课时梯级训练(3) 空间向量基本定理(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(3)　空间向量基本定理 1．以下四个命题中正确的是(　　) A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则a，b，c全不是零向量 C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 B　解析：因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B． 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列与相等的向量是 (　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b＋c D．－a－b＋c A　解析：＝＋＝＋(＋)＝c＋b－a. 3．已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AB＝1，BC＝，则空间的一个单位正交基底可以是(　　) A． B． C． D． A　解析：因为SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以SA⊥AB，SA⊥AC． 因为AB⊥AC，AB＝1，BC＝，所以AC＝2.又SA＝1，所以空间的一个单位正交基底可以为. 4．(2025·聊城高二开学考试)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则用基底{a，b，c}表示向量为(　　) A．a－b＋c B．a－b＋c C．a－b－c D．a－b＋c B　解析：连接BD，如图， 因为E是PD的中点，所以＝(＋)＝(－b＋＋)＝－b＋(－＋－)＝－b＋(a＋c－2b)＝a－b＋c. 5．(多选)(2025·四川部分名校高二期中联考)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是(　　) A．2a＋b，2a－b，b B．a＋b－c，a－b－c，a C．a＋b，a－b，a＋c D．a－2b，2c－6a，3a－c BC　解析：对于A选项，2a＋b＝(2a－b)＋2b，所以2a＋b，2a－b，b共面； 对于B选项，假设a＋b－c，a－b－c，a共面， 则存在λ，μ∈R使得a＝λ(a＋b－c)＋μ(a－b－c)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b－(λ＋μ)c. 因为构成空间的一个基底，则无解， 假设不成立，故a＋b－c，a－b－c，a不共面； 对于C选项，假设a＋b，a－b，a＋c共面， 则存在m，n∈R，使得a＋c＝m(a＋b)＋n(a－b)， 所以c＝(m＋n－1)a＋(m－n)b，则a，b，c共面，与题设相矛盾， 故a＋b，a－b，a＋c不共面； 选项D，因为2c－6a＝－2(3a－c)，则2c－6a，3a－c共线，则a－2b，2c－6a，3a－c共面．故选BC． 6．(2025·郑州高二期中)已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，p＝a－2b＋3c，若p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则x＋y＋z＝__________． 答案：4　解析：p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， 因为p＝a－2b＋3c，所以x＋y＝1，x－y＝－2，z＝3， 故x＋y＋z＝1＋3＝4. 7．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y2＋z3，则x＋y＋z＝________． 答案：3　解析：＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.故x＋y＋z＝3. 8．如图所示，点P为平面ABCD外一点，M是线段AB的中点，N是线段PC上靠近点C的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，用基底{，，}表示，. 解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝， 所以＝＋＋＝－＋＋＝＋－， 所以＝＋＋＝＋＋ ＝－＋＋(＋－)＝＋＋. 9．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 解：(1)如图所示，＝＋＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋＝－(AA1＋)＋(＋)＝(a－c). (2) ＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c， 又＝xa＋yb＋zc，∴x＝，y＝－，z＝－1. 10．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于(　　) A．＋＋ B．(＋＋) C．(＋＋) D．＋＋ B　解析：如图，＝(＋)＝＋×(＋)＝＋＋＝(＋＋). 11．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ C　解析：对于选项A，由＝＋＋(＋＋＝1)⇒M，A，B，C四点共面，即，，共面；对于选项BD，易知，，共面，故选C． 12．已知ABCD­A′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设＝α＋β＋γ，则α＋β＋γ＝________． 答案：　解析：∵＝，＝， ∴＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝ ＋＋. ∵＝α＋β＋γ， ∴α＝，β＝，γ＝，故α＋β＋γ＝. 13．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________． 答案：0　解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3为不共面的向量． 又λe1＋μe2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0， ∴λ2＋μ2＋v2＝0. 14．如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，点E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________． 答案：－－＋　解析：连接AG交BC于点M，连接AE(图略)，则＝－＝＋－＝＋(－)－×(＋)＝－－＋. 15．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3. (1)判断P，A，B，C四点是否共面； (2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由． 解：(1)假设P，A，B，C四点共面， 则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1， 即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)， 则可以得到关于x，y，z的方程组 解得 与x＋y＋z＝1相矛盾，故P，A，B，C四点不共面． (2)若，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n， 同(1)可证，，，不共面， 因此{，，}可以作为空间的一个基底， 令＝a，＝b，＝c， 由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b， e1＋e2－e3＝c，得 所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30. 学科网（北京）股份有限公司 $$