第1章 1.1-1.3阶段复习提升课(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 阶段复习提升课 第一章 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 ACD 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 证 明 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 课时梯级训练(7) 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第一册 A　 返回导航 空间向量及其运算 考点一　空间向量的概念及线性运算 [练1] (2025·恩施州高二期中)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为DB上靠近点D的三等分点，N为CC1的中点，设 eq \o(A1B1,\s\up17(→))＝a， eq \o(A1D1,\s\up17(→))＝b， eq \o(A1A,\s\up17(→))＝c，则 eq \o(MN,\s\up17(→))＝(　　) A． eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,2)c B． eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,2)c C． eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,2)c D．－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,2)c 如图，作DD1的中点G，连接MN，NG， 由题意得 eq \o(MN,\s\up17(→))＝ eq \o(MD,\s\up17(→))＋ eq \o(DG,\s\up17(→))＋ eq \o(GN,\s\up17(→))＝ eq \o(MD,\s\up17(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DD1,\s\up17(→))＋a， 因为M为DB上靠近点D的三等分点，N为CC1的中点， 所以 eq \o(MN,\s\up17(→))＝ eq \f(1,3)(b－a)－ eq \f(1,2)c＋a＝ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,2)c，故A正确． [练2] (多选)(2025·浙江金华卓越联盟高二上学期联考)已知a＝(－2，2，2)，b＝(1，2，－1)，则下列说法正确的是(　 　) A．a＋b＝(－1，4，1) B．a∥b C．a⊥b D．cos 〈a，a－2b〉＝ eq \f(\r(3),3) 对于A选项，a＋b＝(－2，2，2)＋(1，2，－1)＝(－1，4，1)，A正确；对于B选项，因为 eq \f(－2,1)＝ eq \f(2,－1)≠ eq \f(2,2)，则a，b不共线，B错误；对于C选项，a·b＝－2＋4－2＝0，所以a⊥b，C正确；对于D选项，a－2b＝(－2，2，2)－2(1，2，－1)＝(－4，－2，4)，a·(a－2b)＝8－4＋8＝12，|a|＝ eq \r(（－2）2＋22×2)＝2 eq \r(3)，|a－2b|＝ eq \r(（－4）2＋（－2）2＋42)＝6，所以cos 〈a，a－2b〉＝ eq \f(a·（a－2b）,|a||a－2b|)＝ eq \f(12,2\r(3)×6)＝ eq \f(\r(3),3)，D正确．故选ACD． 考点二　共线向量、共面向量定理的应用 1．证明空间三点P，A，B共线的方法 (1) eq \o(PA,\s\up17(→))＝λ eq \o(PB,\s\up17(→))(λ∈R)； (2)对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up17(→))＝ eq \o(OA,\s\up17(→))＋t eq \o(AB,\s\up17(→)) (t∈R)； (3)对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up17(→))＝x eq \o(OA,\s\up17(→))＋y eq \o(OB,\s\up17(→)) (x＋y＝1). 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1) eq \o(MP,\s\up17(→))＝x eq \o(MA,\s\up17(→))＋y eq \o(MB,\s\up17(→))； (2)对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up17(→))＝ eq \o(OM,\s\up17(→))＋x eq \o(MA,\s\up17(→))＋y eq \o(MB,\s\up17(→))； (3)对空间任一点O， eq \o(OP,\s\up17(→))＝x eq \o(OM,\s\up17(→))＋y eq \o(OA,\s\up17(→))＋z eq \o(OB,\s\up17(→))(x＋y＋z＝1)； (4) eq \o(PM,\s\up17(→))∥ eq \o(AB,\s\up17(→)) (或 eq \o(PA,\s\up17(→))∥ eq \o(MB,\s\up17(→))或 eq \o(PB,\s\up17(→))∥ eq \o(AM,\s\up17(→))). [练3] (2025·福州高二期中)已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c共面，则λ＝(　　) A．4 B． 2 C．3 D．1 因为a，b，c共面，所以存在两个实数m，n，使得c＝ma＋nb， 即(1，3，λ)＝m(2，－1，3)＋n(－1，4，－2)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－n＝1，,－m＋4n＝3，,3m－2n＝λ，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝1，,λ＝1.)) [练4] 若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________________． 答案：－3　 ∵ eq \o(AB,\s\up17(→))＝(3，－1，1)， eq \o(AC,\s\up17(→))＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得 eq \o(AC,\s\up17(→))＝λ eq \o(AB,\s\up17(→)). 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,m＝－7，,n＝4.))∴m＋n＝－3. 考点三　空间向量数量积的应用 1．利用向量的数量积可证明直线与直线的垂直关系． 2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角． 3．