第11章 平面直角坐标系（复习讲义）数学沪科版2024八年级上册

第11章 平面直角坐标系（复习讲义） 1.认识平面直角坐标系，了解平面直角坐标系中点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的位置. 2.会在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，会根据点的位置写出点的坐标. 3. 通过具体事例，掌握建立适当的平面直角坐标系以及用方向和距离描述地理位置的方法. 4. 掌握坐标变化与图形平移的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移，会根据图形上点的坐标的变化来判定图形的移动过程. ●一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系的概念：：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 2、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 3、平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征： ①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等； ②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等； （4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 4、点的坐标的几何意义： 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． ●二、平面直角坐标系的应用 1、用坐标表示地理位置： （1）确定物体的位置的方法有很多，其中可以用有序数对来表示物体的位置，还可以用平面直角坐标系中的点的坐标来确定物体的位置.解决问题时要根据实际情况来选择表示方法，确定物体的位置时数据不能少于两个. （2）利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. （3）在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 2、用坐标表示点的平移： （1）平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） （3）作图-平移变换 ①确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． ②作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 题型一 象限内点的坐标 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点在第二象限时点的坐标特征，解题的关键是注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第二象限点的坐标特点可直接解答即可． 【详解】解：∵手的位置是在第二象限， ∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标也大于0， ∴结合选项这个点是， 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 【变式1-2】（2024春•临湘市期末）若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【答案】B． 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：由P（x、y）在第二象限且|x|＝2，|y|＝3，得 x＝﹣2，y＝3． x+y＝﹣2+3＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 题型二 判断点所在的象限 【例2】（24-25八年级下·广西来宾·期末）如果点在第三象限，那么点在（     ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握点在直角坐标系中的特征是解题的关键，根据第三象限点的坐标特征确定的符号，进而计算的符号，判断点的位置． 【详解】解：点在第三象限， ∴， ∴， ∴点在轴的负半轴上； 故选：B． 【变式2-1】（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知，则在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性以及象限中点的符号问题，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴在第二象限， 故答案为：二． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若点在第二象限，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了象限中点的符号问题，不等式的性质，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，掌握这些是解题的关键． 先确定的符号，再确定的符号，即可判断所在象限 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，即， ∴， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 题型三 坐标轴上的坐标 【例3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特点，根据直角坐标系中轴上点的纵坐标为的特征得，解出的值，再代入横坐标表达式即可确定点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点在直角坐标系的轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东汕头·期末）点在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的坐标的特点，解决本题的关键是熟记x轴上点的纵坐标为 根据x轴上点的坐标特点解答即可． 【详解】解：点在直角坐标系的x轴上， 这点的纵坐标是0， ， 解得， 点坐标为 故答案为： 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点的纵坐标为； (2)点的纵坐标比横坐标大3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求点的坐标，根据条件列出方程是解题的关键： （1）根据题意，得到，进行求解即可； （2）根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； ∴， ∴； （2）由题意，得：，解得：， ∴， ∴． 题型四 平行于坐标轴的直线上的点的坐标 【例4】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，由于线段平行于y轴，点A和点B的横坐标相同，均为2，根据线段长度，可确定点B的纵坐标为，从而得到点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两个点的横坐标相同，都是2， ∵，点A的坐标为， ∴点B的纵坐标为：， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相同是解题的关键． 根据平行于x轴的线段纵坐标相等，结合两点间距离公式求解． 【详解】解：∵轴， ∴点A与点B的纵坐标相同． ∵点， 故点A的纵坐标为． ∵ ∴ 解得：或， ∴点A的坐标为或． 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知点 (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q满足轴，点Q的横坐标是3，且，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质． （1）根据x轴上点的坐标特征进行计算即可； （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征及进行计算即可． 【详解】（1）解：点P在x轴上，在x轴上的点其纵坐标为0， ， 解得， ， 点P的坐标为； （2）解： 轴，Q的横坐标是3， ， 解得， ，即， ， ， 解得或， 点Q为或． 题型五 角平分线上的点的坐标 【例5】（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 【答案】C． 【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标． 【详解】解：∵点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+1+2m﹣7＝0， 解得：m＝2， ∴P（3，﹣3）． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标的知识．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 【变式5-1】（2024秋•东平县期末）已知点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上，则a＝　 ． 【答案】5． 【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可． 