课时梯级训练(39) 直线与抛物线的位置关系(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(39)　直线与抛物线的位置关系 1．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为(　　) A． B．－ C．－2 D．2 A　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，由得＝2，即4kAB＝2，得kAB＝. 2．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的方程为(　　) A．2x－y－3＝0 B．2x－y－5＝0 C．x－2y＝0 D．x－y－1＝0 A　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以＝＝2， 所以k＝2. 因为直线过点M(2，1)，所以直线l的方程为2x－y－3＝0. 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] C　解析：由题意可得准线方程为x＝－2，Q(－2，0)，设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)；当k≠0时，Δ≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，直线l的斜率的取值范围是[－1，1]. 4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)，且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，F(1，0).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知，M，N位于x轴上方，与抛物线方程联立有可得或所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝0×3＋2×4＝8. 5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 答案：0或1　解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点； 当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，解得k＝1. 综上可得k＝0或1. 6．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为________． 答案：2　解析：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2，且过点(1，0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，故|AB|＝·＝×＝2. 7．(2025·成都开学考试)已知抛物线x2＝5y，过点P(，1)作一条直线l与抛物线交于A，B两点，恰使得点P平分AB，则直线l的方程为__________． 答案：4x－8y＋3＝0　解析：设直线l与抛物线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将两点代入抛物线方程得两式作差可得(x1－x2)(x1＋x2)＝5(y1－y2)， 即＝＝＝＝，所以直线l的斜率k＝， 所以直线l方程为y－1＝(x－)，即4x－8y＋3＝0. 8．(2025·南京高二检测)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求实数k的值． 解：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－， ∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离， ∴4＋＝6 ∴p＝4， ∴抛物线C的方程为y2＝8x. (2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0， ∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0，又＝＝2， 解得k＝2或k＝－1(舍去)∴实数k的值为2. 9．已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，求△DAB的面积S的取值范围． 解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，D(－1，0)，设过点F的直线l：x＝ty＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y2－4ty－4＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， S△DAB＝×|FD|×|y2－y1|＝＝＝4≥4， 则△DAB的面积S的取值范围为[4，＋∞). 10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝3，则|QF|＝(　　) A． B． C．3 D．2 A　解析：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，如图所示．∵＝3， ∴＝.又|MF|＝4， ∴|NQ|＝.∵|NQ|＝|QF|， ∴|QF|＝. 11．曲线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　) A． B．2 C． D．3 A　解析：设直线AB的方程为y＝－x＋b，代入y＝2x2得2x2＋x－b＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－＝－，所以b＝1，即AB的方程为y＝－x＋1.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝－，代入y0＝－x0＋1，得y0＝.将M(－，)代入y＝x＋m，解得m＝. 12．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________． 答案：32　解析：若直线AB的斜率不存在，则y＋y＝32，若直线AB的斜率存在，设为k，当k＝0时，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠0，由题意设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，由得ky2－4y－16k＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－16，所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝()2＋32＞32，所以y＋y的最小值为32. 13．(2025·潍坊高二期末)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为的直线l，且l交该抛物线于A，B两点，点A在y轴左侧，则＝________． 答案：3－2　解析：由题知，设直线l的方程为x＝y－，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立x2＝2py可得y2－3py＋p2＝0， ∴y1＝p，y2＝p，即＝＝3－2. 14．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解：设直线l的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F(，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4， 所以x1＋x2＝. 联立可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－， 即－＝，解得t＝－， 所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3可得y1＝－3y2. 联立可得y2－2y＋2t＝0， 所以y1＋y2＝2. 即－3y2＋y2＝2，解得y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 故|AB|＝＝. 15．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点． (1)求证：OA⊥OB； (2)当△OAB的面积等于时，求实数k的值． (1)证明：如图所示，联立消去x得ky2＋y－k＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y2＝－1，y1＋y2＝－. ∵A，B在抛物线y2＝－x上， ∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2. ∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1， ∴OA⊥OB． (2)解：设直线与x轴交于点N，显然k≠0. 令y＝0，得x＝－1，即N(－1，0). ∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|， ∴S△OAB＝·1·＝＝，解得k＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $$