1.2 空间向量基本定理同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理 一、单项选择题 1.若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列可与向量a+c,a-2c构成一个基底的向量 是() A.a B.c C.a+2b D.a+2c 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O, 点G为BD上一点，BG=2GD,PA=a,PB=b,P元=c,用基底{a,b,c}表示向量 PG=() B- A.号a-b+号cB.寺a-b+号c C.号a+b+号c D.青a-b-c 3.如图，在四面体0ABC中，OA=a,O2=bO元=c,点M是0A的中点，点N在 BC上，且C元=2N丽，设M=xa+yb+zC,则x,y,z的值为() A寺，寺，号B.,号，青C.-克，，青D.-,号 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M,N分别为棱BC, PD上的点，器=青，PN=ND,设A成=a,A=b,A=c,则向量M可用基 底{a,b,c表示为() M A.a+c B.-a+b+c C.a-b+c D.-a-b+c 5.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1=2AB,N是B1C1的中点，G是CN的中 点，若A1C=xA1B1+yA1C1+zA1A,则x+y+z=（） B A.B.1 C.D. 6.如图，在平行六面体ABCD-AB1C1D1中，AB=AD=1,AA=V2, LBAA1=LDAA1=45°，∠BAD=60°，则AC=() A.1B.5C.9D.3 二、多项选择题 7.平行六面体ABCD-ABC1D1中，可以构成空间的一个基底的是() A.AC,AB AD B.AB,AAy DC1 C.D A DCL D.D D.AC,BB1 AC 8给出下列命题，其中正确的有()》 A.空间任意三个向量都可以构成一个基底 B.已知向量ab,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc D.如果a,b是两个单位向量，那么a=d 9.下列关于空间向量的命题中，正确的是() A.若空间向量，b,满足=6，则：=6 B.若非零向量，6，，满足a16,61c,则有a川d C.若OAO,O元是空间的一组基底，且0i=可A+可+可元，则AB,CD四点 共面 D.若向量+6,6+己，+是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 三、填空题 10.已知向量a,b,c构成空间的一个单位正交基底{a,b,c,若d=3a+4b+c,且 d=x(a+2b)+yb+3c)+(c+a),x= 11如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱DD1的中点，E为棱BB1上 点，记=x庙+y而+zAA1,若x+y+z=青，则器= D A D B 12.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中（底面为直角三角形的直棱柱），M,N分别是 A1C1,BB1的中点，AB=2AA1=2AC,动点G在线段MN上运动，若 AG=xAA +yAB+zAC,x+y+z= B 四、解答题 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC=4, ∠ABC=∠BCP=∠DCP=120°，记A=a,A⑦=b,C=c (1)用基底{a,b,c表示向量B,A; (2)利用空间向量证明PA1BD; (3)求AP的长。 14.如图，在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，底面ABCD EF是正六边形，设 AB=a,A=b,AA=c。 (1)用a,b,c表示AD,A1C: (2)若cos∠BAA1=cos∠PAA1=,AB=2,AA1=4,求： 间AcAd: (过A正 E 0 D B 15.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,点E在棱 BB1上，EB1=1,D,F,G分别为棱CC1,B1C1,A1C1的中点，EF与B1D相交于 点H。求证： (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EFG‖平面ABD。 B C D A G 一、单项选择题 1.答案：C 解析：空间向量构成基底的充要条件是三个向量不共面。 已知a,b,c}是空间基底，故ab,c两两不共面。 对选项A:a=[2(a+c+(a-2c小，即a可由a+c、a-2c线性表示，共面，不 能构成基底： 对选项B:c=a十c)-(a-2c,即c可由a+c、a-2c线性表示，共面，不能 构成基底： 对选项C:假设a+2b=m(a+c+n(a-2c,整理得 a+2b=(m+n)a+(m-2n)c,系数对应无实数解，故a+2b与a+c、a-2c不共 面，可构成基底： 对选项D:a+2c=[4(a+c-(a-2c小，即a+2c可由a+c、a-2c线性表示， 共面，不能构成基底。 2.答案：A 解析：利用向量线性运算逐步推导： 四边形ABCD为平行四边形，故BD=BA+B元 由PA=a、PB=b、PC=c,得BA=PA-PB=a-b,B元=P元-PB=c-b, 因此Bi=(a-b+(c-b)=a+c-2b。 由BG=2GD,得BG=Bi=(a+c-2b) 最终PG=PB+BG=b+(a+c-2b)=号a-青b+号c。 3.答案：C 解析：用向量中点性质与共线关系表示M: M是0A中点，故OM=OA=a。 N在BC上且CN=2NB,故O=OB+BN=b+BC=b+{c-b)=号b+c 由M六=O市-O应，得M=-a+b+青c,故x=-方、y=号、z=青。 4.答案：D 解析：建立“基底+坐标”双重验证： 设A丽=a、AD=b、A驴=c,则M元=-c方=-b,C=-A成=-a D=D驴=A-A)=(c-b): 由向量加法：M=M元+c⑦+D=-青b-a+(c-b)=-a-b+c 5.答案：C 解析：利用三棱台比例关系与中点性质： 设AB1=2a、AC1=b、AA=c,由三棱台性质得A=a、AC=b。 N是B1C1中点，故A1N=A1B1+B1N=2a+(b-2a=a+b。 C=A1C=AA+AC=c+b,G是CN中点，故 A1G=(A1C+A)=(c+b+a+b)=(2a+b-c。 对比A1C=xA1B1+yAC1+zA1A,得x=、y=克、z=-,故x+y+z=寻。 6.答案：D 解析：用向量模长公式计算AC: 平行六面体中AC=丽+A而+AA,模长平方为： AC-A+A+AA2+2A重.A+2A丽.A41+2币.A4 代入条件：A=A=1、AA=V2,AB.A=1×1×cos60=, A.AA=而·AA=1×V2×cos45=1,得： AC=1+1+2+2×+2×1+2×1=9→AC=3 二、多项选择题 7.答案：AC 解析：判断向量是否共面： 选项A:A元、AB1、AD分别对应平行六面体从A出发的“体对角线+面对角线”， 三者不共面，可构成基底； 选项B:DC=D元+CC=A+AA,即DC可由A、AA线性表示，共面，不能 构成基底； 选项C:DA1、DC、DD对应从D1出发的三条棱，两两垂直且不共面，可构成 基底： 选项D:AC1=AC+AA1=AC+BB1,即AC可由AC、BB1线性表示，共面，不 能构成基底。 8答案：BD 解析：逐一分析命题正确性： 选项A:空间中共面的三个向量不能构成基底（如三条平行向量），需“不共面”， 故A错误： 选项B:若a‖b,则a与b共线，根据基底定义，共线向量无法与第三个向量构成 基底，故B正确： 选项C:仅当{a,b,c}是空间基底时，对任意向量p,存在唯一有序实数组(xy,z 使p=xa+yb+zc,缺少“基底”条件，故C错误； 选项D:单位向量的定义是“模为1的向量”，故任意两个单位向量的模相等，即 a=b,故D正确。 9.答案：CD 解析：结合空间向量性质判断： 选项A:a=b仅说明模相等，方向可能不同（如相反向量)，故a与b不一定相等， A错误； 选项B:aLb且b⊥c时，a与c可能异面或相交（如长方体中从同一顶点出发的三 条棱)，不一定平行，B错误； 选项C:由0i=号OA+0+OC,系数和号+青+专=1，根据共面定理， AB,CD四点共面，C正确； 选项D:假设a,b,c共面，则存在)，μ使a=b+4c,代入得a+b=(+1)b+uc、 b+c=b+c、c+a=uc+(+1)b,三者共面，与“a+b,b+c,c+a是基底”矛 盾，故a,b,c不共面，可构成基底，D正确。 三、填空题 10.答案：2 解析：利用向量系数对应相等列方程： 展开d=x(a+2b)+yb+3c)+z(c+a=(x+za+(2x+y)b+(3y+zc。 已知d=3a+4b+c,故列方程组： X+z=3 2x+y=4 3y+z=1 解得x=2、y=0、z=1,故x=2。 11.答案：言 解析：用向量表示京并结合系数和条件： 设器=入，则B它=AA,B1E=(1-AA1 F是DD1中点，故D市=AA,因此： E=E亩+BA+A+D市=-AA1-A庙+A应+AA=-A店+A⑦+(-λ)AA1 由x+y+z=-1+1+(3-1)=青，解得=言。 12.答案： 解析：用参数法表示动点G并计算系数和： 设AA=1,则AB=2、AC=1,建立坐标系：A0,0,0)、A(0,0,1)、C(0,1,1)、 B(2,0,0、B(2,0,1)。 M是A1C1中点，M(0,,1):N是BB1中点，N2,0,) 设M心=tM(te[0,1])，则c(2t,青-吉t,1-t 由AG=xAA1+yA丽+zAC,得x=1-t、y=t、z=青-t,故x+y+z=。 四、解答题 13.解： (1)用基底表示向量： 菱形中BD=AD-AB=b-a(因A=B元=b); A驴=AB+B元+C=a+b+c(因C=c,方向从C到P)。 (2)证明： 计算数量积A.Bi=(a+b+c(b-a: =b2-a2+bc-a·c 代入条件：a=b=3(菱形边长)，故b2-a2=0;∠BCP=∠DCP=120。,故 b:c=|b dcos60°=3×4×支=6，ac=6,因此： A.BD=0+6-6=0→PA1BD (3)解： 计算A=a+b+子： =a2+lb2+d2+2ab+2a·c+2b·c 代入a·b=4cos60°=3×3×支=号，得： A=9+9+16+2×号+2×6+2×6=67曰AP=V67 14.解： (1)如图所示，连接AD, 因为六边形ABCDEF为正六边形，所以A丽+A正=A而，则A⑦=2+26，所以 AD=A而-AA1=2a+26-c,AC=AD+D元=AD-A=2a+6-. (2)因为六边形ABCDEF为正六边形，所以∠BAF=等，又 cos∠BAA1=CosLFAA1=,AB=2,AA1=4,所以 同=同=2月=4，i=cos等=-2，京=6=×=2. Ac.A0=2a+6-(2+26-习=4+26+2+6a6-36.2-4绿元=16+8+16-12-6 (的由(1)知A=2a+26.因为 A21=Ai+DE+EE1=Ai-A丽+AA1=2a+26-+=a+26+元，所以 到=+26+ =2+462+2+4冠6+46元+2a元 =V4+16+16-8+8+4=2W10. 15.证明：