【详解】解：∵点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上， ∴5a+7＝6a+2， 解得a＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键． 【变式5-2】（2024秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 【答案】（1，﹣1）． 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点结合角平分线的性质得出等式求出答案． 【详解】解：∵当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线， ∴x＝﹣y， ∵3x﹣y＝4， ∴﹣3y﹣y＝4， 解得：y＝﹣1， 故x＝1， 则点A的坐标为（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第四象限内点的坐标特点是解题关键． 题型六 点的坐标与点到坐标轴的距离 【例6】（24-25七年级下·四川德阳·期末）点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点在各个象限的符合特征；由点到坐标轴的距离得，，即可求解；掌握象限符号特征及“到轴的距离为，到轴的距离为”是解题的关键． 【详解】解：∵点位于轴上方，故纵坐标， ∵到轴的距离为2，即，得， ∵到轴的距离为3，即，得或， ∴点的坐标是和， 故选：B． 【变式6-1】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，P为第二象限内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，坐标系中，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，再结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正即可得到答案． 【详解】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5， ∴点P的横坐标的绝对值为5，纵坐标的绝对值为2， ∵P为第二象限内一点， ∴点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求点M的坐标； (2)若点M在第四象限，且点M到x轴的距离是1，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特征，解一元一次方程，掌握坐标的知识是解题关键． （1）根据点在轴上横坐标为0，得到，解得，即可得到点的坐标； （2）根据点在第四象限，且点到轴的距离是1，得到，解得，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为． （2）解：点在第四象限，且点到轴的距离是1， ， 解得． ， 点的坐标为． 题型七 实际问题中的坐标表示 【例7】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据家和体育馆的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则学校所在位置的坐标为， 故选：A． 【变式7-1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）2025年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，由吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，建立平面直角坐标系，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】进而：∵表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为 ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示会宁会师的点的坐标为， 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．” (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标； (3)写出超市到少年宫的距离； (4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) (4)同意，见解析，东北方向上，且距离为 【分析】（1）根据超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系解答即可． （2）根据坐标系，直接写出学校、少年宫的坐标即可； （3）超市的坐标是，少年宫的坐标是，两地距离为（米）； （4）根据公园、图书馆、超市点坐标即可判定都在一三象限的象限角的平分线上，即可写出图书馆相对于公园的位置． 本题考查了坐标系的建立，平移的应用，写出点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系如下： （2）解：根据前面建立的坐标，得学校的坐标为，少年宫的坐标为． （3）解：根据题意，得超市的坐标是，少年宫的坐标是， 故两地距离为（米）． （4）解：同意， ∵超市的坐标是，图书馆的坐标是，公园的坐标是， ∴都在一三象限的象限角的平分线上， 由此可以判定，图书馆在公园的东北方向上，且距离为． 题型八 用方向角和距离表示物体位置 【例8】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（   ） A．向南偏西行走600米 B．向南偏东行走400米 C．向北偏东行走600米 D．向北偏西行走400米 【答案】A 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置．依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答． 【详解】解：以学校为观测点，根据图形中的角度标识，小明从学校出发去少年宫的方向是南偏西， 由图可知，比例尺为1个单位长度代表200米，从学校到少年宫有3个单位长度， 所以距离为米， 综上，小明从学校出发去少年宫的行走路线是向南偏西行走600米． 故选A． 【变式8-1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（   ） A．学校在小明家南偏东的方向上，距学校； B．学校在小明家北偏东的方向上，距学校； C．小明家在学校南偏西的方向上，距学校； D．小明家在学校北偏东的方向上，距学校． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角与距离表示位置，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：小明家与学校的相对位置描述正确的是：学校在小明家南偏东的方向上，距学校； 或小明家在学校北偏西的方向上，距学校． ∴B，C，D不符合题意，A符合题意 故选：A 【变式8-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）佳琪参加市运会，小宇想去裕同体育中心观看佳琪比赛，如图是佳琪家、小宇家、裕同体育中心的大致位置，则下列说法正确的是（    ） A．佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，距离300米处 B．裕同体育中心在小宇家北偏东方向，距离400米处 C．小宇家在裕同体育中心南偏西方向，距离400米处 D．裕同体育中心在佳琪家南偏东方向，距离400米处 【答案】A 【分析】本题主要考查了用方向角和距离确定位置，根据所给的方向角和距离可得佳琪加与裕同体育中心相距300米，且佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，小宇家与裕同体育中心相距400米，小宇家在裕同体育中心南偏西方向，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，距离300米处，原说法正确，符合题意； B、裕同体育中心在小宇家北偏东方向，距离400米处，原说法错误，不符合题意； C、小宇家在裕同体育中心南偏西方向，距离400米处，原说法错误，不符合题意； D、裕同体育中心在佳琪家南偏东方向，距离300米处，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 题型九 根据方位描述确定物体的位置 【例9】（2024秋•江北区期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（　　） A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角 C．在海曙以北 D．东经120.5°，北纬29.8° 【答案】D． 【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：能够准确表示渠县地理位置的是东经120.5°，北纬29.8°． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键． 【变式9-1】（2024秋•靖西市期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），则位于原点位置的是（　　） A．兵 B．炮 C．相 D．車 【答案】B． 【分析】根据题意可以画出平面直角坐标系，从而可以写成炮所在点的坐标． 