2.1 圆的方程（第1课时）（教学课件）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

2.1 圆的方程 第二章 圆与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 第1课时 圆的标准式方程 学 习 目 标 1 2 3 掌握圆的定义及标准方程. 会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系. 能用圆的标准方程解决一些实际应用问题． 人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！ 明月四时好，何事喜中秋？ 瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头． 放出白毫千丈，散作太虚一色， 万象入吾眸．星斗避光彩， 风露助清幽． 圆是最完美的曲线，它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 定点就是圆心，定长就是半径. ● 如何建立圆的方程? 情景导入 我们以定点O为圆心，定长r为半径，画出一个圆 如何建立圆的方程？ O r x y O r P（x,y） 新知探究 第一步：以定点O为原点建立直角坐标系如图所示 第二步：设 P（x，y）是圆上的任意一点. 第三步：依题意，OP = r， 得 第四步：化简得 x y O r P（x,y） 以原点为圆心，半径为1的圆通常称为单位圆. 新知探究 反过来，设是方程的一组解，即，从而 所以点满足，即点在圆O上. 因此，所求圆的方程是 x y O r P（x,y） 新知探究 x y O C P 了什么？ ： 说明为圆心，r为半径的圆上 新知探究 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) 叫作以点 (a，b) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程 。 确定圆的标准方程，只要确定方程中的三个常数 a，b，r. 新知归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键： 例1.求圆心是 C (2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程. 解：因为圆C经过坐标原点，且圆心为，可得圆C的半径是， 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) x2＋y2＝r2(r>0) 因此，所求圆的方程是． 教材P52 例题 例2.已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.7m ，高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道? 典例分析 解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点， 半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立 如图所示的平面直角坐标系， 那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)． 将x＝2.7代入，得y＝ 所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道． 思考：假设货车的最大宽度为 a m，那么货车要驶入该隧道，限高为多少? 将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝ 所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为 教材P52 例题 1.分别根据下列条件，求出圆的方程： (1)圆心在原点，半径为6； (2)圆心为点，半径为； (3)过点，圆心为； (4)过原点，圆心为点． 【解析】（1） （2） （3）由题意得：圆的半径，故圆的方程为： （4）由题意得：半径，所以圆的方程为： 教材P56 练习 2.分别根据下列条件，求出圆的方程： (1)圆心为，且与轴相切； (2)圆心为，且与直线相切； (3)半径为，且与轴相切于原点； (4)过点、，半径为． 【解析】（1）解：由题意可知圆的半径为，因此，圆的方程为. （2）解：由题意可知圆的半径为，因此，圆的方程为. （3）解：由题意可知，圆心坐标为或， 故所求圆的标准方程为或. （4）解：易知轴，线段的中点为，设圆心为，则， 设点，则，解得或， 则圆心坐标为或，故所求圆的方程为或. 教材P56 练习 3. (1)已知点 A(－4，－5)，B(6， －1)，求以线段 AB 为直径的圆的方程； (2)求圆心在直线 y＝－x 上，且过两点 A(2，0)，B(0，－4) 的圆的方程. 【详解】（1）由题设，中点坐标为， 且， 所以以线段AB为直径的圆的方程为. （2）由题设，令圆心为，圆的方程为， 又，在圆上，所以，解得， 故圆的方程为. 教材P56 练习 4. 分别判断点 A(1，1)，B(1，3)，C(1，2) 与圆 x2＋y2＝4 的位置关系. 答案：A ：在圆内； B ：在圆上； C ：在圆外. 教材P56 练习 题型探究 1.已知某圆圆心在轴上，半径为5，且在轴上截得线段 的长为8，则圆的标准方程为( ) D A. B. C. D. 易错警示 解答本题易出现两种错误， 一是求解方程时，因受思维定式的影响， 利用图形辅助解题时漏掉一种情况； 二是由于对圆的标准方程形式把握不准 而将圆的标准方程写错. 解析 由题意得,,所以,在 中， . 如图所示，有两种情况： 故圆心的坐标为或 ， 故所求圆的标准方程为 . 易错题、对圆的标准方程的结构形式把握不准致错 题型探究 2.［江苏徐州2025高二质检］圆心在轴上，半径为1，且过点 的圆的标准方程是( ) C A. B. C. D. 解析 由题意，设圆心坐标为，半径，则圆的标准方程为 ，由圆过 点可得，解得，则所求圆的标准方程为 .故选C. 3. ［吉林长春吉大附中2025高二期中］若圆经过点， ，且圆心在直线 上，则圆 的方程为( ) A A. B. C. D. 解析 由圆经过点，，可得线段的中点为，又 ， 所以线段的垂直平分线的方程为，即.由 解得 即，圆的半径， 所以圆 的方程为 .故选A. 题型一、圆的标准方程及其求法 16 4.［河南省实验中学2025高二期中］若圆经过，两点，则当圆 的半径最小时，圆 的标准方程为( ) D A. B. C. D. 解析 依题意，线段的中点为，，圆经过，两点，当圆 的半径 最小时，线段为圆的直径，此时圆的方程为 ,化简得标 准方程为 .故选D. 题型探究 题型一、圆的标准方程及其求法 17 5.［宁夏银川2025高二期中］已知为坐标原点，点在圆 上运动，则线段 的中点 的坐标满足的方程为( ) D A. B. C. D. 题型探究 解析 设，，则，，即， . 因为点在圆上运动，所以满足 . 把①代入②，得，即 . 因此线段的中点的坐标满足的方程为 .故选D. 题型一、圆的标准方程及其求法 18 6.［贵州部分学校2025高二联考］已知，是方程 的两个不等实数根，则点 与圆 的位置关系是( ) C A.在圆内 B.在圆上 C. 在圆外 D.无法确定 题型探究 题型二、点与圆的位置关系 解析 由,是方程的两个不等实数根，得, ，则 ，所以点在圆 的外部.故选C. 7.若点在圆的外部，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 解析 由题意可知，解得或，则实数 的取值范围是 ，故选C. 19 8.已知圆，当变化时，圆 上的点到原点的最短距离是___. 1 解析 由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为1，圆 上的点到原点的最短距离是圆心 到原点的距离减去半径1，即 ， 当时，最小，此时 . 题型探究 题型二、点与圆的位置关系 20 (1)直接法 根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程. 求解圆的标准方程方法： (2)待定系数法 设方程 列方程 解方程组 得方程 设所求圆的方程为 由已知条件，建立关于a，b，r的方程组 解方程组，求出a，b，r 将a，b，r代入所设方程，得所求圆的标准方程 课堂小结 21 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝PC＝. 课堂小结 感谢聆听! $$