课时梯级训练(5) 等差数列的应用及性质(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(5)　等差数列的应用及性质 1．已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝ (　　) A．2 B．5 C．8 D．10 C　解析：方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8. 方法二　由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 2．(2025·金昌高二检测)如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为37厘米，第5级的宽为45厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第2级的宽度是 (　　) A．41厘米 B．40厘米 C．39厘米 D．38厘米 C　解析：设从第1级开始，各级的宽度从小到大构成等差数列{an}，公差为d， 由题意可得a1＝37，a5＝45，则37＋4d＝45，解得d＝2. ∴a2＝a1＋d＝37＋2＝39.故选C. 3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m的值为 (　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B　解析：由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8.又d≠0，∴m＝8. 4．各项均为正数的等差数列{an}中，3a6－a＋3a8＝0，则a7＝ (　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　解析：∵3a6－a＋3a8＝0，∴由等差数列性质，可得6a7－a＝0.∵等差数列{an}各项不为零，∴a7＝6.故选C. 5．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________． 答案：20　解析：设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7 ＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20. 6．已知数列{an}是等差数列，且a1＝25，a2＝30，那么数列{2an＋n}的第7项为________． 答案：117　解析：由已知得等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝30－25＝5，则 (2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2×5＋1＝11，故{2an＋n}是首项为51，公差为11的等差数列， 所以2a7＋7＝51＋6×11＝117. 7．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温． 解：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 8．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4. ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d.∴d＝2. ∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 (　　) A．1升 B． 升 C． 升 D． 升 B　解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，由条件得即解得所以a5＝a1＋4d＝. 10．(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为 (　　) A．1 B．3 C．5 D．7 ABD　解析：由题意得插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，….所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且序号是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1).因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7. 11．(2025·金华高二阶段练习)已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________. 答案：2　解析：因为数列{an}为等差数列，且am－1＋am＋1＝2am， 可得2am－a－1＝0，解得am＝1，所以a1＋a2m－1＝2am＝2. 12．(2025·连云港高二期中)已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－，当|an|最小时，n＝________. 答案：16　解析：由题意，an＝a1＋(n－1)d＝－n＋，n∈N*. 令an≤0，得－n＋≤0，解得n≥＝15＋，所以当n≤15时，an>0，此时|an|单调递减；当n>15时，an<0，此时|an|单调递增，又a15＝－×15＋＝，a16＝－×16＋＝－，则|a16|<|a15|，因此当|an|最小时，n＝16. 13．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 解：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为 an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n. 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m＝4n－1，n∈N*， 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7， b2＝a7＝8－5×7＝－27. (2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20， 所以新数列{bn}也为等差数列， 且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20， 所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时， m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项． 14．在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7＝12，a2＋a10＝7. (1)求{an}的通项公式an； (2)设bn＝an＋t，且对一切n∈N*，恒有b2n＝2bn，求t的值，并判断对一切k，n∈N*是否恒有bkn＝kbn，请说明理由． 解：(1)∵a2＋a10＝a5＋a7＝7，a5a7＝12， ∴或 当时，an＝－n＋，不恒为正，舍去． ∴∴an＝n＋. (2)∵bn＝an＋t＝n＋t＋，b2n＝n＋t＋， ∴n＋t＋＝n＋2t＋1.∴t＝－，∴bn＝n. ∵bkn＝kn＝kbn，∴恒有bkn＝kbn. 学科网（北京）股份有限公司 $$