第十章 分式（复习讲义）数学北京版2024八年级上册

第十章 分式（复习讲义） 1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。 2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。 4.学会解分式方程，并能掌握含参的分式方程的解题技巧。 5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 分式的概念 形如的式子叫做分式，其中A，B是两个整式，且B中含有字母 π不是字母 分式有意义 分母不为零 忽略分母不为零 分式的值 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 忽略分母不为零 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 忽略分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式 约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 最简分式 分子和分母没有公因式 分子和分母仍有公因式 分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 结果应化为最简分式或整式 分子分母是多项式，应先进行因式分解 分式的乘方 分子分母分别乘方 忽略分子或分母乘方 分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 结果应化为最简分式或整式 通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 分式方程 分母中含有未知数的方程 与整式方程混淆 解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 分式方程无解时，不知如何求参数的值 列分式方程解决实际问题 审、找、设、列、解、检、答 找不出等量关系 题型一 分式的定义 【例1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的概念进行判断即可． 【详解】解：由，，，，可知， 分式有：，共个， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的定义，解题的关键是正确理解：一般地，如果，表示两个整式，且中含有字母（），那么式子就叫分式． 【变式1-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在式子，，，，，，中，分式的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据分式的概念“一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么叫做分式”进行判断即可得． 【详解】解：，，，是分式，有4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式，解题的关键是掌握分式的概念． 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式和整式的定义，掌握分式和整式的定义是解题的关键． 根据整式和分式的定义即可解答，形如，A、B是整式，B中含有字母，这样的式子叫分式． 【详解】解：整式有； 分式有； 故答案为：；． 题型二 分式有无意义的条件 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式有意义，则实数满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义，分式有意义的条件是分母不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴ 故选：C 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期末）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为，由此计算即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）当时，分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义时，分母等于零求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若分式没有意义，则x的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，解此类问题，只要令分式中分母等于0，求得字母的值即可． 要使分式无意义，分式的分母为0，即，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 分式的求值 【例3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级下·四川内江·期中）分式，则分式的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．先根据题意得出，再代入分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ； 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确求出是解题的关键． 先根据完全平方公式得到，进而求出，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为或3． 故选D． 【变式3-3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 根据分式值的情况求范围 【例4】（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 【变式4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． （1）根据分式值为零的条件：分子为零，分母不为零，解答即可； （2）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：∵分式的值是， ∴且， ∴， ∴当时分式的值是零． （2）解：∵分式的值为正数， ∴或 不等式组①无解， 解不等式组②得：， ∴的取值范围是． 题型五 分式的基本性质 【例5】（24-25八年级下·山东青岛·期末）下列分式中，与分式结果相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分子分母同乘以一个非零数，分式的值不变是解题关键．根据分式的性质将各选项变形比较即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式化简的法则依次判断即可求解． 【详解】解：A、，所以正确，符合题意； B、当时，，所以不正确，不符合题意； C、，所以原式不正确，不符合题意； D、，所以原式不正确，不符合题意； 故选：A ． 【变式5-2】（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 【变式5-3】（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（22-23八年级上·北京顺义·期末）将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 将原分式中的和均扩大为原来的2倍，代入后化简新分式，观察其与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和均扩大为原来的2倍时，新分式为， 分式化简得，与原分式完全相同， 故选：A． 【变式6-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若把分式中的字母x和y同时扩大3倍，则分式的值将 ． 【答案】变为原来的三分之一 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同乘以相同的倍数，分式的值不变．根据分式的基本性质，分子分母同乘以相同的倍数，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：中的字母和同时增加3倍， ， 所以分式的值将变为原来的三分之一． 故答案为：变为原来的三分之一． 【变式6-2】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的求值，根据题意可得，据此可得． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴原分式的值为， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）运用分式的知识，解决以下问题： （1）当时，随着的增大，的值 （填“增大”或“减小”）； （2）当时，若无限增大，则的值无限接近一个数，这个数为 ． 【答案】 减小 3 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题关键． （1）根据分式的性质作答即可； （2）将化为，再根据分式的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，随着的增大，的值减小， 故答案为：减小； （2）， 当时，若无限增大，的值无限接近于0， 则的值无限接近于3， 故答案为：3． 题型七 最简分式与最简公分母 【例7】（24-25八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 【变式7-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化成最简分式． 找出分子分母的最大公因式即可． 