课时梯级训练(5) 空间直角坐标系(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(5)　空间直角坐标系 1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　) A．y轴上 B．Oxy平面上 C．Ozx平面上 D．第一象限内 C　解析：因为点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在Ozx平面上． 2．(2025·成都高二期中)已知空间点P(－3，1，－4)，则点P关于y轴对称的点的坐标为(　　) A．(－3，－1，－4) B．(－3，－1，4) C．(－3，1，4) D．(3，1，4) D　解析：依题意，点P(－3，1，－4)关于y轴对称的点的坐标为(3，1，4).故选D． 3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面Oxy的垂线PQ，则点Q的坐标为(　　) A．(0，，0) B．(0，，) C．(1，0，) D．(1，，0) D　解析：由于点Q在xOy平面内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为(1，，0). 4．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝1，AA1＝3，已知向量a在基底{，， }下的坐标为(2，1，－3).若分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为(　　) A．(2，1，－3) B．(－1，2，－3) C．(1，－8，9) D．(－1，8，－9) D　解析：设＝i，＝4j，＝3k，a＝2＋－3＝2－－3＝8j－i－9k＝(－1，8，－9). 5．在空间直角坐标系中，点A(－3，1，4)关于Oxy平面对称的点B的坐标为________． 答案：(－3，1，－4)　解析：由题意可得，点A(－3，1，4)关于xOy 平面的对称点的坐标是B(－3，1，－4). 6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是________． 答案：(3，2，5)　解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，所以向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3，2，5). 7．已知正四棱锥P­ABCD的底面中心为O，AB＝2，PA＝2，如图建立空间直角坐标系Oxyz. 求点A，D，P的坐标． 解：由已知，在Rt△POA中，∵OA＝，PA＝2，∠POA＝90°，∴OP＝. ∴A(，0，0)，D(0，－，0)，P(0，0，). 8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 解：(1)D为坐标原点(0，0，0).因为点A在x轴上，且DA＝2，所以＝2i＋0j＋0k.所以点A的坐标为(2，0，0).同理可得点C(0，2，0)，D1(0，0，2). 点B在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D，它们在坐标轴上的坐标分别为2，2，0，所以点B的坐标为(2，2，0).同理可得点A1(2，0，2)，C1(0，2，2). 因为点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D1，它们在坐标轴上的坐标分别为2，2，2，所以点B1的坐标为(2，2，2). (2)同(1)可得F(0，1，0)，E(2，2，1).所以＝＋＝0i＋0j＋k＝(0，0，1)， ＝＋＝＋＋＝2i＋j＋k＝(2，1，1)， ＝＋＝2i＋j＋2k＝(2，1，2). 9．如图，棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A，B，C分别在空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴上，则点D的坐标为(　　) A．(1，1，1) B．(，，) C．(，，) D．(2，2，2) A　解析：将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示. 因为|AB|＝|BC|＝|AC|＝，所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，所以点D的坐标为(1，1，1). 10．三棱锥P­ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，，方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Bxyz，则的坐标为(　　) A．(－，0，) B．(，0，－) C．(，－，0) D．(0，－，) B　解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＝i－k＝(，0，－). 11．(多选)已知空间直角坐标系Oxyz中的点P(1，2，3)，则(　　) A．OP的中点坐标为(，1，) B．与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，2，3) C．与点P关于原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3) D．与点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，－2，－3) AC　解析：∵P(1，2，3)，∴OP的中点坐标为(，1，)，A项正确；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，B项错误；与点P关于原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，C项正确；与点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)，D项错误．故选AC． 12．(2025·济南高二期中)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若向量的坐标为(－4，3，2)，则向量的坐标为________． 答案：(4，3，－2)　解析：可设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，依题意可得A(a，0，0)，C1(0，b，c)， 则＝(－a，b，c)＝(－4，3，2)，所以a＝4，b＝3，c＝2， 则点D1(0，0，2)，B＝(4，3，0)，所以＝(4，3，－2). 13．如图，点A(0，0，a)，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求D，C，E，F这四点的坐标． 解：∵点A(0，0，a)，∴AB＝a， 又AB⊥平面BCD，∠ADB＝30°，∴BD＝a， 又BC＝CD，∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝a， ∴点C到x轴，y轴的距离均为a，又E，F分别是AC，AD的中点， ∴D点坐标为(0，a，0)，C点坐标为(a，a，0)，E点坐标为(a，a，a)，F点坐标为(0，a，a). 14．已知在棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求M点的坐标． 解：易知△BCD的中线长为×2＝，则OC＝. 所以OA＝＝＝， 设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的交点为E，则OE＝BD＝， 所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝[＋＋(－)]＝－＋＝i－j＋k，所以＝(，－，). 所以M点的坐标为(，－，). 学科网（北京）股份有限公司 $$