课时梯级训练(8) 空间中点、直线和平面的向量表示(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　空间中点、直线和平面的向量表示 1．已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 A　解析：由题意得a∥b，所以解得x＝－1. 2．设平面α内两个向量的坐标分别为(1，2，1)，(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　) A．(－1，－2，5) B．(－1，1，－1) C．(1，1，1) D．(1，－1，－1) B　解析：设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则即将选项代入可知B选项正确． 3．(2025·茂名高二期中)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2，M在AB上．以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面MCA1的一个法向量为n＝(1，2，1)，则＝(　　) A． B． C． D．1 B　解析：设AM＝x，则A1(4，0，2)，M(4，x，0)，＝(0，x，－2)， 因为平面MCA1的一个法向量为n＝(1，2，1)，则n·＝0，即2x－2＝0，解得x＝1， 故AM＝1，MB＝3－1＝2，故＝.故选B． 4．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是(　　) A．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) B．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) AC　解析：由题意，知A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1).∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A项正确； ∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，∴B项不正确；∵＝(0，1，－1)，＝(－1，0，1)，(1，1，1)·＝0，(1，1，1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C项正确； ∵＝(0，1，1)，而·(0，1，1)＝2≠0，∴(0，1，1)不是平面ABC1D1的法向量，∴D项不正确． 5．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2). (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 解：(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)， ∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量． (2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)， ∵⊥平面α，AM⊂平面α，∴⊥， ∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0. ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得x－y＋z－2＝0. 6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则D(0，，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，C(1，，0)，于是＝(0，，)，＝(1，，0). 设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，则即所以 令y＝－1，则x＝z＝，所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，). 7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－1，3) B．(1，－1，－3) C．(2，－3，6) D．(－2，3，－6) A　解析：设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量为n＝(x，y，z).则A(1，0，0)，E(1，1，)，F(0，1，)， 所以＝(0，1，)，＝(－1，0，)， 则不妨取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n＝(1，－1，3).故选A． 8．(多选)已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，－1)，点P(1，2，3)在α内，则下列点也在α内的是(　　) A．(3，6，1) B．(2，3，6) C．(0，3，4) D．(3，3，－1) BC　解析：若A(x，y，z)为α内的点且与P不重合， 则＝(x－1，y－2，z－3). 因为平面α的一个法向量为n＝(1，2，－1)，所以n·＝x－1＋2y－4－z＋3＝x＋2y－z－2＝0， 即x＋2y－z＝2，显然(3，6，1)，(3，3，－1)不满足，(2，3，6)，(0，3，4)满足．故选BC． 9．(多选)(2025·茂名高二期中)已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(－1，2，1)，则下列说法正确的是(　　) A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是(，，0) C．在上的投影向量是(－2，－1，0) D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) BCD　解析：由题意得，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，＝(－3，1，1). A，若与共线，设＝λ，则，方程无解，故不共线，A错误； B，与同向的单位向量是＝＝(，，0)，B正确； C，在上的投影向量是·＝·＝(－2，－1，0)，C正确； D，设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)， 则令y＝－2， 则n＝(1，－2，5)，D正确．故选BCD． 10．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1). (1)求证：是平面ABCD的法向量； (2)求平行四边形ABCD的面积． (1)证明：·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0， ·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD． 又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD． 所以是平面ABCD的法向量． (2)解：因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6， 所以cos 〈，〉＝＝， 故sin 〈，〉＝， S平行四边形ABCD＝||||sin 〈，〉＝8. 11．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC，E是侧棱CC1上的任意一点，在线段A1C1上是否存在一个定点P，使得D1P⊥AE，证明你的结论． 解：假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P垂直于AE，如图，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系． 依题意可设AB＝a，AA1＝b，EC＝t， D1(0，0，b)，P(x，a－x，b)，A(a，0，0)，E(0，a，t)， 则有＝(x，a－x，0)，＝(－a，a，t)，由·＝x(－a)＋(a－x)a＋0＝0， 解得x＝，即P为A1C1中点，所以假设成立，即线段A1C1中点P，使得D1P⊥AE. 学科网（北京）股份有限公司 $$