【详解】解：分式存在最大公因式， ∴应将其分子分母同时约去的公因式为， 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母，确定两个分式的最简公分母，需将各分母分解因式后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式的分母为，分解为和； 分式的分母为，分解为和． 各分母的因式包括、、，次数均为1次． 因此，最简公分母为， 故选：A． 【变式7-3】（24-25八年级下·河南周口·期末）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母． 根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：，， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 题型八 约分与通分 【例8】（24-25八年级下·山东青岛·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分．根据分式的基本性质进行约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式8-1】（24-25七年级下·广西梧州·期末）已知，均不等于0，且满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，分式的化简．由得到，因此，代入分式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分子为平方差公式，分母提取公因式后，可约去公因式即可解答． （2）分别分析分母的系数和字母部分，找到最小公倍数后合并分子． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2），． 【变式8-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 题型九 分式的四则运算 【例9】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先把括号内通分，再把除法转化为乘法，约分化简，然后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先确定符合，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后通分后进行同分母的减法运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9-2】（2025·安徽芜湖·三模）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的混合运算，先把除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，接着通分，然后进行同分母的减法运算． 【详解】解： ． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的混合计算，熟知分式的相关计算法则是解题的关键． （1）先把原式变形为，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】（1）解∶ 原式          ． （2）解∶ 原式          题型十 分式的实际应用 【例10】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)乙的平均单价更便宜，见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，弄清平均价格是解本题的关键． （1）利用两次加油的价格以及购买的质量与钱数得出即可； （2）根据总钱数除以总千克数求出甲乙两人加油的平均价格，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解：， ， ， ，， 即， 答：乙的平均单价更便宜． 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 【答案】任务1：；任务2：、；任务3：选择乙购买方案，理由见解析；任务4：金额 【分析】本题考查了分式的混合运算，利用作差法，找出两分式的大小是解题的关键． 任务1：二者作差后，可得出，根据得出； 任务2：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，即可求出结论； 任务3：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，用含a,b的代数式表示出甲、乙两人两次买大米的均价，作差后，即可求解； 任务4：由任务3的结论，即可得出结论． 【详解】解：任务1： ∵， ∴ ∴ ∴ 任务2：∵第二次甲购买大米的金额为（元），乙购买大米的质量为（千克）， ∴甲两次买大米的均价为（元/千克），乙两次买大米的均价为（元/千克） 故答案为：、． 任务3：选择乙购买方案 理由如下：∵甲均价元 乙均价元 ∴ ∴选择乙购买方案 任务4：根据任务3的结论，得：任务3的素材4中习惯的人按相同金额加油更合算． 故答案为：金额． 题型十一 分式的化简求值 【例11】（24-25八年级下·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简． 先通分算括号内的，把除化为乘，约分后将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 【变式11-1】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）先化简，再求值：，并从、1、中选一个数作为x的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式运算法则化简，同时注意分式有意义的条件，选择合适的x值代入． 对括号内分式分解因式约分，再通分计算；将除法转为乘法，约分得到最简分式；排除使分母为0的x值，代入求值． 【详解】解： ． ∵所有运算过程中分式的分母均不能为0， ∴， ∴， 故只有选代入求值：原式． 【变式11-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． (1)小坪在第________步出错，错误原因是________． (2)请在下方写出正确解答过程． 【答案】(1)②，括号前面是负号，去括号时没改变符号 (2)见解析 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据解题过程即可得出结论； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：小坪在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时没改变符号， 故答案为：②，括号前面是负号，去括号时没改变符号； （2）解： ， ∵且x为整数， ∴，1，2， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 【变式11-3】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）先化简，再从，0，1，2中，选择一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】，时，原式；时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ，，， ． 若选择，则原式． 若选择，则原式． 题型十二 分式方程的解法 【例12】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母之后，化简方程，从而解方程，得到答案. 【详解】解：， ∴， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是分式方程的解． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 所以，是原方程的根． 【变式12-2】（2025·甘肃定西·三模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，将分式方程化为整式方程求解是解题的关键．先去分母，再去括号，合并同类项，系数化为1，再将方程的解代入最简单公分母检验求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：将代入最简单公分母，得， 原方程的解是． 【变式12-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入，得， 原分式方程的解为． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数 【例13】（24-25九年级下·河北邢台·期中）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，用含a的是式子表示分式方程的解，再根据解为负数，解不等式即可求解． 【详解】解：去分母得， 整理得 即且， 解得：， ∵解为负数， ∴或， 解得或， 符合的数值为， 故选：A． 【变式13-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，结合解为正数及分母不为零的条件确定参数范围． 【分析】解：原方程两边同乘，得：， 解得： ∵关于的方程有正数解， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是且， 故选：D． 【变式13-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 【变式13-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 题型十四 分式的增根与无解问题 【例14】（24-25八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的概念与解法、分式方程的增根以及方程的解与方程成立条件的关系，解题的关键在于识别增根，将原方程化简为整式方程进行求解．