【详解】解：由题可得，如下图所示， 故炮所在的点的坐标为（0，0）， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标确定位置，解题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 【变式9-2】如图是某地火车站及周围的简单平面图．图中每个小正方形的边长代表1千米，以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）请写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标； （2）体育场与市场之间的距离为 　 　； （3）若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置． 【答案】见详解. 【分析】（1）以火车站所在的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可表示出体育场A、超市B市场C、文化宫D的坐标． （2）根据A、C的横坐标以及每个小正方形的边长代表1千米求得即可； （3）根据点的坐标的意义描出点E． 【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣4）． （2）体育场与市场之间的距离为8千米； 故答案为：8千米； （3）如图，点E即为所求． 【】本题考查了坐标确定位置，主要是对平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法的考查． 题型十 已知点的象限求参数 【例10】（24-25八年级下·福建泉州·期末）若点在第四象限，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征．根据第四象限内点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可确定的取值范围． 【详解】解：点在第四象限， ， 故选：D． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到两条坐标轴的距离相等，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，涉及点到两坐标轴的距离相等列出方程、点坐标位置列不等式组、解方程和不等式组，根据点到两条坐标轴的距离相等，列出方程求解a的值，再根据在第二象限列不等式组，求得范围，即可解得a． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 即或， 解得或， ∵点在第二象限， ∴，解得， 则 故答案为：2． 【变式10-2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，已知点，是任意实数． （1）当时，点在第 象限； （2）当点在第一象限时，则的取值范围为 ． 【答案】 二 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的特点以及一元一次不等式组的应用等知识． （1）将代入求解即可； （2）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）当时，，即 ∴点在第二象限； 故答案为：二； （2）当点在第一象限时， 解得． 故答案为：． 题型十一 坐标系中描出点的位置 【例11】 （2024春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B． 【分析】根据点的坐标的定义判断即可．我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 【详解】解：由题意可知，M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、Q（﹣3，0）正确，点P的坐标应该为（4，0）， 所以描错的点的个数是1个． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标定义是解答本题的关键． 【变式11-1】如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置． （1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？ （2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 【答案】见详解. 【分析】根据题意，找到坐标原点，单位长度，建立平面直角坐标系，结合坐标系直接得到答案． 【详解】解：如图，以点A为原点，小正方形的边长1为单位长度，建立平面直角坐标系： ． （1）如图所示：C（2，5），D（1，3），E（4，3）； （2）字母F，G，H的位置如图所示． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． 【变式11-2】（2024春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 【解答】见详解. 【分析】（1）根据点的坐标的定义解答即可； （2）根据x轴上的点的坐标特点解答即可； （3）根据题意可得点F位于第三象限，在根据点的意义解答即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示； （3）如图所示． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握在平面直角坐标系找出点的位置，准确确定各点的位置是解题的关键． 题型十二 求平移后点的坐标 【例12】（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，掌握点的坐标的平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”是解题的关键． 由点平移后对应点知，线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段，据此即可解答． 【详解】解：∵点平移后对应点， ∴线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段， ∵， ∴，即． 故选:A． 【变式12-1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点A先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据点的平移规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，依次计算即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点A先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点B，则点B的坐标为，即， 故选：B． 【变式12-2】（2024春•阳东区期中）已知点A（3﹣2a，6﹣a）在第二象限，且点A到两坐标轴的距离相等，将点A向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到的点B的坐标为 　 　． 【答案】（2，﹣3）． 【分析】根据点A的位置可求出点A的坐标，再根据平移坐标的变化规律进行计算即可． 【详解】解：∵点A（3﹣2a，6﹣a）在第二象限，且点A到两坐标轴的距离相等， ∴2a﹣3＝6﹣a， 解得a＝3， ∴点A（﹣3，3）， ∴将点A向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到的点B的坐标为（﹣3+5，3﹣6），即（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）． 【点睛】本题考查平移，理解平移坐标的变化规律是正确解答的前提． 题型十三 由平移前后点的坐标确定平移的方式 【例13】（24-25八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】A 【分析】本题主要考查平移变换，由点经平移后对应点为可得点平移的方向． 【详解】解：点经平移后对应点为，则点平移的方向和距离为向左平移1个单位， 故选：A． 【变式13-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减，即可得解，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度， 故选：C． 【变式13-2】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或，进而确定平移方式，即可求解． 【详解】解：如图所示， 将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或， 由图可得， ∵点A的坐标是，， ∴线段先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， 由图可得， 同理得：线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到， 故选：B． 题型十四 图形在坐标系中的平移 【例14】 （24-25七年级下·山东济南·期末）的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点的坐标的平移规律求解即可． 【详解】解：由的对应点知，向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 所以点的对应点点的坐标为，即， 故选：A． 【变式14-1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点平移后得到点， ∴向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 【变式14-2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格格点上，其中点C的坐标为． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________； (2)将先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到．画出平移后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标是，图见解析 【分析】本题主要考查坐标与图形，图形的平移，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的规律即可作图，根据图示即可写出坐标． 【详解】（1）解：由图可得，点A的坐标是，点B的坐标是， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所求，点的坐标是． 题型十五 巧用坐标求图形的面积 【例15】已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，3）、C（﹣4，﹣2），求△ABC的面积． 【答案】12.5． 【分析】利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：△ABC的面积＝6×55×51×61×4， ＝30﹣12.5﹣3﹣2， ＝30﹣17.5， ＝12.5． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网结构中三角形的面积的求解方法是解题的关键． 【变式15-1】如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）． （1）求点A1、B1、C1的坐标． （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）点A1的坐标为（﹣1，5），点B1的坐标为（﹣2，3），点C1的坐标为（﹣4，4）． （2）． 【分析】（1）由△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x﹣5，y+2）可得△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，由此得到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标． （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【详解】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x﹣5，y+2）， ∴△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，再向上平移2个单位， ∵A（4，3），B（3，1），C（1，2）， ∴点A1的坐标为（﹣1，5），点B1的坐标为（﹣2，3），点C1的坐标为（﹣4，4）． （2）如图所示， △A1B1C1的面积＝3×21×31×21×2． 【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 【变式15-2】在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）； （2）14． 【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标． （2）利用割补法求解可得． 【详解】解：（1）由图可知点A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）； （2）四边形ABCD的面积＝4×62×31×42×31×4＝14． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握横纵坐标对应数字及割补法求四边形的面积是解题关键． 题型十六 由图形的面积求点的坐标 【例16】（2024秋•郁南县期中）在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），C（0，6）． （1）求：S△ABC； （2）点P是位于x轴上的点，且，求出P点坐标． 【答案】（1）18． （2）（﹣1，0）或（﹣7，0）． 【分析】（1）分别表示出AB和OC长度，再用三角形面积公式解答； （2）先求出三角形APC的面积和AP的长，再分两种情况解答． 【详解】解：（1）2﹣（﹣4）＝6， S△ABC＝6×6÷2＝18． （2）18＝9， 9×2÷6＝3， P点在A点的右边时，﹣4+3＝﹣1，坐标：（﹣1，0）； P点在A点的左边时，﹣4﹣3＝﹣7，坐标：（﹣7，0）， ∴P点坐标：（﹣1，0）或（﹣7，0）． 【点睛】本题考查了三角形在坐标系中的应用，关键取三角形各边长度为正数． 【变式16-1】（2024秋•汝州市期中）如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣4）和（﹣2，2）． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　 　，点C关于x轴的对称点C′的坐标为 　 　； （3）顺次连接A，B，C，得到△ABC，点D在y轴上且满足S△ABC＝S△DBC，请直接写出点D的坐标为 　 　． 【答案】（1）见详解；（2）（3，2）；（3，﹣2）；（3）（0，8）或（0，﹣4）． 【分析】（1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可； （2）根据建立的平面直角坐标系以及轴对称的性质即可得到结论； （3）设点D的坐标为（0，m），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解（1）如图所示建立平面直角坐标系； （2）点C的坐标为（3，2）；点C关于x轴的对称点C′的坐标为（3，﹣2）； 故答案为：（3，2）；（3，﹣2）； （3）设点D（0，m），由三角形面积可列方程为： ， ∴|2﹣m|＝6， 解得：m＝8或m＝﹣4， ∴点D的坐标为（0，8）或（0，﹣4）． 故答案为：（0，8）或（0，﹣4）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2） （1）求S四边形ABCO； （2）求S△ABC； （3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝10？若存在，请求点P坐标． 【分析】（1）过点B作BD作BD⊥OA与点D，把四边形分割为直角梯形和直角三角形，即可解答； （2）△ABC的面积＝四边形ABCO的面积﹣△AOC的面积； （3）存在，设点P（x，0），则PA＝|x﹣4|，根据S△PAB＝10，所以，即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点B作BD⊥OA与点D， ∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2） ∴OC＝2，OD＝3，BD＝4，AD＝4﹣3＝1， ∴S四边形ABCO＝S梯形CODB+S△ABD9+2＝11． （2）如图2，连接AC， S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC＝1111﹣4＝7． （3）存在，设点P（x，0）， 则PA＝|x﹣4|， ∵S△PAB＝10， ∴， ∴|x﹣4|＝5， 解得：x＝9或x＝﹣1， ∴点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是通过作辅助线，把四边形分割为直角梯形和直角三角形． 题型十七 点的坐标规律探究 【例17】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“”方向排列，即．根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据规律得出从第二个点开始，每3个点为一组求解是解题的关键，也是本题的难点． 从第二个点开始，每3个点为一组，第奇数组第一个点在y轴，第三个点在x轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，第偶数组，第一个点在x轴，第三个点在y轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，用，根据商的情况确定点的位置和坐标即可． 【详解】解：∵， ∴第2025个点是第675组的第二个点， ∴坐标为． 故选A． 【变式17-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的探究．根据下标确定出下标为偶数时的点的坐标，得到规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第2026个点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标变化发现： 下标为偶数时，点的坐标规律： 当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数， 当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半， 因为， 所以横坐标为1，纵坐标， 故选：B． 【变式17-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，平面直角坐标系中，向上运动个单位至处，然后向左运动个单位到处，再向下运动个单位到处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【详解】解： ∵，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，， ∴． 