精品解析：辽宁省大连市长海县2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期检测试卷 八年级数学 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班40名学生捐书情况统计如表所示，则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（ ） 捐书本数 1 2 3 4 5 8 10 捐书人数 5 8 8 12 4 2 1 A. 3，4 B. 8，12 C. 8，4 D. 3，12 4. 一次函数，当，的最大值为（ ） A B. C. 1 D. 3 5. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 40 D. 48 6. 如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 10 7. 已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 如图，矩形中，点、分别是、的中点，若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 10 9. 两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 关于一次函数，给出下列说法正确是___________． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 已知五个数据：，，，，的平均数是，则的值为______． 13. 如图，平行四边形，以点为圆心，以长为半径画弧，交边于点，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交边于．已知，平行四边形的周长为，则的长为______． 14. 如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是________． 15. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2），求的值． 17. 函数是正比例函数． （1）求值； （2）当时，求的值． 18. 如图，矩形中，点为边上一点，连接，过点作，垂足为，．求证：． 19. 某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100） 七年级10名学生的成绩是：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，93． 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 方差 52 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中a，b，c的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由． （3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？ 20. 如图是一棵树从处折断后，折断部分树梢落在楼房的顶部处，楼房底部与树根的地面之间有一个水塘．图是树与楼房的平面示意图，楼的高度为米，从楼顶处测得与水平线与树的根部处的俯角，与折断处的仰角，求折断前树高约为多少米？（，结果保留米） 21. 一条公路旁依次有、、三个村庄，甲、乙两人开车分别从村、村同时出发前往村，到达村后停止前行．已知甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． （1）求甲乙两人开车的速度； （2）出发多长时间车距离为2千米？ 22. 在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． （1）同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； （2）同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； （3）同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 23. 已知一次函数叫做一次函数的“倍关联函数”，两函数图象的交点称作的“倍关联点”，与其“倍关联函数”的图象分别与轴交于点、两点． （1）已知是的“倍关联函数”，则________，________； （2）若一次函数的“倍关联点”为，求的解析式； （3）在（）的条件下， 以为边的正方形与的“关联函数”的图象交于点，求的面积？ “关联函数”的图象与轴交于点，在的“关联函数”的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期检测试卷 八年级数学 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理判断即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班40名学生捐书情况统计如表所示，则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（ ） 捐书本数 1 2 3 4 5 8 10 捐书人数 5 8 8 12 4 2 1 A. 3，4 B. 8，12 C. 8，4 D. 3，12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数，根据中位数和众数的定义，结合表格数据进行计算．中位数是数据中间位置的数，众数是出现次数最多的数． 【详解】解：捐书4本的人数最多的是12人，故众数为4， 总人数40，中位数为第20和21个数据的平均数，而这2个数均为3， 所以这组数据的中位数为， 故选：A． 4. 一次函数，当，的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 5. 如图，菱形中，，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及菱形面积的求法，勾股定理．根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：连接，交于点， 在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积． 故选：A． 6. 如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 7. 已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（ ） A 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 8. 如图，矩形中，点、分别是、的中点，若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：点分别是、的中点， 是的中位线， 故， 矩形中，， ， ， 故选：B． 9. 两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：当，时，经过一、三、四象限，经过一、二、四象限，故选项B符合题意； 当，时，经过一、二、四象限，经过一、三、四象限，没有选项符合题意； 故选：B． 10. 关于一次函数，给出下列说法正确是___________． ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到： ④该函数恒过定点． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：若点，在该函数图象上，且， ， y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， ，原说法错误，故②不符合题意； 正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意； 令，则该函数恒过定点，说法正确，故④符合题意； 故符合题意的有①③④， 故答案为：①③④． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．熟知二次根式的乘法计算法则，求一个数的算术平方根，是解题的关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算，再求算术平方根即可． 【详解】． 故答案为：5． 12. 已知五个数据：，，，，的平均数是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数，根据算术平均数定义列出关于的方程即可求解，掌握算术平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，平行四边形，以点为圆心，以长为半径画弧，交边于点，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交边于．