1.3.1 空间直角坐标系 课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.1空间直角坐标系 一、选择题 1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3) 2．已知点N与点M(1，－2，3)关于x轴对称，则点N的坐标为(　　) A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3) C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3) 3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点，如图所示建系，则MN的中点的坐标为(　　) A．(2，3，3) B． C． D．(0，－1，－1) 4．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则C的坐标为(　　) A．(－2，0，－2) B．(2，0，2) C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2) 5．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 6．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)，则a＋b＋c的值(　　) A．10 B．－17 C．－9 D．2 7．设点M为不在坐标平面上的点．若点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，M1关于坐标原点的对称点为M2，则M关于以下哪条坐标轴对称可以得到M2(　　) A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．以上都不对 8．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　) A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值 C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D．已知＝(1，0，0)＝(0，1，0)＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝ 二、填空题 9．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐标形式可表示为________． 10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系． 则的坐标为________，的坐标为________． 11．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为________． 12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________． 三、解答题 13．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3． (1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； (2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． 14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量的坐标． 15．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]． (1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N为线段D1C1的中点．如图，以{}为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若＝[2，－2，0]，求与夹角的余弦值． 答案 1．A　[＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．] 2．A　[依题意，点M(1，－2，3)关于x轴的对称点N(1，2，－3)．故选A．] 3．B　[因为AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点， 则A1(0，0，2)，C1(4，4，2)，C(4，4，0)，D1(0，4，2)，故M(2，2，2)，N(2，4，1)，所以MN的中点的坐标为．故选B．] 4．C　[∵A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故选C．] 5．ACD　[由题图及已知可得：点B1的坐标为(4，5，3)，故A正确； 点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点为(8，5，－3)，故B错误； 长方体中，AD1＝BC1＝＝5＝AB， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确； 点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，故D正确．故选ACD．] 6．C　[点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M'的坐标为(－4，－2，15)， 则解得a＝4，b＝－5，c＝－8，故a＋b＋c＝－9．故选C．] 7．B　[设M(x，y，z)，点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1， 故M1(x，－y，z)，M1关于坐标原点的对称点为M2， 则M2(－x，y，－z)，M关于y轴对称得到M2，故ACD错误，B正确．故选B．] 8．BC　[a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ， 因为0<θ<π，且θ≠，所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O⁃ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×，故D错误．故选BC．] 9．(－5，0，2)　[因为{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)． 所以向量b＝－5i＋2k用坐标形式表示为(－5，0，2)．] 10．(0，4，－3)　(－4，0，－3)　[设i，j，k分别为方向上的单位向量，则＝4j－3k，＝－4i－3k， 所以＝(0，4，－3)，＝(－4，0，－3)．] 11．　[()－()＝，故．] 12．(1，1，1)　　[由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc．∵p＝2a＋b－c，∴，y＝，z＝－1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为．] 13．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝6， 所以AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3． 所以各点坐标分别为A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，0)，O(0，0，0)，O1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，3，4)，C1(－3，0，4)，D1(0，－3，4)，M(0，3，2)，N(－3，0，3)． (2)由题意得A(6，0，0)，B(6，6，0)，C(0，6，0)，D(0，0，0)，A1(6，0，4)，B1(6，6，4)，C1(0，6，4)，D1(0，0，4)，O(3，3，0)，O1(3，3，4)，M(6，6，2)，N(0，6，3)． 14．解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设＝i，＝j，＝k，则＝0i＋j＋0k＝(0，1，0)，＝k＋＝i－j＋k＝(1，－1，1)． ＝i－j＋2k＝(1，－1，2)． 15．解：(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，得a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k，所以a＋b＝[0，3，5]． (2)设i，j，k分别为与同方向的单位向量， 则＝2i，＝2j，＝3k， ①＝2j＋3k－i＝－i＋2j＋3k，所以＝[－1，2，3]． ②因为＝[2，－2，0]，所以＝2i－2j， 则||＝|2i－2j|＝＝2，因为|，所以·＝(－i＋2j＋3k)·(2i－2j)＝4i·j＋6i·k－2i2－4j2－6k·j＋2i·j＝－3， 所以cos<， 所以． 1/8 学科网（北京）股份有限公司 $