故选：A． 题型十八 平面直角坐标系中新定义问题 【例18】（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知，都是实数，设点，若满足，则称点为“友好点”．若点是“友好点”，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“友好点”的定义是解题关键．根据新定义得出，解方程求得，进而求得的坐标． 【详解】解：∵点是“友好点”， ∴， 解得：， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式18-1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”，已知点在第二象限，若点为“超整点”，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征、整点与超整点的定义，熟练掌握各定义及象限内点坐标的符号规律是解题的关键．第二象限内点的坐标特征是横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出关于a的不等式组，求解得出a的取值范围，再根据整点与超整点的定义答案即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：； ∵点为“整点”， ∴为整数， 又∵， ∴， 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 则 “整点”的坐标为，，，一共3个， ∵为整数， ∴， ∴点是“超整点”， 故答案为： 【变式18-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是 ； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的新定义求出点的“级关联点”C的坐标，再根据点C到x轴、y轴的距离相等，列出关于b的方程，解方程求出b，从而求出点C的坐标即可． 【详解】解：点， 点的“2级关联点”的坐标是，即点的“2级关联点”的坐标是， 故答案为：； 点的“级关联点”C的坐标为，即， 点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等， ， ， 解得：或， 当时， ， 当时， 点C坐标为或． 故答案为：或． 题型十九 平面直角坐标系中的动点问题 【例19】如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 【答案】（1）E（﹣1，0）． （2）见详解. 【分析】（1）由平移的性质可知BC＝AE＝2，由此即可解决问题． （2）结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB．过点P作PN∥CB，利用平行线的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）∵BC∥AE，BC＝AE，C（﹣2，3）， ∴AE＝BC＝2， ∵A（1，0）， ∴OA＝1，OE＝1 ∴E（﹣1，0）． （2）解：结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB． 理由：过点P作PN∥CB． ∴∠CBP＝∠BPN， 又∵BC∥AE， ∴PN∥AE， ∴∠PAD＝∠APN， ∴∠CBP+∠PAD＝∠BPN+∠APN＝∠APB． 【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式19-1】（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的定义等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由非负性可求，的值，即可求点坐标和点坐标； （2）设，由面积关系可求的值，即可求点坐标； （3）由角平分线的定义和平行线的性质可得， ， 由余角的性质可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ ∴点 ∵轴， 故答案为： （2）若点在轴上时，设 ∵ ∴= 解得，或 ∴或 若点在轴上时不成立 （3）    ∵平分    ∴ ∵轴    ∴，即 ∵    ∴    ∴    ∴ 【变式19-2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移个单位，再向上平移个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为___________． (3)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后？并写出点，的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)秒后，此时点M，N的坐标分别为 【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标即可； （2）由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据三角形面积公式求解即可； （3）设运动时间为秒，进而表示出点、的坐标，由可知，当时，，此时两点横坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段， 因为，点、的坐标为和， 所以，点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：；； （2）解：因为点、的坐标为、， ，， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， 所以，即的最小值为， 故答案为：； （3）解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， 因为点A、的坐标分别为、， 所以点、的坐标分别为、， ∵， ∴当时，，此时两点横坐标相同， ， 解得：， 即秒后，此时点，的坐标分别为、． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，垂线段最短，平行线的判定和性质，平移的性质，一元一次方程的应用，动点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，能准确描述图书馆P相对于校门O的位置的是（   ） A．南偏东，800米处 B．距离800米处 C．北偏东，800米处 D．南偏东方向 【答案】A 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，采用数形结合的思想是此题的关键，结合图形即可得解． 【详解】解：由图知，能准确表示学校图书馆相对于校门的位置的是南偏东且距离校门， 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点A，B，C均在格点上．若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，先根据点，建立直角坐标系如图，再得出点B的坐标为，即可作答． 【详解】解：根据点，建立直角坐标系如图： 则点B的坐标为 故选：A． 3．（24-25七年级下·天津西青·期末）已知点在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离，根据第三象限点的坐标符号特征及点到坐标轴的距离与坐标的关系求解． 【详解】∵点在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6， ∴点P的坐标为， 故选：A． 4．（24-25七年级下·广西钦州·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，弄清题意，准确确定坐标是解题的关键． 根据以点A为原点重新建立直角坐标系，点B的横坐标与纵坐标分别为点A的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以B为原点建立平面直角坐标系，A点的坐标为， ∴若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点左2个单位，上1个单位处， ∴B点坐标为． 故选：A． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义的含义，点到坐标轴的距离，根据“完美点”的定义，点C到x轴和y轴的距离相等，即横纵坐标绝对值相等．由此建立方程，分情况求解即可． 【详解】解：∵为“完美点”， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：D 6．（24-25七年级下·新疆和田·期末）已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，根据第一象限点的横纵坐标为正数，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，进而在数轴上表示出来即可求解，掌握平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 7．（24-25七年级下·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出四边形是长方形及求出四边形的周长是解题的关键．根据题意可求出四边形的周长，再根据移动2025个单位，即可得出移动后的动点坐标． 