已知，平行四边形的周长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本作图——作角平分线，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为，则，然后通过线段和差即可求解，解题的关键是掌握相关知识的应用． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，垂直平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，由折叠性质可知，，，则有，，故垂直平分，，所以，然后通过勾股定理，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短线路问题，熟练掌握以上知识点是关键． 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小，先求出值，得到坐标，利用待定系数法求出直线解析式，由解析式得到点坐标即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小， ∵点在一次函数的图象上， ， ∴， 在一次函数中，当时，当时， ∴，， 设直线解析式为，由条件可得： ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2），求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查二次根式的混合运算，算术平方根的非负性，熟练掌握相关法则是解题的关键； （1）先运算二次根式的乘法和化简二次根式，再合并同类二次根式得到答案； （2）利用算术平方根的非负性求出x，y的值，然后代入计算解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 17. 函数是正比例函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． （）根据正比例函数定义列出，然后求出的值即可； （）由题意可得出函数解析式为，当时，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴函数解析式为， ∴当时，，解得：， ∴的值为． 18. 如图，矩形中，点为边上一点，连接，过点作，垂足为，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明，然后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴． ∵在矩形中，，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100） 七年级10名学生的成绩是：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，93． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 方差 52 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中a，b，c的值； （2）根据以上数据，你认该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由． （3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？ 【答案】（1）40，93.5，99；（2）八年级掌握得更好，理由见解析；（3）780人 【解析】 【分析】（1）由八年级学生成绩的扇形统计图可求得得分在C组的百分比，根据各百分比的和为1即可求得a的值；由扇形统计图可求得八年级得分在各个组的人数，从而可求得中位数b；根据七年级10名学生成绩中出现次数最多的是众数，则可得c； （2）两个年级得分的平均数相同，但八年级得分的方差较小，根据方差的特征即可判断八年级学生掌握得更好； （3）求出两个年级得分的优秀率做为全校得分的优秀率，即可求得得分为优秀的学生人数． 【详解】（1）由八年级学生成绩的扇形统计图，成绩在C组的学生所占的百分比为：，则 ∴a=40 八年级得分在A组的有：10×20%=2（人），得分在B组的有：10×10%=1（人），得分在D组的有：10×40%=4（人） 由此可知，得分的中位数为： 七年级10名学生的成绩中99分出现的次数最多，即众数为99，故c=99 （2）八年级学生掌握得更好 理由如下：因为两个年级的平均数相同，而八年级的众数与中位数都比七年级的高，说明八年级高分的学生更多；八年级成绩的方差比七年级的方差小，说明八年级成绩的波动更小，成绩更接近． （3）两个年级得分的优秀率为： 1200×65%=780（人） 所以参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为780人 【点睛】本题是统计图与统计表的综合，考查了扇形统计图，方差、中位数、众数，样本估计总体等知识，读懂统计图，从中获取信息是关键． 20. 如图是一棵树从处折断后，折断部分树梢落在楼房的顶部处，楼房底部与树根的地面之间有一个水塘．图是树与楼房的平面示意图，楼的高度为米，从楼顶处测得与水平线与树的根部处的俯角，与折断处的仰角，求折断前树高约为多少米？（，结果保留米） 【答案】折断前树高约为米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，根据题意可得四边形是矩形，从而可得米，通过等腰直角三角形求出的长，通过勾股定理求出的长，最后利用含角的直角三角形的性质求出的长，从而进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴折断前树高约为米． 21. 一条公路旁依次有、、三个村庄，甲、乙两人开车分别从村、村同时出发前往村，到达村后停止前行．已知甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． （1）求甲乙两人开车的速度； （2）出发多长时间车距离为2千米？ 【答案】（1）甲开车的速度为，乙开车的速度为 （2）出发或或两车距离千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）设甲开车的速度为 ，乙开车的速度为，当两车途中相遇时得到 的数量关系，从而求出点的坐标，进而求出，最后求出即可； （2）分别讨论途中相遇前，途中相遇后至甲到达地前，甲到达地后，两车相距时对应的时间即可. 【小问1详解】 设甲开车的速度为，乙开车的速度为， 根据题意，得 ， 则 ， ， ， ， 答：甲开车的速度为，乙开车的速度为； 【小问2详解】 解：途中相遇前，当两车相距时，得， 解得， 途中相遇后至甲到达地前，当两车相距时，得， 解得， 甲到达地后，当两车相距时，得 ， 解得， ∴出发或或两车距离为千米． 22. 在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． （1）同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； （2）同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； （3）同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 23. 已知一次函数叫做一次函数的“倍关联函数”，两函数图象的交点称作的“倍关联点”，与其“倍关联函数”的图象分别与轴交于点、两点． （1）已知是的“倍关联函数”，则________，________； （2）若一次函数的“倍关联点”为，求的解析式； （3）在（）的条件下， 以为边的正方形与的“关联函数”的图象交于点，求的面积？ 的“关联函数”的图象与轴交于点，在的“关联函数”的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）的面积为；或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂新定义是解题的关键． （）根据定义直接求解即可； （）根据题意得到，，求出即可求解析式； （）求出，，设为正方形的一边，过点作轴交于，过点作轴交于，则 可求，求出直线的解析式为，再由，求出点，即可求的面积； 过点作交于，过点作轴交于点，过点作， 交于点，则，设，则，再由 ，求出，即可确定，，点关于点对称点为，且． 【小问1详解】 解：∵是的“倍关联函数”， ∴， ∴， ∵的“倍关联函数”为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由一次函数的“倍关联函数”为， ∵一次函数的“倍关联点”为， ∴，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：与轴的交点为， ∵一次函数的“倍关联函数”为， ∴， 设为正方形的一边，过点作轴交于，过点作轴交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， ∴的面积； 存在点，使得，理由如下: 由与轴的交点为， 过点作交于，过点作轴交于点，过点作，交于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵点关于点对称点为，且， ∴点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $