阶段质量检测(2)(Word练习)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段质量检测(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．斜率为－3，且在x轴上截距为2的直线的一般方程是(　　) A．3x＋y＋6＝0 B．3x－y＋2＝0 C．3x＋y－6＝0 D．3x－y－2＝0 C　解析：直线在x轴上的截距为2，即直线经过点(2，0)，又直线的斜率为－3，由直线的点斜式方程得直线的方程为y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故选C． 2．(2025·安徽高二月考)已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－1)y－3＝0与l2：3x＋(m＋1)y＋m－5＝0平行，则m＝(　　) A．－1或 B． C．－1 D．1 A　解析：当直线l1与l2的斜率都存在时，m≠±1，且－＝－，即＝3，解得m＝，此时l1：6x＋7y－4＝0，l2：6x＋7y－5＝0，两直线平行，符合题意； 当直线l1与l2的斜率都不存在时， 解得m＝－1，此时l1：x－3＝0，l2：3x－6＝0，两直线平行，符合题意． 所以m＝－1或m＝. 3．若点A(0，1)在圆O：x2＋y2－2x＋4my＋2m2－1＝0外，则实数m的取值范围为(　　) A．(－1，－) B．(－2，0) C．(－∞，－1)∪(－，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D　解析：圆O化成标准方程为(x－1)2＋(y＋2m)2＝2m2＋2， 点A(0，1)在圆O外，则有(0－1)2＋(1＋2m)2>2m2＋2， 即2m2＋4m>0，解得m<－2或m>0.故选D． 4．直线l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5的公共点个数为(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 D　解析：直线l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)为k(x－2)－y－1＝0，故l过定点(2，－1)，在圆x2＋y2＝5上，故直线l与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个．故选D． 5．(2025·南京师大附中高二阶段练习)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为(　　) A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0 A　解析：当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大．因为k＝＝2，所以k1＝－，所以l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.故选A． 6．已知圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)的面积被直线x＋2y＋1＝0平分，圆C2：(x＋2)2＋(y－3)2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 B　解析：因为圆C1的面积被直线x＋2y＋1＝0平分，所以圆C1的圆心(1，－)在直线x＋2y＋1＝0上， 所以1＋2×(－)＋1＝0，解得m＝2，所以圆C1的圆心为(1，－1)，半径为1. 因为圆C2的圆心为(－2，3)，半径为5， 所以|C1C2|＝＝5， 所以5－1<|C1C2|<5＋1，所以圆C1与圆C2相交． 7．(2025·湛江高二期中)某地A，B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A(0，0)，B(－2，0)，一条河所在直线的方程为x＋2y－5＝0.若在河上建一座供水站P，则到A，B两点距离之和的最小值为(　　) A．4 B．32 C．4 D．48 A　解析：如图，设A关于直线x＋2y－5＝0对称的点为A′(a，b)， 则得即A′(2，4)，易知|PA|＝|PA′|，当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|取得最小值， 最小值为|A′B|＝＝4.故选A． 8．若直线l：kx－y＋4＋2k＝0与曲线y＝有两个交点，则实数k的取值范围是(　　) A．{k|k＝±1} B．{k|k<－} C．{k|－1≤k<－} D．{k|－1≤k<} C　解析：由题意，直线l的方程可化为k(x＋2)－y＋4＝0，所以直线l恒过定点A(－2，4).y＝可化为x2＋y2＝4(y≥0)，该方程表示以(0，0)为圆心，以2为半径的圆的x轴及其上方的部分，如图． 当l与该曲线相切时，圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝2，解得k＝－. 设半圆与x轴正半轴的交点为B，则B(2，0)，所以kAB＝＝－1.由图可得，若要使直线l与曲线y＝有两个交点，则－1≤k<－. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(多选)(2025·红河州高二月考)关于直线l：x＋3y－1＝0，则(　　) A．倾斜角为－30° B．斜率为－ C．在y轴上的截距为 D．与直线m：2x＋6y＋3＝0的距离为 BCD　解析：直线l：x＋3y－1＝0，即y＝－x＋， 所以直线的斜率为－，倾斜角为150°，在y轴上的截距为，故A错误，B正确，C正确，又l：2x＋6y－2＝0，直线m：2x＋6y＋3＝0， 所以两直线间的距离为＝，故D正确． 10．(多选)已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，C2：x2＋y2＝a2(a>0)，则下列结论正确的有(　　) A．若圆C1和圆C2相交，则2<a<4 B．若圆C1和圆C2外切，则a＝2 C．当a＝时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D．当a＝3时，圆C1和圆C2相交弦长为 ABD　解析：由题意可知圆C1：(x－3)2＋y2＝1的圆心C1(3，0)，半径r1＝1； 圆C2：x2＋y2＝a2(a>0)的圆心C2(0，0)，半径r2＝a，则|C1C2|＝3， 对于选项A，若圆C1和圆C2相交，则|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2， 即|a－1|<3<a＋1，解得2<a<4，故A正确； 对于选项B，若圆C1和圆C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即3＝a＋1，解得a＝2，故B正确； 对于选项C，当a＝时，由选项A可知圆C1和圆C2相交， 所以圆C1和圆C2有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D，当a＝3时，由选项A可知圆C1和圆C2相交， 且圆C1：x2＋y2－6x＋8＝0，圆C2：x2＋y2＝9， 两圆方程作差得x＝，即公共弦所在直线的方程为x＝， 圆心C2(0，0)到直线x＝的距离d＝， 所以公共弦长为2＝，故D正确．故选ABD． 11．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝4，过点M(0，m)的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A．当m＝1时，|AB|的最小值是 B．