课时梯级训练(9) 等比数列的应用及性质(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　等比数列的应用及性质 1．(2025·漳州高二期中)在等比数列{an}中，a1·a2·a3＝8，a2＋a4＝10，则a6＝ (　　) A．4 B．8 C．16 D．32 D　解析：由a1·a2·a3＝8，可得a＝8，即a2＝2， 又a2＋a4＝10，所以a4＝8，由a2·a6＝a，可得a6＝32. 2．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为 (　　) A．32 B．64 C．256 D．±64 B　解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝a＝a1a99＝16.又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B. 3．已知数列{an}是公比为的正项等比数列，且a5a11＝27，则log3a17＝ (　　) A． B． C． D． B　解析：因为a5a11＝a＝27，且an>0，所以a8＝3，所以a17＝a8q9＝3， 所以log3a17＝log33＝. 4．(多选)(2024·保定高二期末)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则下列条件能判断{an}为递增数列的是 (　　) A．a1＝3，q＝ B．a1＝2，q＝3 C．a1＝，q＝ D．a1＝－，q＝ BD　解析：对于选项A，若a1＝3，q＝，可得an＋1＝anq<an，所以{an}为递减数列，所以A错误； 对于选项B，若a1＝2，q＝3，可得an＋1＝anq>an，所以{an}为递增数列，所以B正确； 对于选项C，若a1＝，q＝，可得an＋1＝anq<an，所以{an}为递减数列，所以C错误； 对于选项D，若a1＝－，q＝，可得an＋1＝anq>an，所以{an}为递增数列，所以D正确． 5．(多选)(2025·天水高二检测)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是 (　　) A．{} B．{anan＋1} C．{lg a} D．{an＋an＋1} AB　解析：由题意知{an}为等比数列，设其公比为q(q≠0). 对于A，＝＝·()n-1，∴数列{}是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，＝＝q2，∴数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，故B正确；对于C，当an＝1时，lg a＝0，数列{lg a}不是等比数列，故C错误；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误． 6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝____________． 答案：1 536　解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截去一半剩下a1尺，第二天被截去剩下的一半剩下a2尺……第五天被截去剩下的一半剩下a5尺，则＝________． 答案：24　解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且公比为，则＝＝24. 8．2024年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)哪一年两林场木材的存量相等？ (2)两林场木材的总量到2028年能否翻一番？ 解：(1)设经过n年两林场木材的存量相等，即 16a(1＋25%)n＝25a(1－20%)n，解得n＝1， 故到2025年两林场木材的总存量相等． (2)令n＝4，则16a()4＋25a()4<2(16a＋25a)， 故到2028年不能翻一番． 9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式． 解：∵a1a5＝a，a3a7＝a， ∴由题意得a－2a3a5＋a＝36， 同理得a＋2a3a5＋a＝100，∴ ∵an＞0，∴ 即或 解得或 ∴an＝a1qn-1＝2n-2或an＝a1qn-1＝26-n. 10．(2025·临沂高二检测)已知公比大于1的等比数列{an}中，a2a8＝8，a4＋a6＝6，则＝ (　　) A． B． C．2 D． D　解析：由a2a8＝8，可得a2a8＝a4a6＝8.又a4＋a6＝6，且公比大于1，故可解得a4＝2，a6＝4，所以＝＝＝，故选D. 12．若等比数列{an}的各项均为正数，且3a5，a7，2a6成等差数列，则＝________． 答案：9　解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，所以公比q>0， 由3a5，a7，2a6成等差数列，可得2×a7＝2a6＋3a5，a7＝2a6＋3a5，a1q6＝2a1q5＋3a1q4，即得q2＝2q＋3，可得q＝3或q＝－1(舍去)，则＝＝q2＝9. 13．(2025·重庆高二期中)已知等比数列{an}的公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，求a3a6a9…a30的值． 解：由等比数列的性质可知a1·a30＝a2·a29＝…＝a15·a16， ∴a1·a2·a3·…·a30＝(a15·a16)15＝230，∴a15·a16＝4. ∵公比q＝2，a3·a30＝a6·a27＝…＝a15·a18， ∴a3·a6·a9·…·a30＝(a15·a18)5＝(a16·a17)5＝(2a15×2a16)5＝165＝220. 14．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于10%? 解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－. 设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an(1－)， ∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列， ∴an＝a1qn-1＝(1－)n， 即第n次操作后酒精的浓度是(1－)n. 当a＝2时，由an＝()n<(n∈N*)，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%. 15．(2025·青岛第二中学月考)英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1 200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1 200个音的频率值构成一个公比为的等比数列．已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m＝n，求k－l的值． 解：由题意可知，1 200个音的频率值构成一个公比为的等比数列， 设第一个音频率为a1，所以an＝a1()n-1，故m＝a1()k-1，n＝a1()l-1， 因为m＝n，所以＝＝()k－l＝2＝2， 所以＝，解得k－l＝400. 学科网（北京）股份有限公司 $$