课后分层练(十三)　倾斜角与斜率-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十三)]　倾斜角与斜率 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　 ) A．45° B．135° C．45°或135° D．60° 解析：选A.kAB＝＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以直线的倾斜角为45°. 2．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　 ) A．k1<k2<k3 B．k1<k3<k2 C．k2<k1<k3 D．k3<k2<k1 解析：选A.根据“当直线的倾斜角α∈[0，)时，直线的倾斜程度越大，斜率越大”可知选项A正确． 3．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝(　　 ) A．－ B． C．－1 D．1 解析：选C.(方法一)由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y).又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，因此n∥，所以(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1. (方法二)由直线的方向向量为n＝(－1，－1)得，直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1. 4．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 解析：选ABC.由直线的倾斜角和斜率的定义知，A，B，C正确，D错误． 5．(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　 ) A．(0，－4) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－8) 解析：选BD.设B(x，0)或(0，y)，因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2，y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8). 6．若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝ ． 解析：因为A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，所以kAB＝kAC， kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即k＝6. 答案：6 7．已知直线l的倾斜角α∈[，]，则该直线的斜率k的取值范围是 ． 解析：由倾斜角和斜率的关系为k＝tan α，结合y＝tan α的图象性质，知当≤α<时，k≥1；当<α≤时，k≤－；当α＝时，k不存在，所以k∈(－∞，－]∪[1，＋∞). 答案：(－∞，－]∪[1，＋∞) 8．已知坐标平面△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(1，1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率． 解：kAB＝＝0，kAC＝＝－1. ∵B，C两点的横坐标相等， ∴直线BC的斜率不存在． 9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时． (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1). (4)直线的倾斜角为45°？ (5)直线的倾斜角为锐角？ 解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即＝，解得m＝. (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0. (5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－1<m<1. 【综合运用】 10．若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是(　　 ) A．[，1] B．(，1) C．[，1] D．(，1) 解析：选D.根据已知的条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.利用图象(图略)，可得的取值范围是(，1). 11．(知识融合)设直线l的方程为x＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ． 解析：当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角α＝； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝tan α＝－. ∵cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞).又α∈[0，π)， ∴α∈[，)∪(，]. 综上可知，倾斜角α的取值范围是[，]. 答案：[，] 12．已知A(，0)，B(2，1)，直线l过点P(0，－1)，若直线l与线段AB总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ，倾斜角α的取值范围是 ． 解析：如图，若直线l与线段AB总有公共点，则kPA≤kl≤kPB， 因为A(，0)，B(2，1)，P(0，－1)， 所以kPA＝＝，kPB＝＝1， 所以≤kl≤1，即≤tan α≤1， 因为α∈[0，π)，所以≤α≤. 答案： [，1]　[，] 13．如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解：在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以斜率kOD＝kBC＝tan 60°＝； 因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以斜率kOB＝kCD＝0；由菱形的性质知，∠COB＝×60°＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以两条对角线的斜率分别为：kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 14．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值与最小值． 解：如图所示， 由＝的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB.由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴kPA＝＝，kPB＝＝8， ∴≤k≤8. 故(－1≤x≤1)的最大值为8，最小值为. 【创新探索】 15．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，试用图示法比较，，的大小关系． 解：表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以我们可以赋予，，几何意义：表示3个斜率．作函数f(x)＝log2(x＋1)的图象如图所示． 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与原点相连， 可得>>. 学科网（北京）股份有限公司 $