天津市和平区汉阳道中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年天津市和平区汉阳道中学八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式化简后，能与合并的是(    ) A. B. C. D. 2.河北博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中嘉嘉笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分综合成绩中笔试占、试讲占、面试占，那么嘉嘉的最后得分为 A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 3.如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是(    ) A. B. C. D. 4.对于函数，下列说法正确的是(    ) A. 它的图象过点 B. 值随着值的增大而减小 C. 它的图象经过第二象限 D. 当时， 5.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A. 关于的方程的解是 B. 关于的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于，的方程组的解是 7.下列说法正确的有(    ) 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 平行四边形的对角互补； 平行线间的线段相等； 两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； 平行四边形的四内角之比可以是：：：． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接并延长，交于点若是的中点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，菱形，点、、、均在坐标轴上．，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，直线与轴、轴分别交于点，． 按照如下尺规作图的步骤进行操作： 以点为圆心，以为半径画弧，交轴负半轴于点，连接； 分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点； 连接并延长，交轴于点． 则下列结论中错误的是(    ) A. 点的坐标为 B. 点的坐标为 C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 11.如图，在正方形中，是边的中点，连接，过点作交于点，，分别是，的中点，连接，则的值为(    ) A. B. C. D. 12.定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼闵可夫斯基所创立的词汇在此定义下，下列选项错误的是(    ) A. 若，，则 B. 若，在直线上，则最小值是 C. 若，满足的所有点组成的图形面积是 D. 若，，且，则点横坐标是 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.二次根式中字母的取值范围是______． 14.数据、、、、的方差是______． 15.关于的一次二项式的值随的变化而变化，分析下表列举的数据． 若，线段的长为，点在直线上，且，则直线上所有线段的和是______． 16.如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 17.如图在平面直角坐标系中，点、，点在轴正半轴上，连接，过点作，且连接交轴于点，则点的坐标是______． 18.如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点四边形的顶点，，，和边上的点均在格点上． 线段的长为______； 在线段上找一点，连接，使得请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的______不要求证明 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算： ； ． 20.本小题分 某校为了解初中学生每周参加体育活动的时间单位：，随机调查了该校的部分初中学生根据调查结果，绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题： Ⅰ图中的值为______，本次接受调查的初中学生人数为______． Ⅱ求统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； Ⅲ现计划制定该校初中学生每周参加体育活动时间的标准，如果想让一半左右的学生都能达到这个标准，可参考以上哪个统计量制定这个标准？______填“平均数”或“众数”或“中位数” 21.本小题分 如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上点的位置． 若，求的度数． 若，． 求的长； 的面积为______． 22.本小题分 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求和的长． 23.本小题分 已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍下面图中表示时间，表示离宿舍的距离图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： Ⅰ填表： 李明离开宿舍的时间 李明离宿舍的距离 填空：李明从超市返回宿舍的速度为______； 当时，请直接写出李明离宿舍的距离关于时间的函数解析式； Ⅱ当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？直接写出结果即可 24.本小题分 如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点． 当时， 求出点的坐标； 在坐标平面内存在点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标______； 如图，连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线相交于点直线与轴相交于点，与轴相交于点． 求的值及点，的坐标． 若，求直线的函数表达式． 在的条件下，如图，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请求出直线的函数表达式． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：． 先把每个二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：根据加权平均数的定义列式计算可得： 分． 故选：． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，正确进行计算是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，熟练掌握根据梯子长不会变的等量关系求解以及熟练运用勾股定理是解决此题的关键． 4.【答案】  【解析】解：、把代入解析式得到，即函数图象经过，不经过点，故本选项错误； B、函数中，，则该函数图象值随着值增大而增大，故本选项错误； C、函数中，，，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项错误； D、当时，，则，故本选项正确． 故选：． 根据一次函数的性质进行判断即可． 本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图，连接，， 由图可得，，， 在和中， ， ≌， ， ， 又， ， 故选：． 利用网格得，，，证明≌得，再由网格得，再由三角形内角和定理可得． 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 6.【答案】  【解析】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， 关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于，的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 7.【答案】  【解析】解：正确； 平行四边形的对角相等，命题错误； 平行线间的平行线段相等，命题错误； 正确； 正确． 故选：． 根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断． 本题考查了平行四边形的判定定理以及性质定理，正确理解定理的内容是关键． 8.【答案】  【解析】解：四边形和都是正方形， ，， 是的中点， 垂直平分， ，， ，， ， ≌， ， ， ， 设的长为， ， ，， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故选：． 证明垂直平分，则，再证明，得到，设的长为，则，则，，在中，，则，解方程即可得到的长． 此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识，熟记以上知识点是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：根据题意得，点关于轴的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值为， 四边形是菱形，，点， ，， 是等边三角形， ， 即的最小值是， 故选：． 根据题意得，点关于轴的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值，求出此时的最小值即可． 本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，设交于点． 直线与轴、轴分别交于点，， ，，故选项A，B正确． ，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ，故选项C正确． ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ． 故选项D错误． 故选：． 如图，设交于点根据直线的解析式，求出，两点坐标，再根据，判断出点的坐标，再利用相似三角形的性质求出可得结论． 本题考查作图基本作图，一次函数的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11.【答案】  【解析】解：设与的交点为，连接，如图所示：   是边的中点， 设，则， 四边形是正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， 点是的中点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ≌， ，， 在中，点是斜边的中点， ， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：． 设与的交点为，连接，设，根据正方形性质得，，则，，证明和全等得，，则，由三角形的面积公式得，进而由勾股定理可求出，，由此即可得出的值． 此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由条件可知， 故选项A正确，但不符合题意； 设， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，， 最小值是， 故选项B正确，但不符合题意； 设， 由条件可知， 当，时，， ； 当，时，， ； 当，时，， ； 当，时，， ； 当时，， ， 当时，， ， 所有符合题意的点组成的图形如图， 所有点组成的图形的面积为， 故选项C正确，但不符合题意； 设， 由条件可知， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，解得； 当时，，恒成立， 综上，当时，， 故选项D，符合题意； 故选：． 直接根据“曼哈顿距离”的定义判断选项A；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，，三种情况讨论即可判断选项B；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，；，；，；，；；讨论，判断出符合题意的点围成的图形，即可判断选项C；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分；；三种情况讨论，即可判断选项D． 本题考查了新定义，一次函数的性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 13.【答案】  【解析】解：二次根式有意义， ，， 解得． 故答案为：． 根据被开方数是非负数，分式有意义的条件计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握有意义的条件是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：数据、、、、的平均数为：， 故方差为：． 故答案为：． 先求出平均数，再根据方差公式计算即可． 此题主要考查了方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 15.【答案】或  【解析】解：由表格得时，， ； 时，， ； ， ， ， 当点在线段上时， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ． 直线上所有线段的和是或． 故答案为：或． 把表格中的前两对值代入求出与的值，再代入中，求出的值，再分两种情况讨论，求出，最后把所有的线段相加即可得出答案． 此题考查了两点间的距离和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16.【答案】或  【解析】解：当时，如图， ， 把沿折叠，使点落在点处， ， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图， 在中，， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， 点、、共线，即点在上， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即， 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 当时，根据折叠的性质得，则是等腰直角三角形，可得；当时，先利用勾股定理计算出，再根据折叠的性质得到，，，于是可判断点、、共线，求出，设，则，，在中利用勾股定理可求的长． 本题考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：如图，过点作轴于点， 则， 点、， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 过点作轴于点，证≌，得，，再证≌，得，则，即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18.【答案】  先把绕点逆时针旋转得到，然后连接交于点  【解析】解：； 故答案为：； 如图，点为所作； 作图过程为：先把绕点逆时针旋转得到，然后连接交于点； 理由如下：绕点逆时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ， 把绕点顺时针旋转得到，如图， ，，，， 点在的延长线上， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 故答案为：先把绕点逆时针旋转得到，然后连接交于点． 