底边上的中点，平行四边形的面积是（　　）cm2。 A．106 B．79.5 C．53 二、判断题 9．一个三角形的底是4厘米，高是3厘米，面积是12平方厘米。（　　） 10． 若平行四边形与三角形等底等高，则它们的面积必定相等。（　　） 11．平行四边形的底和高分别扩大到原来的2倍，面积也扩大到原来的2倍。（　　） 12．一个长方形的木条框，拉住它的两个对角，使它变成一个平行四边形，拉出的平行四边形和原来的长方形周长没变，面积变了。（　　） 13．把一张长9分米、宽6分米的长方形纸，裁成直角边是3分米的等腰直角三角形做小旗，最多可以裁9面小旗。（　　） 三、填空题 14．橡树具有较高的经济价值。一个占地1公顷的三角形橡木林，高是100米，它的底是　 　米。 15．光明村有一块三角形菜地占地1.2公顷，已知它的底是200米，那么这条底边上的高是　 　米。 16．李师傅将一块木板切割成两个等高等面积的梯形和平行四边形，若平行四边形的底是12cm，梯形的上底是9.5cm，则梯形的下底是　 　cm。 17．一个平行四边形的一组相邻边的长度分别是22cm和30cm，量得它的高是24cm，那么这个平行四边形的面积是　 　cm2。 18．一个梯形的上底是15cm，如果高和下底不变，上底增加7cm，就成了一个平行四边形，面积增加28cm2。原来这个梯形的面积是　 　cm2。 19．如图，某农场计划围成一块平行四边形区域用来养鸡，这块平行四边形区域的面积是　 　m2，需要准备　 　m的篱笆。 20．将平行四边形中的深色阴影部分向右平移 　 　cm，可以使平行四边 形转化成长方形，这个长方形的面积是 　 　cm2。 21．李伯伯用18米长的篱笆靠墙围成一个如图所示的地方，用于圈养鸡，平均每平方米养3 只鸡更有利于鸡的成长，且鸡之间的病菌传播率较低，如此计算李伯伯大约养鸡　 　只。 四、计算题 22．计算下面各图形的面积。 （1） （2） 五、解决问题 23．美术课做手工，一张长方形卡纸被淘气使用后的剩余部分如下图。 （1）求剩余部分的面积。 （2）求这张长方形卡纸被使用前的最小面积。 24．一块梯形菜地，上底是15米，下底是20米，高是20米，如果每平方米可以收白菜7.5千克，那么这块菜地最多可以收白菜多少千克？ 25．2024 年空军航空开放活动——长春航空飞行表演中，我国自主研制的第五代战机歼-20高难度动作震撼全场。歼-20的展演激发了淘气的设计灵感，他准备制作一个飞机模型，机翼是由两个相同的梯形板组成(如图)，机翼的面积是多少平方分米？ 26．张伯伯的农家乐里面有一个面积为225平方米的三角形水池，量得其中一条边的长度为30米。张伯伯计划从这条边向对面顶点方向修一座小桥，小桥要正好与这条边垂直。算一算这座小桥的长度至少是多少米。 27．某小区为了改善生态环境，美化生活空间要将一个长10米、宽8米的长方形花坛进行扩建，把这个花坛的长增加5米，宽要增加多少米，面积才会增加100平方米？ 28．想象无限，创造无限。如图，小康将梯形卡纸的一角翻折，得到一个直角三角形，通过测量，发现涂色部分的面积是325平方厘米。把这个直角三角形剪下，算一算，较短的一条直角边长多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第六单元 多边形的面积 暑期预习讲义-2025-2026学年数学人教版五年级上册 知识梳理 一、基本图形面积公式 1. 长方形 周长公式: 字母表示: 变形公式:长 = 周长 2 - 宽;宽 = 周长 2 - 长 面积公式: 字母表示: 2. 正方形 周长公式: 字母表示: 面积公式: 字母表示: 3. 平行四边形 面积公式: 字母表示: 变形公式:底 = 面积 高 4. 三角形 面积公式: 字母表示: 5. 梯形 面积公式: 字母表示: 二、面积公式推导方法 1. 平行四边形(割补法) 将平行四边形沿高剪开,平移后拼成长方形。 长方形的长 = 平行四边形的底,长方形的宽 = 平行四边形的高。 因为长方形面积 = 长 宽,所以平行四边形面积 = 底 高。 2. 三角形(拼凑法) 两个完全一样的三角形可拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 三角形的底,平行四边形的高 = 三角形的高。 平行四边形面积 = 底 高,故三角形面积 = 底 高 2(平行四边形面积的一半)。 3. 梯形(拼凑法) 两个完全一样的梯形可拼成一个平行四边形。 平行四边形的底 = 梯形的上底+下底,平行四边形的高 = 梯形的高。 平行四边形面积 = 底 高,故梯形面积 = (上底+下底) 高 2(平行四边形面积的一半)。 三、组合图形面积计算 1. 基本方法 分割法:将组合图形分成若干个基本图形(如长方形、三角形),分别计算面积后求和。 添补法:将组合图形补成基本图形,用补成图形面积减去添补部分面积求差。 2. 不规则图形面积估算 数方格法:满格算1格,不满格按半格计算。 转化法:将不规则图形近似转化为基本图形(如三角形、梯形)估算面积。 四、重要结论与注意事项 1. 等底等高的图形关系: 等底等高的平行四边形面积相等。 等底等高的三角形面积相等。 等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。 2. 图形变形与面积变化: 长方形框架拉成平行四边形后,周长不变,面积变小(高变短)。 3. 易错点提醒: 计算三角形和梯形面积时,不要忘记公式中的“ 2”。 已知三角形/梯形面积求底或高时,需先将面积 2,再进行计算。 平行四边形的面积由底和对应高决定,与斜边长度无关。 同步练习 一、单选题 1.奇奇用长度均为18分米的铁丝围成以下图形,面积最大的是( )。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【解答】解:A项:(18 2-5) 5=20(平方分米); B项:(18-5 2) 3 2=12(平方分米); C项:(18-5 2) 2 3=12(平方分米); D项:18-5 2-1=7(分米) (1+7) 4 2=16(平方分米); 20>16>12。 故答案为:A。 【分析】长方形的面积=长 宽,三角形的面积=底 高 2,平行四边形的面积=底 高,梯形的面积=(上底+下底) 高 2,分别计算出面积后再比较大小。 2. 如图,梯形的面积是12平方厘米,若要在梯形中剪出一个正方形,则最大正方形的面积是( )平方厘米。 A.36 B.25 C.16 D.9 【答案】D 【解析】【解答】解:根据题意,可得 梯形的高是: 12 2 (3+5) =24 8 =3(厘米), 剪出正方形的边长最长是3厘米,正方形面积最大是:3 3=9(平方厘米)。 故答案为:D 【分析】要使得剪得的正方形的面积要最大,则需要正方形的边长要最大,当正方形的边长等于梯形的高时,正方形的面积最大;根据梯形的面积公式:S=(上底+下底) 高 2,可知,梯形的高=2S (上底+下底),代入数据,求出高即可,最后再利用正方形的面积公式:S=a2,将梯形的高代入即可求解 3.某公园在儿童乐园的靠墙位置安装了一个安全监控,图中空白部分为安全监控的可视区域,已知儿童乐园的围栏长54米,监控可视区域的面积是( )平方米。 A.416 B.426 C.436 D.446 【答案】A 【解析】【解答】解:54-20-22=12(米) S=22 20-(20-12) (22-16) 2 =440-8 6 2 =440-24 =416(平方米) 故答案为:A。 【分析】观察图形,监控可视区域的面积为长22米,宽20米的长方形的面积减去底和高分别为20-(54-20-22)=8(米)和22-16=6(米)的三角形的面积,故只需根据“长方形面积=长 宽”和“三角形面积=长 宽 2”计算即可。 4.把一个平行四边形沿着它的一条高剪成两部分后,拼成一个长方形。这个长方形和原来的平行四边形相比,( )。 A.周长不变,面积变大 B.周长不变,面积也不变 C.周长变小,面积不变 D.周长变大,面积不变 【答案】C 【解析】【解答】解:因为长方形是由平行四边形拼成的,所以长方形的面积=平行四边形的面积; 等面积的平行四边形和长方形相比,长方形的周长较短; 故答案为:C。 