当m＝时，|AM|的取值范围是[2－，2＋] C．当m＝2时，·为定值 D．当m＝－2，且|AB|＝2|AM|时，∠ACB＝120° BCD　解析：当m＝1时，M(0，1)，则|MC|＝<2，点M在圆内．当MC为线段AB的垂直平分线时，|AB|min＝2＝2＝2，A项错误． 当m＝时，M(0，)，则|MC|＝＝<2，点M在圆内． 由圆的性质知，|AM|min＝2－，|AM|max＝2＋，故|AM|的取值范围是[2－，2＋]，B项正确． 当m＝2时，M(0，2)在圆外，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋2，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(1＋k2)x2＋(4k＋2)x＋1＝0.当Δ>0时， x1x2＝，＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)， ∴·＝x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋k2x1x2＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1. 当直线AB的斜率不存在时，直线为x＝0，则A(0，)，B(0，－)，所以·＝(0，－2)·(0，－－2)＝1.综上·为定值，C项正确． 当m＝－2时，|MC|＝>2 ，点M(0，－2)在圆外．设CH⊥AB，垂足为H，则AH＝BH.由|AB|＝2|AM|，知|AM|＝|AH|.设|AM|＝|AH|＝x， 则()2－(2x)2＝22－x2，解得x＝，所以在Rt△ACH中，sin ∠ACH＝，故∠ACH＝60°，所以∠ACB＝2∠ACH＝120°，D项正确．故选BCD． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则P点坐标为________． 答案：(2，2)　解析：设P(x，2)，因为点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，所以＝，解得x＝2，所以P(2，2). 13．直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点______，P(1，1)到该直线的距离的最大值为________． 答案：(－2，3)　　解析：直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y－3)＋x＋2＝0，令解得x＝－2，y＝3. 所以直线l恒过定点Q(－2，3)，P(1，1)到该直线的距离的最大值为|PQ|＝＝. 14．(2025·泰安高二期中)已知A(－3，0)，B(3，0)，点C，D满足||＝3，＝＋，则D点的轨迹方程为________________． 答案：(x－1)2＋y2＝1　解析：∵A(－3，0)，又||＝3，∴C点的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝9，∵＝＋，∴3＝2＋， ∴2(－)＝－，∴2＝， 设D(x，y)，C(m，n)，又B(3，0)，∴2(x－3，y)＝(m－x，n－y)， ∴∴ ∴C(3x－6，3y)，又C在圆(x＋3)2＋y2＝9上，∴(3x－3)2＋9y2＝9，化简得(x－1)2＋y2＝1， ∴D点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知△ABC的两条高线所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1，2).求： (1)边BC所在的直线方程； (2)△ABC的面积． 解：(1)因为A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件假设kAB＝－，kAC＝1. 所以边AB，AC所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0. 由得B(7，－7)， 由得C(－2，－1)， 所以边BC所在的直线方程为2x＋3y＋7＝0. (2)因为|BC|＝，点A到边BC的距离d＝，所以S△ABC＝×d×|BC|＝××＝. 16．(15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).又AB⊥CD，故直线CD的斜率为－1，则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.　① 又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.　② 由①②解得或 ∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)， ∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 17．(15分)已知圆C的圆心为C(－1, 4)，且与x轴相切． (1)求C的方程； (2)设直线l：x＋y＋m＝0与C交于A，B两点，从条件①∠ACB＝120°；②|AB|＝4中选择一个作为已知条件，求m的值． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为圆C的圆心为C(－1，4)，且与x轴相切，所以圆C的半径r＝4，所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝16. (2)选①，因为∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝4，所以|AB|＝＝4， 所以圆心C到直线l：x＋y＋m＝0的距离d＝＝＝2，即＝2，解得m＝±2－3. 选②，因为|AB|＝4，所以圆心C到直线l：x＋y＋m＝0的距离d＝＝＝2，即＝2，解得m＝±2－3. 18．(17分)已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x＋4y－8＝0相切． (1)求圆C的标准方程； (2)直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． (1)解：由题意，设圆心为C(a，0)(a>0).因为圆C过原点，所以半径r＝a. 又圆C与直线3x＋4y－8＝0相切，所以圆心C到直线的距离d＝＝a⇒a＝1或a＝－4(舍去)， 所以圆 C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)①解：将直线l代入圆的方程可得(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0.因为有两个交点， 所以Δ＝(4k－2)2－16(k2＋1)>0，解得k<－，即k的取值范围是(－∞，－). ②证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 所以kOA＋kOB＝＋＝＋＝＋2k＝＋2k＝1.即直线OA，OB斜率之和为定值． 19．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8. 因为直线y＝x与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x， 联立解得或 由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0， 所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解得x＝或x＝0(舍去)，所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$