6.5-6.7角的度量，大小比较，角的和差 同步讲义-2025-2026学年七年级数学上册浙教版（2024）

第6章 图形的初步认识 角的度量，大小比较，角的和差 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解角的两种定义，能准确识别角的顶点与边。​ . 熟练运用三种方法表示角，避免混淆。​ . 掌握度、分、秒的换算及角的简单计算。​ . 感受角在生活中的应用，提升数学抽象与运算能力。 . . . 一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 考点一： 角的相关概念 1．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 2．角的两条边是（   ） A．斜线 B．线段 C．射线 D．直线 3．下列说法正确的是（   ） A．射线比直线短 B．两点之间的线段叫做两点间的距离 C．角的大小与边的长短无关 D．平角是一条直线 4．下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 考点二：钟面角计算 5．钟面上，时，时钟的分针与时针夹角的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，上午10时10分整，钟表上时针和分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图是钟表示意图，下午从2时整到4点整，时针转过的角度是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 考点三.角的单位与角度制 9．计算：（    ） A． B． C． D． 10．将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 11．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 12．下列四个说法：①两点确定一条直线；②多项式的次数是9；③；④是方程．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点四.角的四则运算 13．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 14．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 15．在同一平面上，若，，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，点A在点O的正北方向，点B在点O南偏东的方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点五.方向角的表示与计算 17．老师从办公室向西偏北走到教室，下课后他从原路返回办公室，应向（ ）走． A．北偏西 B．东偏南 C．南偏东 D．西偏北 18．如图为某公园的平面示意图、以公园入口O为中心，儿童乐园可描述为：儿童乐园A 在公园入口的北偏东方向上：同样的、滑冰场 D 在公园入口的南偏东方向上，则按照此规则，卫生间B在公园入口的（  ）方向上 A．西偏北 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北 19．以学校为观测点，广场在北偏西的方向上，则图中正确的是（   ） A． B． C． D． 20．超市在学校南偏东方向，那么学校在超市的（   ）． A．北偏西方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 考点六.角的度数大小比较 21．下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是； ②若，则一定是正数； ③若，则的化简结果为0； ④若，，则； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 23．下列结论正确的是（    ） A．近似数精确到了百分位 B．两点间的距离就是连接这两个点的线段 C．6个球队单循环比赛共比30场 D． 24．如图，已知与（），分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点七.三角板中角度计算问题 25．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 26．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 27．用一副三角板可以画出的角是（   ） A． B． C． D． 28．如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 考点八. 几何图形中角度计算问题 29．若，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定 30．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 31．如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点九.实际问题中角度计算问题 32．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 33．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 34．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 考点十.角平分线的有关计算 36．如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 37．下列说法：①射线与射线是同一条射线；②两点确定一条直线；③把一个角分成两个角的射线叫作这个角的平分线；④连接两点的线段叫作这两点之间的距离．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1、 单选题 1．小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 2．一艘轮船在点O处遇险后，向相距位于A处的救生船报警，则救生船A相对于轮船O的位置为（    ） A．西北方向，处 B．北偏西，处 C．北偏东，处 D．南偏西，处 3．在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路．乙地在甲地的北偏东方向上，则甲地应该在乙地的（　　）方向上． A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 4．下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 6．，，关于两个角的大小，下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．【钟面角】当时钟表示3时45分的时候，时针和分针所成的较小的钝角是 度． 12．钟面上，时针与分针所成的较小夹角是 度． 13．每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 14．比较大小：（） ；（） （选填“”“”“”）． 15．比较大小： （用，或连结） 16．如图，从量角器的中心出发的直线分别经过表示、的点，则的度数是 ． 17．如图，，平分，若，则的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 图形的初步认识 角的度量，大小比较，角的和差 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解角的两种定义，能准确识别角的顶点与边。