精品解析：广东省深圳市龙岗区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

广东省深圳市龙岗区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示，则n为（　　） A. B. 9 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴n等于． 故选：C． 3. 如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答． 【详解】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、单项式乘法及幂的乘方,逐一验证各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：（合并同类项，系数相加，指数不变），但选项结果为，错误； 选项B：（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），但选项结果为，错误； 选项C：（系数相乘为，字母部分），结果正确； 选项D：（幂的乘方，底数不变，指数相乘），但选项结果为，错误； 故选：C 5. 将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，与互余的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查余角和补角，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此即可判断． 【详解】解：若两个角的和为，则这两个角互余． A、图中（平角定义 ），所以，满足互余，A正确； B、图中与是三角板中对应相等的角（如与 ），和不为，不互余，B错误； C、图中（对顶角或三角板角度对应 ），和不为，不互余，C错误； D、图中，，不互余，D错误； 故答案为：A． 6. 数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如下表： 拋掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 062 0.62 0.62 0.62 下列说法正确的是（　　） A. 根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性 B. 若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上” C. 若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8 D. 若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率即可得出答案． 【详解】解：A、根据实验结果，“盖口向上”的概率约为0.62，“盖口向下”的概率约为0.38，不具有等可能性，此选项错误，不符合题意； B、若再抛掷瓶盖100次，则大约有62次“盖口向上”，此选项错误，不符合题意； C、若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的频率为0.8，次数较少，不能用来估计概率的大小，此选项错误，不符合题意； D、若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”次数大约有（次），此选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，点E在的延长线上，下列条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，A错误； B、，依据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，B错误 ； C、，因为与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定，C正确； D、，即，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定，不是，D错误． 故答案为：C． 8. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A. 在实验开始时，漏刻水位是 B. 第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C. 第7次数据记录时，漏刻水位应为 D. 当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边成为解题的关键． 先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，然后确定第三边可能取值即可． 【详解】解：已知三角形两条边为和，设第三边为， 则：，即 ， 因为边长为整数， 所以可以取、、、、中任意一个，比如取． 故答案为：4（不唯一）． 10. 如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质直接求出结论即可． 【详解】解：已知平分，点到的距离为， 根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离， 所以点到的距离是． 故答案为：12． 11. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了邻补角、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 先根据三角形外角的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵是中的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为_______m． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键． 过点A作于M，过点C作于N，证明即可求解． 【详解】解：如图， 过点A作于M，过点C作于N， 由题意得，， 则， ∴，， 同理可得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 13. 如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、完全平方公式等知识点，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，依题意得，，进而得，由此得，再求出，继而得，然后将，代入计算即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵正方形和正方形的面积和为， ∴， ∵、A、三点共线且， ∴，即， ∵，，， ∴，解得：． ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算，实数的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘、除法，积的乘方，再计算加减即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式的应用以及多项式除以单项式等知识．解题的关键是正确运用公式和运算法则对式子进行化简． 运用相关公式展开多项式乘积项，计算多项式除以单项式；去括号并合并同类项化简式子；代入 x 的值计算结果． 【详解】 ， 当时，． 16. 某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 小问1详解】 解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 17. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】（1）时间；离家距离 （2）； （3）点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” （4）分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【小问1详解】 解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． 【小问2详解】 解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． 【小问4详解】 解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 18. 【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，① 所以（②），（填全等判定依据，如） （1）完成上述小明思考过程中的填空； （2）【操作应用】 如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使； （3）如图3，在四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】（1）①，②；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）结合全等三角形的判定定理填空即可； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可； （3）结合全等三角形的判定，作的平分线，交于点E，则点E即为所求． 【详解】解：（1）如图1，由尺规作图可知，， 所以． 故答案为：，． （2）如图2，先任意作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接，则即为所求． （3）如图3，作的平分线，交于点E，则． ∵， ∴，则点E即为所求． 19. （1）【特例感知】 已知：，，，·…… 猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25． 证明：设此两位数的十位数字是m，…… 请完成上述剩余证明过程． （2）【类比迁移】 观察下列等式： ；；； ； ①请写第四个等式的结果； ②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律： 十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位． 例如 请写出一个满足此规律的一个等式： ；（不得抄写已给出的4个等式） ③设满足此规律的两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b．请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性． 【答案】（1）见解析；（2）①7221；②；③，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，探究规律，找出规律并写出等式是解题的关键． （1）用表示这样的两位数，再用完全平方公式证明即可； （2）①直接用乘法计算即可； ②找出规律，找规律写一个即可； ③用代数式表示规律，再证明即可． 【详解】由题意可知这个两位数为（为正整数）， ， ∵为正整数， ∴结果末尾的两个数字是， ∴猜想正确． （2）解：①：， 故答案为：； ②满足即可，如．·· ③由题意可知，两个两位数分别是， 结果可表示为， 即规律为， ·证明如下： ， ， ， 即②中规律是正确的． 20. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究． （1）【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； （2）【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数 （4）如图4，在中，，是边上高，，E是外一点且满足．记，求y与x的关系式． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（１）①求出，得；②根据，，得； （２）根据．，得，由，，得； （３）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得； （４）法一：， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得．法二：，过点B作交延长线于点N，证明，，得，可得，得，得，即得． 【小问1详解】 解：①∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ， 故答案为：． ②∵在中，；在中，， 且，， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：证明：∵， ∴． ∵ ∴ 在和中 【小问3详解】 设， 则，， ∴． ∴． 情况1： ∴， 解得． ∴，， ∴． 情况2： ∴，解得． ∴，， ∴． ∴的度数为或 ． 【小问4详解】 解：(法 1) ∵ ∴， 在 上截 ， ∵， ∴， ， ， 在和中， ∴， ∴ ． （法2）， 过点B作交延长线于点N， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了对顶三角形．熟练掌握对顶角性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，全等三角形判定，等腰三角形性质，折叠性质，直角三角形性质，三角形面积公式，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省深圳市龙岗区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示，则n为（　　） A. B. 9 C. D. 8 3. 如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，与互余的是（　　） A. B. C. D. 6. 数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如下表： 拋掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 064 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.62 0.62 0.62 0.62 下列说法正确的是（　　） A. 根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性 B. 若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上” C. 若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8 D. 若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次 7. 如图，点E在的延长线上，下列条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 8. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A. 在实验开始时，漏刻水位是 B. 第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C. 第7次数据记录时，漏刻水位应为 D. 当漏刻水位为时，对应实验的时间是 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可） 10. 如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是_______． 11. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为_______． 12. 如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为_______m． 13. 如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为_______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 17. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 18. 【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，① 所以（②），（填全等判定依据，如） （1）完成上述小明思考过程中的填空； （2）【操作应用】 如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使； （3）如图3，四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 19. （1）【特例感知】 已知：，，，·…… 猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25． 证明：设此两位数的十位数字是m，…… 请完成上述剩余证明过程． （2）【类比迁移】 观察下列等式： ；；； ； ①请写第四个等式的结果； ②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律： 十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位． 例如 请写出一个满足此规律的一个等式： ；（不得抄写已给出的4个等式） ③设满足此规律两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b．请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性． 20. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究． （1）【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； （2）【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数 （4）如图4，在中，，是边上的高，，E是外一点且满足．记，求y与x的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$