直接利用勾股定理计算； 先把绕点逆时针旋转得到，然后连接交于点，则，，所以，再把绕点顺时针旋转得到，如图，则，，，，接着证明≌得到，所以，即，从而可判断点满足条件． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和旋转的性质． 19.【答案】；  ．  【解析】原式 ； ； 先化简二次根式，再合并即可； 先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 本题考查的是二次根式的混合运算；熟练掌握运算法则是关键． 20.【答案】Ⅰ，人； Ⅱ这组数据的平均数为：， 这组数据中出现次数最多的是，共有次，因此众数是， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是，因此中位数是， 答：平均数是，中位数是，众数是； Ⅲ众数．  【解析】解：Ⅰ调查人数为：人， 学生每周参加体育活动的时间小时的人数为：，即， 故答案为：，人； Ⅱ这组数据的平均数为：， 这组数据中出现次数最多的是，共有次，因此众数是， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是，因此中位数是， 答：平均数是，中位数是，众数是； Ⅲ众数，理由：这组数据的众数是，样本中每周参加体育活动的时间小时及以上的学生人数占，约占调查人数的一半，并且这个数据还能更好的刺激低于的学生积极向这个目标努力， 故答案为：众数． Ⅰ从两个统计图可知，样本中学生每周参加体育活动的时间小时的有人，占调查人数的，由频率即可求出调查人数，进而求出学生每周参加体育活动的时间小时所占的百分比，确定的值； Ⅱ根据平均数、中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可； Ⅲ根据平均数、中位数、众数的定义进行判断即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图，中位数、众数、平均数，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． 21.【答案】， ， 由折叠的性质得：， ， ， ； 中，，，． ， 由折叠的性质得：，， 设，则，， ， 在中，， 即， 解得， 即的长为； ．  【解析】解：， ， 由折叠的性质得：， ， ， ； 中，，，． ， 由折叠的性质得：，， 设，则，， ， 在中，， 即， 解得， 即的长为； 由折叠的性质得：，， 的面积． 故答案为：． 由折叠的性质得，所以，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题； 根据勾股定理求出，设，则，，然后再利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题； 直接根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查了翻折变换以及勾股定理的运用，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及运用勾股定理的表达式列出方程求解． 22.【答案】证明：由四边形为菱形可知：点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形 ， 平行四边形为矩形． 解：由条件可知：， ，， 在中，． 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形， ， ． 故答案为：，．  【解析】先证明是的中位线，再结合已知条件，得到四边形是平行四边形，再由条件，得到四边形是矩形； 先求出，由勾股定理进而得到，再由中位线定理得到，得到，最后． 本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 23.【答案】．  【解析】解：Ⅰ， 由图填表： 李明离开宿舍的时间 李明离宿舍的距离 故答案为：，，； 张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：； 李明离宿舍的距离关于时间的函数解析式理由如下： 当时，由函数图象可得：； 当时，设与的函数解析式为，把，代入，得： ， 解得， ； 综上所述，李明离宿舍的距离关于时间的函数解析式． Ⅱ当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为：． 当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为， 当时，得：，他们没有相遇； 当时，得：， 解得：， 当时，得：． 他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是． Ⅰ根据图象作答即可；根据图象，由李明从超市到宿舍的距离除以时间即可解答；当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设与的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； Ⅱ当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店可得张杰的速度为，当张强在回宿舍的途中遇到李明时，他俩离宿舍的距离是相等的，据此列方程求解即可． 本题主要考查了一次函数的应用，准确理解题意并正确列出函数解析式是解题的关键． 24.【答案】； 或或；   的周长不变，且周长为．  【解析】解：过点作轴于点，如图所示： 则， 四边形为正方形，点的坐标为， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ≌， ，， ， ． ， ， ， 设点的坐标为， 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可知：，， 解得：，， 点的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， 点的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得：，， 解得：，， 点的坐标为； 综上分析可知，点的坐标为：或或； 的周长不变，且周长为理由如下： 在轴上取一点，使，连接，如图所示： 四边形为正方形， ，， ， ， ≌， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ≌， ， ． 根据四边形为正方形，点的坐标为，得出，，证明≌，得出，，求出，即可得出答案； 设点的坐标为，分三种情况进行讨论，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形求出结果即可； 在轴上取一点，使，连接，证明≌，得出，，证明≌，得出，根据求出结果即可． 本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 25.【答案】，，；   直线的函数表达式为；   或．  【解析】解：把代入得， ， ， 当时，， 当时，， ，； ， ， 设直线的函数表达式为，则， ， 当时，， ， ， 把代入得， 解由组成的方程组得，， 直线的函数表达式为； 当点在点的上方时， 过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点的延长线于点， 由直线的表达式知，，即， ， 则，则为等腰直角三角形，设点， ，， ， ，， ≌， ，，即且， 解得：，，即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当在下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为：， 综上，或． 把代入得，求得，得到，解方程得到，； 设直线的函数表达式为，则，得到，当时，，求得，根据题意列方程即可得到结论； 当点在点的上方时，证明≌，得到，即可求解；当在点下方时，则直线和关于对称，则的表达式为：，即可求解． 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$