可以通过|a|＝ eq \r(a2)，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解． [例] 如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD． (1)设 eq \o(AB,\s\up17(→))＝a， eq \o(AD,\s\up17(→))＝b， eq \o(AA1,\s\up17(→))＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1． ∵ eq \o(AC1,\s\up17(→))＝ eq \o(AC,\s\up17(→))＋ eq \o(CC1,\s\up17(→))＝ eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AD,\s\up17(→))＋ eq \o(AA1,\s\up17(→))＝a＋b＋c， ∴| eq \o(AC1,\s\up17(→))|＝|a＋b＋c|＝ eq \r(（a＋b＋c）2) ＝ eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a）) ＝ eq \r(12＋12＋22＋2×（0－1－1）)＝ eq \r(2). ∴线段AC1的长为 eq \r(2). (2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈 eq \o(AC1,\s\up17(→))， eq \o(A1D,\s\up17(→))〉|＝eq \o(AC1,\s\up17(→)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(· eq \o(A1D,\s\up17(→)),| eq \o(AC1,\s\up17(→))|| eq \o(A1D,\s\up17(→))|))) . ∵ eq \o(AC1,\s\up17(→))＝a＋b＋c， eq \o(A1D,\s\up17(→))＝b－c， ∴ eq \o(AC1,\s\up17(→))· eq \o(A1D,\s\up17(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， | eq \o(A1D,\s\up17(→))|＝ eq \r(（b－c）2)＝ eq \r(|b|2－2b·c＋|c|2)＝ eq \r(12－2×（－1）＋22)＝ eq \r(7). ∴cos θ＝eq \o(AC1,\s\up17(→)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(· eq \o(A1D,\s\up17(→)),| eq \o(AC1,\s\up17(→))|| eq \o(A1D,\s\up17(→))|))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2,\r(2)×\r(7))))＝ eq \f(\r(14),7). 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 eq \f(\r(14),7). (3)∵ eq \o(AA1,\s\up17(→))＝c， eq \o(BD,\s\up17(→))＝b－a， ∴ eq \o(AA1,\s\up17(→))· eq \o(BD,\s\up17(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴ eq \o(AA1,\s\up17(→))⊥ eq \o(BD,\s\up17(→))，∴AA1⊥BD． [练5] 如图，在正四面体OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝3GE. (1)试用向量 eq \o(OA,\s\up17(→))， eq \o(OB,\s\up17(→))， eq \o(OC,\s\up17(→))表示向量 eq \o(OG,\s\up17(→))； (2)若正四面体的棱长为2，求 eq \o(OG,\s\up17(→))· eq \o(AB,\s\up17(→))的值． (1)因为点E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝3GE， 根据向量的线性运算法则，可得 eq \o(OG,\s\up17(→))＝ eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \o(AG,\s\up17(→))＝ eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(AE,\s\up17(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \f(3,4)× eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up17(→))＋ eq \o(AC,\s\up17(→)))＝ eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \f(3,8)( eq \o(OB,\s\up17(→))－ eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \o(OC,\s\up17(→))－ eq \o(OA,\s\up17(→)))＝ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up17(→))＋ eq \f(3,8) eq \o(OC,\s\up17(→))， 即 eq \o(OG,\s\up17(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→))＋ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up17(→))＋ eq \f(3,8) eq \o(OC,\s\up17(→)). (2)因为正四面体的棱长为2，且〈 eq \o(OA,\s\up17(→))， eq \o(OB,\s\up17(→))〉＝〈 eq \o(OA,\s\up17(→))， eq \o(OC,\s\up17(→))〉＝〈 eq \o(OB,\s\up17(→))， eq \o(OC,\s\up17(→))〉＝60°， 可得| eq \o(OA,\s\up17(→))|＝| eq \o(OB,\s\up17(→))|＝2，且 eq \o(OA,\s\up17(→))· eq \o(OB,\s\up17(→))＝ eq \o(OA,\s\up17(→))· eq \o(OC,\s\up17(→))＝ eq \o(OB,\s\up17(→))· eq \o(OC,\s\up17(→))＝2×2cos 60°＝2， 由(1)可得知 eq \o(OG,\s\up17(→))· eq \o(AB,\s\up17(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(OA,\s\up17(→))＋\f(3,8)\o(OB,\s\up17(→))＋\f(3,8)\o(OC,\s\up17(→))))·( eq \o(OB,\s\up17(→))－ eq \o(OA,\s\up17(→))) ＝ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→))· eq \o(OB,\s\up17(→))－ eq \f(1,4)| eq \o(OA,\s\up17(→))|2＋ eq \f(3,8)| eq \o(OB,\s\up17(→))|2－ eq \f(3,8) eq \o(OA,\s\up17(→))· eq \o(OB,\s\up17(→))＋ eq \f(3,8) eq \o(OC,\s\up17(→))· eq \o(OB,\s\up17(→))－ eq \f(3,8) eq \o(OC,\s\up17(→))· eq \o(OA,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,4)×2－ eq \f(1,4)×22＋ eq \f(3,8)×22－ eq \f(3,8)×2＋ eq \f(3,8)×2－ eq \f(3,8)×2＝ eq \f(1,4). $$