【详解】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 8．（2024春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为 　 　． 【答案】（4，240°）． 【分析】直接利用坐标的意义得出C点坐标即可． 【详解】解：如图所示：船C的位置应表示为（4，240°）． 故答案为：（4，240°）． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若第四象限内的点满足，，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，平方根，象限中的点坐标．解题的关键在于明确的取值范围． 由在第四象限可知，，计算，求出符合要求的解即可． 【详解】解：∵在第四象限 ∴， ∵ ∴或（舍去） ∵ ∴（舍去）或 ∴点坐标为 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·期中）若与互为相反数，则点A在第 象限． 【答案】一 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性、相反数的性质，以及坐标系中点的象限判断．熟知四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题的关键． 先根据算术平方根的非负性求出x、y的值，进而可得出结论． 【详解】解： 与互为相反数， ． ，． 解得，． ． ∴点A的坐标为．则点A在第一象限． 故答案为：一． 11．（24-25七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若直线与轴平行，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等得到，再由，得到，据此求出a的值，进而求出b的值即可． 【详解】解：∵点，直线与轴平行， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内点的坐标特征与解一元一次不等式组，根据定在第四象限得出关于的不等式组，再求出不等式组的解集即可．解题的关键是掌握象限内点的坐标特征：第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， 即的取值范围是：． 故答案为：． 能力提升进阶练 13．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在y轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标以及点到坐标轴的距离． （1）点P在y轴上，则点P的横坐标为0，由此可求得a的值，进而得点P的坐标； （2）根据题意得到关于a的方程，求解a即可． 【详解】（1）解：由点在y轴上，可知， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 14．（24-25七年级下·全国·期中）如图，每个小正方形网格的边长表示 ． A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走 就到达学校． (1)以学校为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，规定一个单位长度代表长，在图中建立平面直角坐标系； (2)在（1）中建立的平面直角坐标系中，B同学家的坐标是 ； (3)在你所建立的平面直角坐标系中，如果C 同学家的坐标为 ，请你在图中描出表示C同学家的点． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据A同学上学时从家出发，先向东走，再向北走，确定原点的位置，再画出直角坐标系即可； （2）根据建立的平面直角坐标系，写出B的坐标即可； （3）根据坐标的意义，结合C 同学家的坐标为 描点即可，注意一个小正方形网格的边长表示50 m． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：根据建立的平面直角坐标系可知B同学家的坐标是， 故答案为：； （3）解：表示C同学家的点如图所示： 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是一个简单的平面示意图，已知，，，是中点． (1)由图可知，商场在嘉琪家北偏东方向处．请写出学校和影院相对于嘉琪家的位置； (2)图中距离嘉琪家距离相同的地方有哪些？ (3)小慧家在嘉琪家东南方向处，请在图中标出小慧家的位置． 【答案】(1)学校在嘉琪家西北方向处；影院在嘉琪家南偏西方向处 (2)学校，公园 (3)见解析 【分析】（1）确定方向角和距离即可描述学校和影院相对于嘉琪家的位置； （2）根据，是中点，得，结合，解答即可． （3）根据小慧家在嘉琪家东南方向，只需延长，再在上面截取即可确定小慧家的位置． 本题考查了方向角和距离确定位置，线段的中点，熟练掌握方向角确定位置是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得学校在嘉琪家西北方向处；影院在嘉琪家南偏西方向处． （2）解：根据，是中点，得， 由，故， 故距离嘉琪家距离相同的地方有学校，公园． （3）解：根据小慧家在嘉琪家东南方向，只需延长，再在上面截取即可确定小慧家的位置，画图如下： 16．（24-25七年级下·云南昆明·期末）已知三点的坐标分别是． (1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点，再用线段依次连接这三点得到三角形； (2)将三角形平移，得到三角形，使点的坐标为，画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了描点和平移作图，根据点的坐标确定平移方式是解题关键． （1）在直角坐标系中描点并依次连接即可； （2）根据题意确定平移方式为先向左平移2个单位长度，向下平移5个单位长度，然后画出平移后的三角形即可． 【详解】（1）解：三角形如图所示： （2）解：∵点的坐标是，点的坐标为， ∴平移方式为先向左平移2个单位长度，向下平移5个单位长度， 如上图所示，三角形即为所求，． 17．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)在图中画出， 并写出顶点的坐标__________ (2)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为 ，则P点的坐标为__________ 【答案】(1)见解析， (2)或 【分析】本题考查了作图—平移变换，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可得解，再结合图形写出坐标即可； （2）设，根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所作， 由图可得，； （2）解：设， ∵以、、P为顶点的三角形面积为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 18． （24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动. (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点B的坐标是； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点移动4秒时，点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况： 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 19．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)4 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【详解】（1）解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 20．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，已知点，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，判断在轴上是否存在一点P，使得的面积是的面积的一半？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标； （2）作 ，由知，从而得出、，再由角平分线得出 ， ，根据 可得答案； （3）当点在轴上时，设，根据三角形面积公式得，同理可得到关于的方程，可求得的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：如图，过点作 ，交轴于点， ， 又 ， ， ， ，， ， 又，分别平分，，， ，， ，， ； （3）存在． 当点在轴上时，设， 则，解得或， 此时点坐标为或， 综上可知在轴上存在满足条件的点，其坐标为或． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的运用，在（2）利用平行线的性质及角平分线的性质等得到、是解题的关键，在（3）中由三角形的面积得到关于点的坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 平面直角坐标系（复习讲义） 1.认识平面直角坐标系，了解平面直角坐标系中点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的位置. 2.会在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，会根据点的位置写出点的坐标. 