课时梯级训练(42) 圆锥曲线中的最值、范围问题(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(42)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是4. (1)求椭圆C的方程； (2)设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程． 解：(1)因为椭圆的右焦点(c，0)到直线x－y＋2＝0的距离是4， 所以＝4，c＝2， 又因为离心率e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)①当直线l的斜率不存在时，|AB|＝4. ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立得(1＋3k2)x2＋12kx＝0， ∵由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，∴x1＝0，x2＝－， ∴|AB|＝|x2－x1|＝||， 令t＝1＋3k2(t≥1)， 则|AB|2＝(1＋k2)×＝16(－＋＋1)(t≥1)， 故当＝，即t＝4时，|AB|2＝16(－＋＋1)(t≥1)取得最大值，即k＝±1时，|AB|2的最大值为18，即|AB|的最大值为3，故当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. 2．(2025·浙江高二期中)已知椭圆＋＝1(a>b>0)左、右焦点分别为F1，F2，点(0，)在椭圆上，过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，当直线BD的斜率为0时，|BD|＋|AC|＝7. (1)求椭圆的方程； (2)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的取值范围； (3)求四边形ABCD的面积的最小值． 解：(1)当直线BD的斜率为0时，直线AC垂直于x轴， ∴|BD|＝2a，|AC|＝，即|BD|＋|AC|＝2a＋＝7， 又点(0，)在椭圆C上，所以b＝， 解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1. (2)由(1)得F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x，y)， 则PF1·PF2＝x2＋y2－1＝x2＋3(1－)－1＝＋2， 因为x∈[－2，2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1·PF2有最小值2； 当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值3， 所以PF1·PF2的取值范围为[2，3]. (3)当BD的斜率k存在且k≠0时，设BD的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1， 化简得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，必有Δ>0， 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝， |BD|＝|x1－x2|＝＝ . 因为AC⊥BD，所以AC的斜率为－， 所以|AC|＝＝. 四边形ABCD的面积 S＝|BD||AC|＝≥＝， 当且仅当4k2＋3＝3k2＋4，即k2＝1时，等号成立； 当BD的斜率k＝0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积为6. 综上，四边形ABCD的面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$