【分析】一个图形进行剪切再拼成其他图形面积不变,而等面积的平行四边形和长方形相比,长方形的周长较短。 5.设计图纸。聪聪负责设计图纸,他在纸上画了一个平行四边形的设计图,若设计图的面积是350cm2,底是20cm,对应的高是( ) cm。 A.17 B.17.5 C.18 D.18.5 【答案】B 【解析】【解答】解:根据平行四边形的面积公式,可得 高=350 20=17.5(cm2) 故答案为:B 【分析】根据平行四边形的面积公式:S=ah,可得,h=S a,代入数据即可求解 6.一个三角形和一个平行四边形的面积相等,底也相等,如果三角形的高是6厘米,那么平行四边形的高是( )厘米。 A.24 B.12 C.6 D.3 【答案】D 【解析】【解答】解:6 2=3(厘米)。 故答案为:D。 【分析】等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍,则平行四边形的高=三角形的高 2。 7.一个平行四边形框架的两条邻边分别长12厘米和8厘米,其中一条底对应的高是10.5厘米,如果把它拉成一个长方形,这个长方形的面积是( )。 A.84cm2 B.96cm2 C.126cm2 D.无法确定 【答案】B 【解析】【解答】解:12 8=96(平方厘米) 故答案为:B。 【分析】把它拉成长方形,长就是平行四边形的一条边,宽就是平行四边形相邻的另一条边,因此长方形的长是12厘米,宽是8厘米,由此计算长方形的面积。 8. 下图中涂色部分的面积是26.5cm2,点B是平行四边形底边上的中点,平行四边形的面积是( )cm2。 A.106 B.79.5 C.53 【答案】A 【解析】【解答】解:26.5 4=106(平方厘米)。 故答案为:A。 【分析】平行四边形和三角形的高相等,平行四边形的底是三角形底的2倍,平行四边形的面积=三角形的面积 4。 二、判断题 9.一个三角形的底是4厘米,高是3厘米,面积是12平方厘米。( ) 【答案】错误 【解析】【解答】解:4 3 2 =12 2 =6(平方厘米) 故答案为:错误。 【分析】三角形的面积=底 高 2。 10. 若平行四边形与三角形等底等高,则它们的面积必定相等。( ) 【答案】错误 【解析】【解答】解:若平行四边形与三角形等底等高,则平行四边形面积是三角形面积的2倍,原题说法错误。 故答案为:错误。 【分析】平行四边形面积=底 高,三角形面积=底 高 2,据此判断。 11.平行四边形的底和高分别扩大到原来的2倍,面积也扩大到原来的2倍。( ) 【答案】错误 【解析】【解答】解:平行四边形的底和高分别扩大到原来的2倍,面积扩大到原来的4倍。原题说法错误。 故答案为:错误。 【分析】平行四边形面积=底 高,所以平行四边形面积扩大的倍数是底和高扩大倍数的乘积。 12.一个长方形的木条框,拉住它的两个对角,使它变成一个平行四边形,拉出的平行四边形和原来的长方形周长没变,面积变了。( ) 【答案】正确 【解析】【解答】 解:长方形木条框,拉住它的两个对角,可以变成一个平行四边形,拉出的平行四边形和原来的长方形周长没变,面积变了,此题说法正确。 故答案为:正确。 【分析】把一个长方形的框架拉成一个平行四边形后,四条边的长度没变,则四条边的长度和不变,即它的周长不变; 平行四边形的高比长方形的宽小了,底没变,由长方形和平行四边形的面积公式可知,这个平行四边形的面积与原长方形面积相比就变小了。 13.把一张长9分米、宽6分米的长方形纸,裁成直角边是3分米的等腰直角三角形做小旗,最多可以裁9面小旗。( ) 【答案】错误 【解析】【解答】解:9 6 (3 3 2) =54 4.5 =12(面) 故答案为:错误。 【分析】根据题意,因为9和6都是3的倍数,直接用长方形的面积除以三角形的面积即可;长方形的面积=长 宽,三角形的面积=底 高 2。 三、填空题 14.橡树具有较高的经济价值。一个占地1公顷的三角形橡木林,高是100米,它的底是 米。 【答案】200 【解析】【解答】解:1 公顷=10000 平方米 10000 2 100 =20000 100 = 200(米) 故答案为:200。 【分析】根据题意可得:三角形面积=底 高 2,所以底=三角形的面积 2 高,在计算前先统一单位:1公顷=10000平方米,大单位转化成小单位乘进率。 15.光明村有一块三角形菜地占地1.2公顷,已知它的底是200米,那么这条底边上的高是 米。 【答案】120 【解析】【解答】解:1.2公顷=12000平方米, 12000 2 200 =24000 200 =120(米) 故答案为:120。 【分析】根据1公顷=10000平方米,先将公顷化成平方米,然后用三角形的面积 2 底=高,据此列式解答。 16.李师傅将一块木板切割成两个等高等面积的梯形和平行四边形,若平行四边形的底是12cm,梯形的上底是9.5cm,则梯形的下底是 cm。 【答案】14.5 【解析】【解答】解:12 2-9.5 =24-9.5 =14.5(cm) 故答案为:14.5。 【分析】根据题意可知:因为梯形和平行四边形等高等面积,结合平行四边形和梯形的面积公式,所以梯形的上底和下底之和为平行四边形底的2倍,即平行四边形的底 2=梯形上底+下底,平行四边形的底 2-上底=梯形的下底。 17.一个平行四边形的一组相邻边的长度分别是22cm和30cm,量得它的高是24cm,那么这个平行四边形的面积是 cm2。 【答案】528 【解析】【解答】解:22 24=528 故答案为:528。 【分析】根据三角形的三边关系可知,这个平行四边形30cm长的底边上的高的长度要小于另一边22cm,所以24cm是平行四边形22cm边上的高,根据平行四边形的公式计算出面积。 18.一个梯形的上底是15cm,如果高和下底不变,上底增加7cm,就成了一个平行四边形,面积增加28cm2。原来这个梯形的面积是 cm2。 【答案】148 【解析】【解答】解:2 28 7=8cm 15+7=22cm (22+15) 8 2=148 故答案为:148。 【分析】根据梯形的面积计算公式可得,求梯形的面积需要知道上底、下底和高,根据上底增加一定的长度变成平行四边形可以推出下底,增加的面积的图形为高和梯形相等的三角形,根据三角形面积公式求出三角形的高,即为梯形的高,最后根据梯形的面积公式求出梯形的面积。 19.如图,某农场计划围成一块平行四边形区域用来养鸡,这块平行四边形区域的面积是 m2,需要准备 m的篱笆。 【答案】1200;160 【解析】【解答】解:平行四边形的面积是50 24 平行四边形的另一条边是1200 40=30(m), 篱笆长度是(50+30) 2=160(m)。 故答案为:1200;160。 【分析】平行四边形面积=底 高,利用底为50高为24求出平行四边形面积;当平行四边形高为40时,根据面积公式求出此时平行四边形的底为30;此时平行四边形的底边和斜边的长度均为已知,可以求出篱笆长度即平行四边形的周长。 20.将平行四边形中的深色阴影部分向右平移 cm,可以使平行四边 形转化成长方形,这个长方形的面积是 cm2。 【答案】8;40 【解析】【解答】解:将平行四边形中的深色阴影部分向右平移8cm,可以使平行四边形转化成长方形,这个长方形的面积是8 5=40cm2。 故答案为:8;40。 【分析】图中可以看出,阴影部分的三角形向右移动平行四边形底的长度可以得到长方体; 把平行四边形转化成长方形,平行四边形的面积等于长方形的面积,其中平行四边形的面积=底 高。 21.李伯伯用18米长的篱笆靠墙围成一个如图所示的地方,用于圈养鸡,平均每平方米养3 只鸡更有利于鸡的成长,且鸡之间的病菌传播率较低,如此计算李伯伯大约养鸡 只。 【答案】108 【解析】【解答】解:(18-6) 6 2 =72 2 =36(平方米) 36 3=108(只)。 故答案为:108。 【分析】李伯伯大约养鸡的只数=这个鸡圈的面积 平均每平方米养鸡的只数;其中,这个鸡圈的面积=上下底的和 高 2, 上下底的和=篱笆的长-围成梯形的高。 四、计算题 22.计算下面各图形的面积。 (1) (2) 【答案】(1)解:6 3.5+(6-2) 3.5 2 =21+4 3.5 2 =21+14 2 =21+7 =28(cm2) (2)解:8 6=48(cm2) (8-3-3+5) 2 2 =7 2 2 =7(cm2) 48-7=41(cm2) 【解析】【分析】(1)该组合体由一个长为6cm,宽为3.5cm的长方形加上一个底为(6-2)cm,高为3.5cm的三角形,根据长方形的面积公式:S=长 宽和三角形的面积公式:S=底 高 2,代入数据即可求解 (2)该组合体由一个长为8cm,宽为6cm的长方形减去一个上底为(8-3-3)cm,下底为5cm,高为2cm的梯形,根据长方形的面积公式:S=长 宽和梯形的面积公式:S=(上底+下底) 高 2,代入数据即可求解 五、解决问题 23.美术课做手工,一张长方形卡纸被淘气使用后的剩余部分如下图。 (1)求剩余部分的面积。 (2)求这张长方形卡纸被使用前的最小面积。 【答案】(1)解:3 1+(3-1+2.8) (3-1.5) 2 =3+3.6 =6.6(dm2) (2)解:(2.8+1) 3 =3.8 3 =11.4(dm2) 答:这张长方形卡纸被使用前的最小面积是11.4dm2。 【解析】【分析】(1)剩余部分的面积=长方形面积+梯形面积,长方形的面积=长 宽,梯形的面积=(上底+下底) 高 2; (2)这张长方形卡纸被使用前的最小面积,就是原来长方形的长和宽的乘积,据此解答。 24.一块梯形菜地,上底是15米,下底是20米,高是20米,如果每平方米可以收白菜7.5千克,那么这块菜地最多可以收白菜多少千克? 【答案】解:(15+20) 20 2 =700 2 =350(平方米) 350 7.5 =2625(千克) 答:这块菜地最多可以收白菜2625千克。 【解析】【分析】这块菜地最多可以收白菜的质量=这块菜地的面积 平均每平方米收白菜的质量;其中, 这块菜地的面积=(上底+下底) 高 2。 25.2024 年空军航空开放活动——长春航空飞行表演中,我国自主研制的第五代战机歼-20高难度动作震撼全场。歼-20的展演激发了淘气的设计灵感,他准备制作一个飞机模型,机翼是由两个相同的梯形板组成(如图),机翼的面积是多少平方分米? 【答案】解:(2.2+3.3) 4.4 2 2 =5.5 4.4 =24.2(dm2) 答: 机翼的面积是24.2平方分米。 【解析】【分析】 机翼的面积 =2个梯形的面积,梯形的面积=(上底+下底) 高 2,据此解答。 26.张伯伯的农家乐里面有一个面积为225平方米的三角形水池,量得其中一条边的长度为30米。张伯伯计划从这条边向对面顶点方向修一座小桥,小桥要正好与这条边垂直。算一算这座小桥的长度至少是多少米。 【答案】解:225 2 30 =450 30 =15(米) 答: 这座小桥的长度至少是15米。 【解析】【分析】三角形的面积=底 高 2,则高=面积 2 底,据此解答即可。 27.某小区为了改善生态环境,美化生活空间要将一个长10米、宽8米的长方形花坛进行扩建,把这个花坛的长增加5米,宽要增加多少米,面积才会增加100平方米? 【答案】解:设宽要增加x米,面积才会增加100平方米。 (10+5) (8+x)-10 8=100 解得,x=4 答:宽要增加4米,面积才会增加100平方米 【解析】【分析】根据等量关系“扩大后的面积一原来长方形的面积=增加的面积”列方程解答即可。 28.想象无限,创造无限。如图,小康将梯形卡纸的一角翻折,得到一个直角三角形,通过测量,发现涂色部分的面积是325平方厘米。把这个直角三角形剪下,算一算,较短的一条直角边长多少厘米? 【答案】解:根据题意,可知 (20+32) 25 2 =52 25 2 =650(平方厘米) (650-325) 2 =325 2 =162.5(平方厘米) 162.5 2 25 =325 25 =13(厘米) 答:较短的一条直角边长是13厘米 【解析】【分析】根据“梯形的面积=(上底+下底) 高 2”计算出梯形的面积,梯形的面积一涂色部分的面积=剩下部分的面积,剩下部分的面积正好是2个完全一样的直角三角形的面积和,最后根据“三角形的底=面积 2 高”求出较短的一条直角边的长度。 学科网(北京)股份有限公司 $$