课时梯级训练(14) 倾斜角与斜率(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　倾斜角与斜率 1．(2025·茂名高二期中)如图，直线l的倾斜角为(　　) A． B． C． D． C　解析：由题意可知，直线l的倾斜角为的补角，即为. 2．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角α为(　　) A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150° C　解析：由题意知|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－，故直线l的倾斜角为60°或120°. 3．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　解析：当l向上方向的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α.故选D． 4．若n＝(－，1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角为________． 答案：　解析：由n＝(－，1)是直线l的一个方向向量，可知直线l的另一个方向向量为(1，－).设直线l的倾斜角为α，可得直线l的斜率k＝tan α＝－.所以直线l的倾斜角为α＝. 5．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________． 答案：0　解析：如下图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0. 6．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是__________． 答案：[0，2]　解析：如下图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0，2]. 7．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线． 证明：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)， ∴kAB＝＝2，kAC＝＝2. ∴kAB＝kAC． ∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A， ∴直线AB与直线AC为同一直线． ∴A，B，C三点共线． 8．(2025·长春高二检测)已知坐标平面内两点M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1). (1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求实数m的取值范围； (2)若直线MN的方向向量为a＝(1，－2 025)，求实数m的值． 解：(1)因为倾斜角θ为锐角，则k＝tan θ>0， 而k＝＝>0， 即(3m＋4)(m－4)<0，解得－<m<4，所以实数m的取值范围为(－，4). (2)直线MN的方向向量为a＝(1，－2 025)，可得k＝－2 025＝， 解得m＝. 9．若过点P(－1，0)的直线与以A(1，2)，B(－2，)为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为(　　) A．∪ B． C．∪ D． D　解析：设过点P的直线与线段AB的交点为Q(x，y)，如图所示， 当点Q从点A向点B运动时，直线PQ的倾斜角越来越大， 当点Q与点A重合时，直线PQ的倾斜角的最小值为∠APO， 由直线倾斜角与斜率的关系可知tan ∠APO＝kPA＝＝1， 所以∠APO＝， 当点Q与点B重合时，直线PQ的倾斜角的最大值为∠BPO， 由直线倾斜角与斜率的关系可知tan ∠BPO＝kPB＝＝－， 所以∠BPO＝.又注意到当点Q从点A向点B运动时，∠QPO是连续变化的， 因此满足题意的直线PQ的倾斜角取值范围为.故选D． 10．(多选)(2025·成都高二期中联考)若直线l的斜率为m2－2m，则直线l的倾斜角可能为(　　) A． B． C． D． AD　解析：记直线l的倾斜角为α，斜率为k， 则k＝(m－1)2－1≥－1，即tan α≥－1， 由正切函数图象可得α∈∪. 故选AD． 11．若直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到直线l上，那么直线l的斜率是________． 答案：－　解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，故l的斜率k＝kPQ＝＝－. 12．(2025·泸州高二期中联考)已知直线m的斜率为6，直线n的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍，则直线n的斜率为__________． 答案：－　解析：设直线m的倾斜角为α，则直线n的倾斜角为2α， 又直线m的斜率为6，即tan α＝6， 所以直线n的斜率为tan 2α＝＝＝－. 13．如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率． 解：因为OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角都是60°， 斜率都是tan 60°＝.因为DC∥OB， 所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0； 由菱形的性质知，∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝， 直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°， 斜率kBD＝tan 120°＝－. 14．已知实数x，y满足一次函数y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值． 解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且求得A，B两点的坐标分别为A(2，4)，B(3，2). 由于的几何意义是直线OP的斜率， 且kOA＝2，kOB＝， 所以可求得的最大值为2，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$