精品解析：四川省达州市宣汉县2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题

2025年春季义务教育教学质量检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义：分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．据此判断即可． 【详解】解：，，分母中都不含有字母，都不是分式， 分母中含有字母，是分式， 观察四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 2. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 在中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形邻角互补即可求解． 【详解】解：在中，与为邻角，因此， 已知，代入得， 故选：B． 4. 研究表明，运动时将心率控制在最佳燃脂心率（次）范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．已知最佳燃脂心率最高值为，最低值为，则20岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算及列不等式，解题的关键是理解题意，列出算式． 根据题目给出的公式，将年龄代入计算最高值和最低值，即可确定正确的不等式范围． 【详解】解：最高值为 ； 最低值为 ； 因此，20岁的人最佳燃脂心率范围为 ， 故选：C． 5. 将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（ ） A. 是的一条角平分线 B. 是的一条高线 C. 是的一条中线 D. 垂直平分边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠前后图形全等，对应点被折痕垂直平分，理解折叠的性质是解本题的关键．根据折叠的性质回答即可． 【详解】解：点的对应点是点 根据折叠的性质，折痕垂直平分对， 又点和点重合， 垂直平分， 故选：． 6. 小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 宣汉美 B. 爱宣汉 C. 我爱宣汉 D. 美丽宣汉 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．先运用提公因式法，再运用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：∵ ， ∴结果呈现的密码信息可能是：美丽宣汉． 故选：D． 7. 某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”打造美好家园．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变……设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为．根据方程在题干中省略的部分是（ ） A. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成了这一任务 B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误8天完成了这一任务 C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误8天完成了这一任务 D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前8天完成了这一任务 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出每一项所代表的意义是解题的关键．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间，结合所列方程，即可得出省略部分的内容． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间， ∵所列方程为， ∴提高工作效率后比原计划提前8天完成这一任务， ∴省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成了这一任务． 故选：A． 8. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，观察数轴判断的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各个选项的不等式进行判断即可． 【详解】解：A．因为，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．因为，所以，所以此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 9. 如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质解答即可． 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， ∴四边形、四边形均为平行四边形， 由条件可知， 又∵，， ∴，， ∴． 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③，为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据两直线交点求不等式的解集． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，， 即不等式的解集为， 故答案为：． 12. 如图，五边形是正五边形，连接、，则的度数是______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．先求出多边形的内角度数，再根据等边对等角的性质，得出，同理可得，，即可求出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， 内角度数为，， ， 同理可得，， ， 故答案为：． 13. 如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，根据将沿射线方向平移，得到，得， ， 根据勾股定理求出，再运用梯形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将沿射线方向平移，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 阴影部分的面积为 故答案为：． 14. 如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，连接，取中点K，连接，由三角形中位线定理推出，，，，得到，求出，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点K，连接， ∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______． 【答案】12 【解析】 【分析】先求出，再不妨设，则，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，，则，可得，则；当时，，则，则，可得． 【详解】解： ， 、、是大于1的正整数， ∴不妨设， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，则，不符合题意， ∴或， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，分式的乘法计算，根据题意推出，且或是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解分式方程：； （2）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解分式方程、公式法因式分解、已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握相关运算． （1）先将方程变形为，再去分母、去括号、移项、合并同类项后即可求解，注意需检验； （2）根据公式法进行因式分解，再将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：方程变形为， 两边同乘得：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 解得：， 检验：当时，， 故是原方程的解； （2）解：原式， 当，时， 原式． 17. 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查求不等式组的解集，把解集表示在数轴，根据不等式的性质分别求解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，并表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式组， 解第一个不等式：， ， ， ， 解第二个不等式：， ， ， ， ∴不等式组的解集为， 数轴表示： 18. 先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据不等式的范围，结合分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解：  ， ∵且，，且为整数， ∴， ∴原式． 19. 如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）运用“”定理直接证明，即可得解； （2）求出，证出，即可得解． 【小问1详解】 证明：， 与为直角三角形， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ． 20. 如图，在四边形中，，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，平分，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，进而可证四边形是平行四边形． （2）由，可得，由平分，可得，则，由勾股定理，得，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 平分， ， ∴，则 在中，由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，点的对应点分别为，请画出； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）先由点的对应点的坐标为，得出平移规律，再根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示． 【小问3详解】 解：如图所示． 22. 如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，且，求的面积. 【答案】（1） （2）见解析 （3）的面积为15 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； 【小问3详解】 解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 23. 某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同． （1）求每千克牛肉干的进货价． （2）牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共． ①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？ ②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）每千克牛肉干进货价为元； （2）①最少购进牛肉干；②购进牛肉干，干香菇． 【解析】 【分析】（1）设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，由题意列出方程求解即可，注意检验； （2）①设购进牛肉干，则干香菇，列出一元一次不等式求解即可； ②利润，由超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的得，则当时，利润最大． 【小问1详解】 解：设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的解． 答：每千克牛肉干进货价为元． 【小问2详解】 解：①设购进牛肉干，则干香菇， 则， ， 解得， 答：最少购进牛肉干 ②利润， 由得， ， ∴, 则W随y的增大而增大， 当时，最大，即购进牛肉干，干香菇． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是正确理解题意． 24. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） （3），最小值为16 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ，， ． 【小问3详解】 解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 25. 是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． （1）如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请求出的长． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）证明，进一步可得答案； （2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出和，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形，点是的中点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：结论成立，证明如下： 连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问3详解】 解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图， ， ∴ ， ， ， 由（2）知：， 和是等边三角形， ∴ 当点在上时，作于，如图， 同上知：和是等边三角形， ∴, ， ， ， ∵ ∴ ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季义务教育教学质量检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 研究表明，运动时将心率控制在最佳燃脂心率（次）范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．已知最佳燃脂心率最高值为，最低值为，则20岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 5. 将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（ ） A. 是的一条角平分线 B. 是的一条高线 C. 是的一条中线 D. 垂直平分边 6. 小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 宣汉美 B. 爱宣汉 C. 我爱宣汉 D. 美丽宣汉 7. 某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”打造美好家园．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变……设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为．根据方程在题干中省略的部分是（ ） A. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成了这一任务 B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误8天完成了这一任务 C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误8天完成了这一任务 D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前8天完成了这一任务 8. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为_____． 12. 如图，五边形是正五边形，连接、，则的度数是______． 13. 如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为_____． 14. 如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则________． 15. 已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解分式方程：； （2）先因式分解，再求值：，其中，． 17. 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 18. 先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值． 19. 如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，在四边形中，，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，平分，求四边形的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，点的对应点分别为，请画出； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）画出关于原点成中心对称的． 22. 如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，且，求的面积. 23. 某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同． （1）求每千克牛肉干的进货价． （2）牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共． ①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？ ②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？ 24. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 25. 是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． （1）如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当，时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $