课时梯级训练(9) 空间中直线、平面的平行(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　空间中直线、平面的平行 1．(2025·深圳高二期中)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，－3，1)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，－3)，则直线l与平面α的关系是(　　) A．l∩α＝P B．l⊥α C．l∥α D．l⊂α或l∥α D　解析：因为a·n＝(2，－3，1)·(3，1，－3)＝6－3－3＝0， 所以a⊥n，则l⊂α或l∥α. 2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 D　解析：∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内． 3．设平面α的法向量为(2，－4，λ)，平面β的法向量为(1，μ，2)，若α∥β，则λ＋μ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 A　解析：因为α∥β，所以(2，－4，λ)＝x(1，μ，2)，则解得所以λ＋μ＝2.故选A． 4．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则直线AB(　　) A．与坐标平面xOy平行 B．与坐标平面yOz平行 C．与坐标平面xOz平行 D．与坐标平面yOz相交 B　解析：因为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，所以＝(0，5，－3)，而坐标平面yOz的法向量为(1，0，0)，显然(0，5，－3)·(1，0，0)＝0，故直线AB与坐标平面yOz平行．故选B． 5．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是________． 答案：－3　解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，∴(2，m，1)＝x(1，0，－1)＋y(0，1，－1)＝(x，y，－x－y)， ∴∴m＝－3. 6．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 答案：α∥β　解析：＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由得令z＝1，则x＝1，y＝1，∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F(，0，0)，E(，，c). 所以＝(0，－b，0)，＝(，－，c)， 设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝(2，0，－). 又＝(－，0，－c)，所以n·＝0， 又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明． (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D． 证明：(1)以D为坐标原点，，，DD1分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)，C(0，2，0). 由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量． 由于＝(0，1，－1)， 则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0， 所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D． (2)由于＝(0，2，0)，＝(0，2，0)， 所以∥，即MP∥DC． 由于MP⊄平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D． 又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，MN，MP⊂平面MNP， 所以由两个平面平行的判定定理， 知平面MNP∥平面CC1D1D． 9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1是(　　) A．异面直线 　　　　B．平行直线 C．垂直不相交 　　　　D．垂直且相交 第9题图 第10题图 　　　 B　解析：设正方体的棱长为1，以D点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)， 设＝(a，b，c)，则 取＝(1，1，－1)， ∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－， ∴∥，∴PQ∥BD1. 10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 答案：　解析：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝a，点P坐标为(0，0，b)，则B1(a，0，1)，D(0，1，0), E(，1，0)，＝(a，0，1)，＝(，1，0)，＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，即(0，－1，b)＝λ(a，0，1)＋μ(，1，0)＝(λa＋，μ，λ). ∴∴b＝λ＝，即AP＝. 11．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°.若点F满足＝λ，当EF∥平面AGH时，求实数λ的值． 解：设菱形ABCD的边长为2，由条件可知AE⊥GE，AE⊥BE，GE⊥BE. 所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 可得A(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，0)，G(0，0，1)，H(0，，2)， ＝(－1，0，0)，＝(－1，，0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，，2). 由＝λ＝(－λ，λ，0)， ＝－＝(－λ，λ，0)－(－1，0，0)＝ (1－λ，λ，0)， 设平面AGH的法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝，则n＝(，－1，). 因为EF∥平面AGH，则n·＝(1－λ)－λ＝0， 即1－2λ＝0，解得λ＝. 12．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是BC，C1D1的中点，点G在AB上，AB＝3BG. (1)已知上底面A1C1内一点H满足GH∥EF，求A1H的长； (2)棱A1D1上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求A1K的长；若不存在，说明理由． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)， (1)因为AB＝3BG，点E，F分别是BC，C1D1的中点， 所以G(2，，0)，E(1，2，0)，F(0，1，2)，设H(λ，μ，2)(λ，μ∈[0，2])，则＝(－1，－1，2)， ＝(λ－2，μ－，2)，因为GH∥EF，所以＝＝，解得λ＝1，μ＝， 所以H(1，，2)，所以＝(－1，，0)，所以||＝＝， 即A1H的长为. (2)假设存在满足条件的点K，设K(λ，0，2)(0≤λ≤2)， 则＝(λ－2，－，2)，＝(－1，，0).因为GK，EF共面， 所以存在实数x，y满足＝x＋y， 即(λ－2，－，2)＝x(－1，，0)＋y(－1，－1，2)， 得解得λ＝，所以K(，0，2)，所以＝(－，0，0)，||＝， 所以存在点K，使得GK，EF共面，且A1K的长为. 13.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E，F分别为PD，PB的中点，点G满足＝λ(0<λ<1)，PA＝4，AB＝2，若OG∥平面CEF，则λ＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD． 又底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD，则PA，AB，AD两两垂直， 以点A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则O(1，1，0)，C(2，2，0)，E(0，1，2)，F(1，0，2)， 所以＝(1，－1，0)，＝(2，1，－2). 设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 令x＝2，得m＝(2，2，3). 设G(0，0，a)，＝(－1，－1，a)， 因为OG∥平面CEF，所以·m＝0， 即－1×2－1×2＋3a＝0，解得a＝， 故AG＝，所以λ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$