​ . 熟练运用三种方法表示角，避免混淆。​ . 掌握度、分、秒的换算及角的简单计算。​ . 感受角在生活中的应用，提升数学抽象与运算能力。 . . . 一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 五：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 六：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 考点一： 角的相关概念 1．用一个放大5 倍的放大镜看一个30度的角，放大后看到角的度数是（   ） A．30度 B．150度 C．60度 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的概念，角的大小由两边张开的程度决定，与边的长度无关．放大镜仅放大物体的长度，不会改变角的两边张开的程度． 【详解】解：用放大镜观察角时，虽然边的长度被放大，但角的两边张开的程度（即角度）保持不变．因此，原角为30度，放大后仍为30度． 故选：A． 2．角的两条边是（   ） A．斜线 B．线段 C．射线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了角的定义，理解角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形是解答关键． 根据角的定义来逐一进行判定求解． 【详解】解：A．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，不是斜线，故此项不符合题意； B．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，不是线段，故此项不符合题意； C．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，是射线，故此项符合题意； D．角是由一个公共顶点引出的两条射线构成的几何图形，角的两条边，不是直线，故此项不符合题意． 故选：C． 3．下列说法正确的是（   ） A．射线比直线短 B．两点之间的线段叫做两点间的距离 C．角的大小与边的长短无关 D．平角是一条直线 【答案】C 【分析】本题考查的是直线，线段的含义，角的含义，熟记基础概念是解本题的关键． 根据直线，线段的含义与性质可判断A，B，根据角的含义可判断D，C，从而可得答案． 【详解】解：射线与直线都是无限延长的，无法比较长短，错误，故A不符合题意； 连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原来表述错误，故B不符合题意； 角的大小与所画的角的边的长短无关，表述正确，故C符合题意； 直线与平角是两个不同的几何图形，原来表述错误，故D不符合题意； 故选：C． 4．下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，根据角的概念判断即可． 【详解】解：根据角的概念“有公共端点的两条射线组成的图形叫作角”判断． 故选：B． 考点二：钟面角计算 5．钟面上，时，时钟的分针与时针夹角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查钟面角问题．时针走一分钟是，分针走一分钟是，利用角度之间数量关系进行求解即可． 【详解】解：时，分针指向10分钟的位置，每分钟对应，故分针角度为 ； 3点时，时针指向3，对应角度为 ， 经过10分钟，时针移动角度为 ， 故时针总角度为 ； 分针与时针的夹角为 ， 综上，时时钟分针与时针的夹角为35°， 故选：D． 6．如图，上午10时10分整，钟表上时针和分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了时针与分针的夹角，熟练掌握计算方法是解题的关键．根据时针每分钟转，分针每分钟转，进而求解即可． 【详解】解：∵时针每分钟转，分针每分钟转， ∴当时针指向上午时， 时针与分针的夹角度数为． 故选：D． 7．如图是钟表示意图，下午从2时整到4点整，时针转过的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了钟面角，由于时针从下午2时整到4点整，共转了2大格，而每大格为，即可解答． 【详解】解：时针从下午2时整到4点整，共转了2大格， 所以钟表上的时针转过的角度． 故选：C． 8．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为进行求解即可． 【详解】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 考点三.角的单位与角度制 9．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒换算，根据度分秒换算换算法则，按照60进制计算即可求解，掌握度分秒换算法则是关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 10．将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键，根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 11．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的单位换算及大小比较，解题的关键是将不同单位表示的角度统一单位后再比较． 将的度数换算为度分形式，再统一与比较大小． 【详解】解：， ，即， 又，， ， 故选：A． 12．下列四个说法：①两点确定一条直线；②多项式的次数是9；③；④是方程．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数，度分秒的转换，方程的定义，根据相关知识逐一判断即可，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：①两点确定一条直线，故①正确； ②多项式的次数是6，故②错误； ③，，，故③正确； ④不是方程，故④错误， 故正确的个数为2个， 故选：B． 考点四.角的四则运算 13．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和与差、角度的计算．根据、、，可得：． 【详解】解：如下图所示，， ， ， ， ． 故选：D ． 14．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的换算是解题的关键． 本题考查了度分秒的换算，掌握，是解题的关键． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B 15．在同一平面上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算及角度制的换算，根据题意，代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意， 故选：C． 16．如图，点A在点O的正北方向，点B在点O南偏东的方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角的定义，根据方向角的定义以及角的和差，可得的度数． 【详解】解：∵点A在点O的正北方向，点B在点O南偏东的方向上， ∴， 故选：A． 考点五.方向角的表示与计算 17．老师从办公室向西偏北走到教室，下课后他从原路返回办公室，应向（ ）走． A．北偏西 B．东偏南 C．南偏东 D．西偏北 【答案】B 【分析】本题考查的是方向角的表示，原路返回时，方向与来时相反，角度保持不变．去时为西偏北，返回时应为东偏南． 【详解】解：如图， 老师从办公室出发向西偏北方向走70米到教室，此时观测点在办公室， 返回时观测点变为教室，方向需完全相反，西的相反方向是东，北的相反方向是南， 因此原方向“西偏北”的相反方向为“东偏南”，且距离不变（70米）； 选项中B符合条件， 故选：B 18．如图为某公园的平面示意图、以公园入口O为中心，儿童乐园可描述为：儿童乐园A 在公园入口的北偏东方向上：同样的、滑冰场 D 在公园入口的南偏东方向上，则按照此规则，卫生间B在公园入口的（  ）方向上 A．西偏北 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北 【答案】B 【分析】本题考查方向角，掌握方向角的表示方法是解题的关键．注意：表示方向角时，是南或北偏东或西的度数． 由图求得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵ ∴卫生间B在公园入口的北偏西方向上， 故选：B． 19．以学校为观测点，广场在北偏西的方向上，则图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的定义即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：以学校为观测点，广场在北偏西的方向上的是： 故选：D． 20．超市在学校南偏东方向，那么学校在超市的（   ）． A．北偏西方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】本题考查了方向的相对性知识，根据位置的相对性，方向相反且角度不变．超市在学校南偏东方向，则学校在超市的北偏西方向． 【详解】∵超市在学校南偏东方向， ∴学校在超市的北偏西方向． 故选：D． 考点六.角的度数大小比较 21．下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是； ②若，则一定是正数； ③若，则的化简结果为0； ④若，，则； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，有理数的运算，角的大小比较，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据绝对值的非负性判断①②；根据有理数的乘除法法则，绝对值的意义判断③；将转化为度，分，秒的形式，比较大小，判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴代数式的最小值是；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：一定是非负数；故②错误； 若，则：，或，， ∴或；故③正确； ∵， ∴，故④正确； 故选B． 22．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 23．下列结论正确的是（    ） A．近似数精确到了百分位 B．两点间的距离就是连接这两个点的线段 C．6个球队单循环比赛共比30场 D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法和精确度、两点间的距离、有理数加法的应用，度分秒的计算，掌握相关知识点是解题关键．根据科学记数法和近似数、两点间的距离、有理数加法的应用，度分秒的计算逐项判断即可． 【详解】解：A、，即精确到了百位，原结论错误，不符合题意； B、两点间的距离就是连接这两个点的线段的长度，原结论错误，不符合题意； C、6个球队单循环比赛共比场，原结论错误，不符合题意； D、，原结论正确，符合题意； 故选：D． 24．如图，已知与（），分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的步骤是解题的关键．根据尺规作图的步骤即可解答． 【详解】解：根据作图可知，． 故选：D． 考点七.三角板中角度计算问题 25．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，理解三角板的性质是解题的关键；由题意可得，再结合，即可得出的度数． 【详解】解：依题意，结合图形，得， ∵， ∴， 故选：C 26．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又，， ∴， 故选：C． 27．用一副三角板可以画出的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了三角板的特征，根据三角板原有的30度、45度、60度、90度四种角，分别加减计算即可． 【详解】解：三角板中有30度、45度、60度、90度四种角，而， 所以C是可以用三角板画出的角． 故选：C． 28．如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算，直接根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴； 故选：B． 考点八. 几何图形中角度计算问题 29．若，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查角的运算，掌握角的和差运算是解题的关键，注意要分类讨论． 根据题意，先求出，再分两种情况：①当点D在内部时，②当点D在外部，分别根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 分两种情况：①当点D在内部时，如图1． 则； ②当点D在外部（如图2）． 则． 综上，或， 故选：C． 30．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角平分线的定义，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由与互补，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出与的度数，由与互余，结合对顶角相等，可求出的度数，根据“在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴． 根据题意得：或， 解得：或， ∴t的值为6或24． 故选：D． 31．如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义和平面内角的相关计算，理解并掌握角平分线的定义是解题关键． 根据题意可知，结合角平分线的定义可得，由即可获得答案； 【详解】解：∵， ， ∵是的平分线， ， ∵是的平分线， ， ， 故选：B． 考点九.实际问题中角度计算问题 32．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 33．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 34．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解． 【详解】解∶如图所示标注字母， 由题意知： ， ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角的特点以及角的计算，理解方位角的概念是解题的关键． 36．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 考点十.角平分线的有关计算 37．如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线平分角，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选C． 38．下列说法：①射线与射线是同一条射线；②两点确定一条直线；③把一个角分成两个角的射线叫作这个角的平分线；④连接两点的线段叫作这两点之间的距离．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查射线识别，直线公理，角平分线的定义，两点之间的距离．