3. 通过具体事例，掌握建立适当的平面直角坐标系以及用方向和距离描述地理位置的方法. 4. 掌握坐标变化与图形平移的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移，会根据图形上点的坐标的变化来判定图形的移动过程. ●一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系的概念：：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 2、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 3、平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征： ①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等； ②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等； （4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 4、点的坐标的几何意义： 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． ●二、平面直角坐标系的应用 1、用坐标表示地理位置： （1）确定物体的位置的方法有很多，其中可以用有序数对来表示物体的位置，还可以用平面直角坐标系中的点的坐标来确定物体的位置.解决问题时要根据实际情况来选择表示方法，确定物体的位置时数据不能少于两个. （2）利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. （3）在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 2、用坐标表示点的平移： （1）平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） （3）作图-平移变换 ①确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． ②作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 题型一 象限内点的坐标 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024春•临湘市期末）若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 题型二 判断点所在的象限 【例2】（24-25八年级下·广西来宾·期末）如果点在第三象限，那么点在（     ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【变式2-1】（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知，则在第 象限． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若点在第二象限，则点在第 象限． 题型三 坐标轴上的坐标 【例3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东汕头·期末）点在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点的纵坐标为； (2)点的纵坐标比横坐标大3． 题型四 平行于坐标轴的直线上的点的坐标 【例4】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式4-2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知点 (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q满足轴，点Q的横坐标是3，且，求点Q的坐标． 题型五 角平分线上的点的坐标 【例5】（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 【变式5-1】（2024秋•东平县期末）已知点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上，则a＝　 ． 【变式5-2】（2024秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 题型六 点的坐标与点到坐标轴的距离 【例6】（24-25七年级下·四川德阳·期末）点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（    ） A． B．， C．， D． 【变式6-1】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，P为第二象限内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，则点P的坐标为 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求点M的坐标； (2)若点M在第四象限，且点M到x轴的距离是1，求点M的坐标． 题型七 实际问题中的坐标表示 【例7】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）2025年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．” (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标； (3)写出超市到少年宫的距离； (4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置． 题型八 用方向角和距离表示物体位置 【例8】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（   ） A．向南偏西行走600米 B．向南偏东行走400米 C．向北偏东行走600米 D．向北偏西行走400米 【变式8-1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（   ） A．学校在小明家南偏东的方向上，距学校； B．学校在小明家北偏东的方向上，距学校； C．小明家在学校南偏西的方向上，距学校； D．小明家在学校北偏东的方向上，距学校． 【变式8-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）佳琪参加市运会，小宇想去裕同体育中心观看佳琪比赛，如图是佳琪家、小宇家、裕同体育中心的大致位置，则下列说法正确的是（    ） A．佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，距离300米处 B．裕同体育中心在小宇家北偏东方向，距离400米处 C．小宇家在裕同体育中心南偏西方向，距离400米处 D．裕同体育中心在佳琪家南偏东方向，距离400米处 题型九 根据方位描述确定物体的位置 【例9】（2024秋•江北区期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（　　） A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角 C．在海曙以北 D．东经120.5°，北纬29.8° 【变式9-1】（2024秋•靖西市期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），则位于原点位置的是（　　） A．兵 B．炮 C．相 D．車 【变式9-2】如图是某地火车站及周围的简单平面图．图中每个小正方形的边长代表1千米，以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）请写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标； （2）体育场与市场之间的距离为 　 　； （3）若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置． 题型十 已知点的象限求参数 【例10】（24-25八年级下·福建泉州·期末）若点在第四象限，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到两条坐标轴的距离相等，则 ． 【变式10-2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，已知点，是任意实数． （1）当时，点在第 象限； （2）当点在第一象限时，则的取值范围为 ． 题型十一 坐标系中描出点的位置 【例11】 （2024春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式11-1】如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置． （1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？ （2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 【变式11-2】（2024春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 题型十二 求平移后点的坐标 【例12】（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点A先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024春•阳东区期中）已知点A（3﹣2a，6﹣a）在第二象限，且点A到两坐标轴的距离相等，将点A向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到的点B的坐标为 　 　． 