空间中线、面平行 同步训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学

厦门外国语学校2025届高二数学练习8: 空间中线、面平行 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知线段AB的两端点坐标为，则线段AB与（ ） A．xOy平行 B．xOz平行 C．yOz平行 D．yOz相交 3．的方向向量，平面α的法向量为，若直线平面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 4．若平面，的法向量分别为，，则 A． B．与相交但不垂直 C． D．或与重合 5．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（ ） A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交 D．垂直且相交 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 8．正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题：①异面直线与垂直；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形； ③三棱锥的体积为④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．其中真命题的序号为（ ） A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、多选题 9．直线的方向向量为，平面的法向量为，若，能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 11．给出下列命题，其中正确的有（ ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直； B．直线的方向向量，平面的法向量，则； C．平面的法向量分别为，则； D．平面经过三点，若向量是平面的法向量，则. 12．如图，在长方体，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．当时，，，三点共线 B．当时， C．当时，平面 D．当时，平面 三、填空题 13．已知点，，，若，，三点共线，则_____. 14．已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为_____. 15．如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________. ①与异面且垂直；②与相交且垂直；③平面；④，，，四点共面. 16．已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________. 四、解答题 17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB//平面EFG； （2）平面EFG//平面PBC. 19．如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD． （1）求证：PB∥平面AEF； （2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积 厦门外国语学校2025届高二数学练习8: 空间中线、面平行答案 1．D【详解】若，则.对选项A，，故A错误，对选项B，，故B错误， 对选项C，，故C错误，对选项D，，故D正确. 2．C【详解】因为，所以AB∥平面yOz. 3．D【详解】因为直线的方向向量，平面α的法向量为，直线平面， 所以，即，解得： 4．A【详解】解：因为平面，的法向量分别为，即，所以 所以 5．C【详解】由已知可得，故，解得. 6．B【详解】设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后如图所示：则，，， ，，＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)， 设＝(a，b，c)，则取＝(1，1，－1)，∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1. 7．B【解析】∵正方体棱长为a，A1M=AN=，∴ ∴== ∵是平面B1BCC1的法向量，且∴∴MN∥平面B1BCC1． 8．B【详解】解：对于①：取的三等分点为，使，又， 且，四边形为平行四边形， 且， 四边形 为平行四边形，，则 为异面直线， 所成的角， 连接，由题意得：，所以， 故①正确；对于②：取 的三等分点为，使，又， 且，四边形 为平行四边形，则 且， 又由①得： 且，于是且四边形 为平行四边形， ，取的中点为，连接，又，， 则四边形 即为所求截面，由题意知：，则②不正确；对于③：， 又面，，所以，故③正确； 对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使， ，则面 即为所求的截面，建立如图所示的空间坐标系， 则，0，，，3，，，3，，，0，，，1，，，，，所以面，由已知条件得： ，等腰梯形 的高为：，所以截面面积为：，故④正确． 9．BD【详解】已知，，则.A选项中，，A选项不满足条件；B选项中，，B选项满足条件；C选项中，，C选项不满足条件；D选项中，，D选项满足条件. 10．AB【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，所以，选项B正确；对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，C选项错误；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误. 11．AD【详解】对A，，，即与垂直，故A正确； 对B，，，则或，故B错误； 对C，不存在实数，使得，故与不共线，则不成立，故C错误； 对D，可得，则，即，解得，即，故D正确. 12．ACD在长方体中，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以， 则，，，，，，，则，．A选项，当时，为线段的中点，根据长方体的结构特征，为体对角线的中点，因此也为的中点，所以，，三点共线，故A正确． B选项，当时，，由题意可得，．由，解得，所以，即点为线段上靠近点的五等分点，所以．则，，所以，所以与不垂直，故B错误． C选项，当时，．设平面的法向量为，由，令，可得．又，所以，因此，又点不在平面内，所以平面，故C正确． D选项，当时，，所以， 所以，，因此，．又，则平面，故D正确． 13．1.【详解】由题意有，，∵，，三点共线，∴ ∴∴.故答案为：1. 14．(-1,0,2)【详解】由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0, 由,得=-2x-z=0,解得故点P的坐标为(-1,0,2). 15．①③④【详解】建立如图所示空间直角坐标系：设正方体棱长为3， ①因为,，所以，又矩形EFHG与矩形的中心重合，且过矩形的中心，所以与异面且垂直，故正确； ②因为,，所以，所以与不垂直，故错误；③由，设平面的一个法向量 ，则，即，令，则,同理求得平面EFN的一个法向量，因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故正确；④因为，则，所以，则，所以，，，四点共面，故正确，故答案为：①③④ 16．【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，即， 又，，，设，，则， ，当，即时，取得最小值，即的长度的最小值为． 17．证明见解析【详解】如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E . 所以＝(0，－b，0)，＝.设平面ABE的一个法向量为＝(x，y，z)，则， 即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即＝.又，所以，又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).　 法一：设平面EFG的法向量为，则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量，∵，∴，所以， ∵PB⊄平面EFG，∴PB//平面EFG. 法二：，，.设，即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，所以解得s＝t＝2.∴，又与不共线，所以，与共面. ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG. （2）由（1）知：，∴，所以BC//EF.又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC，同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG//平面PBC. 19．（1）证明见解析；（2）存在，. 【详解】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，，，，故，，，.因为，所以. （2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时. 又设平面的法向量，所以，得，取，得平面的一个法向量.要使平面，只要，有，解得. 又平面，所以存在点，满足平面，此时. 20．（1）证明见解析（2） 【详解】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，与交于点，平面，为的中点连接交于，点在侧棱上，且， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，，设平面的法向量， 则，取，得，，平面， 平面； （2）解：，，，， 由，解得，，三棱锥的体积：． 学科网（北京）股份有限公司 $