根据射线定义可判断①，根据直线公理可判断②，根据角平分线的定义可判断③，根据两点之间距离定义可判断④． 【详解】解：射线与射线的起点不同方向不同，不是同一条射线，故①不正确； 经过两点，有且只有一条直线，两点确定一条直线，故②正确； 把一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线，故③不正确； 连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故④不正确． 所以正确的说法有1个． 故选：A． 39．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 1、 单选题 1．小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 【答案】C 【分析】本题考查的是钟面角，分别计算各选项中时针和分针的位置角度，判断是否满足直角条件即可． 【详解】解：选项A（9时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 选项B（12时）： 时针和分针均指向12，角度差为，不满足直角条件． 选项C（15时）： 此时角度为，，满足直角条件． 选项D（3时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 综上，只有选项C（15时）满足时针和分针成直角． 故选：C． 2．一艘轮船在点O处遇险后，向相距位于A处的救生船报警，则救生船A相对于轮船O的位置为（    ） A．西北方向，处 B．北偏西，处 C．北偏东，处 D．南偏西，处 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，根据图形结合题意即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，救生船A相对于轮船O的位置为北偏西，处， 故选：B． 3．在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路．乙地在甲地的北偏东方向上，则甲地应该在乙地的（　　）方向上． A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方向的相对性，由“北与南相对，东与西相对”以及角度保持不变是解决本题的关键． 根据方向角的相对性，若乙地在甲地的北偏东方向，则甲地在乙地的相反方向，即南偏西方向求解即可． 【详解】解：甲地观测乙地的方向为北偏东，则乙地观测甲地的方向应为相反方向， 因为北与南相对，东与西相对，因此原方向“北偏东”的相反方向为“南偏西”, 所以甲地应在乙地的南偏西方向． 故选：C． 4．下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的定义及其表示方法，正确认识角和记忆角的表示方法是解决本题的关键． 根据角的表示方法进行判断即可． 【详解】解：根据角的表示方法可知，选项C的表示同一角， 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数，精确度和近似数，角的度数大小比较和钟面角，正确掌握单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小是解题的关键； 根据单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小比较方法逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，故该选项说法错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，精确到十分位，精确度不同，故该选项说法错误，不符合题意； C、，即，故该选项说法正确，符合题意； D、钟面上3时分，时针与分针的夹角为度，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 6．，，关于两个角的大小，下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算． 先换算单位，再进行比较 【详解】解：， ∴， 故选：B． 7．如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，先根据角的和差的定义得出，再根据平角的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， 故选：C 8．如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和与差，角的平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 利用角的平分线的性质，可设，则，结合角的和差求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 2、 2、 填空题 11．【钟面角】当时钟表示3时45分的时候，时针和分针所成的较小的钝角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时针每分钟走的角度是解题的关键．根据时针从3点到 3时45分经过了45分钟，时针每分钟走，即可得到答案． 【详解】解：因为时钟表示3时45分的时候，分针指到9，时针指到3与4之间， 而9到3相差了6个大格，每个大格为， 因为时针从3点到 3时45分经过了45分钟，时针每分钟转， 那么时针转过了， 所以时针和分针所成的较小的钝角是． 故答案为：． 12．钟面上，时针与分针所成的较小夹角是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，先求出时针一分钟走，钟面上两相邻数字的夹角为，时间为时，分针指向数字2，时针在数字6的基础上再走10分钟，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， 所以钟面上，时针与分针所成的较小夹角是， 故答案为：125． 13．每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【答案】/165度 【分析】本题考查钟面角，钟面上一大格是30度，中午11点30分时，时针在11和12中间，分针指向6，时针与分针所夹角（小于平角）占5.5个大格，由此可解． 【详解】解：， 时针与分针所夹角（小于平角）的度数为， 故答案为：． 14．比较大小：（） ；（） （选填“”“”“”）． 【答案】 【分析】（）根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可求解； （）把进行单位换算，再比较即可求解； 本题考查了有理数的大小比较，角度的单位换算，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， 故答案为：． 15．比较大小： （用，或连结） 【答案】 【分析】此题考查了角度的换算和比较大小，熟练掌握角度的换算是解题得关键．求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 16．如图，从量角器的中心出发的直线分别经过表示、的点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差计算，正确运用量角器进行计算是解题的关键． 根据量角器的度数直接进行相减计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 17．如图，，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角和角平分线的定义，角度和差，根据角度和差得出，则有，然后通过角平分线定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$