题型十三 由平移前后点的坐标确定平移的方式 【例13】（24-25八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【变式13-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【变式13-2】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A． ①② B．①③ C．③ D．② 题型十四 图形在坐标系中的平移 【例14】 （24-25七年级下·山东济南·期末）的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格格点上，其中点C的坐标为． (1)点A的坐标是________，点B的坐标是________； (2)将先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到．画出平移后的，并写出点的坐标． 题型十五 巧用坐标求图形的面积 【例15】已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，3）、C（﹣4，﹣2），求△ABC的面积． 【变式15-1】如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）． （1）求点A1、B1、C1的坐标． （2）求△A1B1C1的面积． 【变式15-2】在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）求四边形ABCD的面积． 题型十六 由图形的面积求点的坐标 【例16】（2024秋•郁南县期中）在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），C（0，6）． （1）求：S△ABC； （2）点P是位于x轴上的点，且，求出P点坐标． 【变式16-1】（2024秋•汝州市期中）如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣4）和（﹣2，2）． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　 　，点C关于x轴的对称点C′的坐标为 　 　； （3）顺次连接A，B，C，得到△ABC，点D在y轴上且满足S△ABC＝S△DBC，请直接写出点D的坐标为 　 　． 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2） （1）求S四边形ABCO； （2）求S△ABC； （3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝10？若存在，请求点P坐标． 题型十七 点的坐标规律探究 【例17】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“”方向排列，即．根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，平面直角坐标系中，向上运动个单位至处，然后向左运动个单位到处，再向下运动个单位到处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 题型十八 平面直角坐标系中新定义问题 【例18】（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知，都是实数，设点，若满足，则称点为“友好点”．若点是“友好点”，则的坐标为 ． 【变式18-1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”，已知点在第二象限，若点为“超整点”，则点的坐标是 ． 【变式18-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是 ； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 ． 题型十九 平面直角坐标系中的动点问题 【例19】如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 【变式19-1】（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 【变式19-2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移个单位，再向上平移个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为___________． (3)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后？并写出点，的坐标． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，能准确描述图书馆P相对于校门O的位置的是（   ） A．南偏东，800米处 B．距离800米处 C．北偏东，800米处 D．南偏东方向 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点A，B，C均在格点上．若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津西青·期末）已知点在第三象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是6，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广西钦州·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 6．（24-25七年级下·新疆和田·期末）已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2024春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为 　 　． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若第四象限内的点满足，，则点P的坐标是 ． 10．（24-25七年级下·全国·期中）若与互为相反数，则点A在第 象限． 11．（24-25七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若直线与轴平行，且，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是 ． 能力提升进阶练 13．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在y轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，求点P的坐标． 14．（24-25七年级下·全国·期中）如图，每个小正方形网格的边长表示 ． A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走 就到达学校． (1)以学校为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，规定一个单位长度代表长，在图中建立平面直角坐标系； (2)在（1）中建立的平面直角坐标系中，B同学家的坐标是 ； (3)在你所建立的平面直角坐标系中，如果C 同学家的坐标为 ，请你在图中描出表示C同学家的点． 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，是一个简单的平面示意图，已知，，，是中点． (1)由图可知，商场在嘉琪家北偏东方向处．请写出学校和影院相对于嘉琪家的位置； (2)图中距离嘉琪家距离相同的地方有哪些？ (3)小慧家在嘉琪家东南方向处，请在图中标出小慧家的位置． 16．（24-25七年级下·云南昆明·期末）已知三点的坐标分别是． (1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点，再用线段依次连接这三点得到三角形； (2)将三角形平移，得到三角形，使点的坐标为，画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 17．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)在图中画出， 并写出顶点的坐标__________ (2)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为 ，则P点的坐标为__________. 18． （24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动. (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 19．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 20．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，已知点，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，判断在轴上是否存在一点P，使得的面积是的面积的一半？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$