分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根为，然后将分式方程转化为整式方程，代入增根求解的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为， 令分母，解得增根为． 将方程两边同乘，得， 整理，得． ， 将代入整式方程，得， 解得，， 故选：B． 【变式14-1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如果关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，增根是使分式方程分母为0的根．原方程分母为和，故增根为．将方程转化为整式方程后，代入增根即可求出的值． 【详解】， 方程变为： 两边同乘，得： 化简左边：． ∵方程有增根， ∴ ∴ 代入得：， 解得： 故选：B． 【变式14-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将方程转化为整式方程，根据方程有增根得到，进而求出的值，代入整式方程，求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入整式方程，得：， ∴； 故答案为：1． 【变式14-4】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 题型十五 分式方程的实际应用 【例14】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是80千米小时 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是通过时间差建立方程，并注意单位的统一及解的合理性验证．设B型车的平均速度为x千米/时，则A型车的平均速度为千米/时．根据题意，A型车比B型车少用小时，可建立方程求解． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：B型车的平均速度是80千米/小时． 【变式15-1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本． (1)科普书和文学书的单价各是多少元？ (2)若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？ 【答案】(1)文学书的单价为10元，科普书的单价为15元 (2)40本 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设文学书的单价为元，则科普书的单价为元．用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本．据此列出分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购买a本科普书．小亮可以使用的经费不超过700元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设文学书的单价为元，则科普书的单价为元． 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． ． 答：文学书的单价为10元，科普书的单价为15元． （2）解：设购买a本科普书． 依题意得：， 解得：， 是非负整数， 的最大值为40． 答：至多购买40本科普书． 【变式15-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架． (1)求A型无人机的单价是多少万元； (2)某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 【答案】(1)A型无人机的单价为 万元 (2)该商家最多购买 15 架A型架无人机 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元，根据用 万元购买型无人机比用 万元购买型无人机的数量多 2 架，列出分式方程，解方程即可； （2）设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机，根据某商家计划用不超过 10 万元购买两种型号的无人机，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型无人机的单价为万元； （2）解：由（1）可知，B型无人机的单价为， 设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为 15 ， 答：该商家最多购买 15 架型架无人机． 【变式15-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 【答案】(1)每套A型健身器材的价格是1万元； (2)购买A型健身器材最少5套． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套A型健身器材的价格是1万元； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，依题意得：． 解得：． 答：购买A型健身器材最少5套． 题型十六 分式方程的新定义问题 【例16】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【变式16-1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 【变式16-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式16-3】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以同一个非零数或整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A：，若，则交叉相乘得，化简得，与题设矛盾，故不成立； 选项B：，同理可得，与题设矛盾，故不成立； 选项C：，分子分母同时乘以，根据分式的基本性质，，与原分式相等，故成立； 选项D：，为原分式的平方，显然不等于原分式（例如，时，），故不成立； 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法运算．由于两个分式分母相同，可直接将分子相减，再约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“□”的表达式． 【详解】解： ， 要求结果为整式，分母中的a需被分子中的因子约掉．当“□”为时，分子为，分母为，约分后得．此时分母为常数3，不含字母，符合整式定义． 故选C． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）三星堆博物馆园区位于三星堆遗址东北角，占地面积约1000亩，以其文物、建筑、陈列、园林四大特色享誉中外．某校计划组织270名学生租车前往研学，若单独租用型客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用比型客车多15个座位的型客车，则可以少租1辆，且余30个空座位．若设每辆型客车有个座位，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设每辆型客车有个座位，则需租用A型客车辆，每辆B型客车座位数为个，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每辆型客车有个座位，则需租用A型客车辆，每辆B型客车座位数为个，根据题意得： ． 故选：B 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的增根问题．把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得a的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为，可能的增根为或， 两边同乘，得：， 解得：， 若是增根，则，解得； 若是增根，则，解得； 综上，的值为4或8， 故选：D． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是将待求式子根据已知条件适当变形．将分式进行约分，然后将代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键．先把除法转化为乘法，再计算即可． 【详解】解： 故答案为： 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则 ． 【答案】/0.8 【分析】先根据题意得出，再代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 原式 故答案为： 9．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查分式方程的增根，将原方程去分母得，把增根代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， ∵该分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 10．（24-25八年级下·山西临汾·期末）某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用； 设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品，根据时间相同列方程即可． 【详解】解：设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品， 由题意得：， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）去分母转化为整式方程求解并检验； （2）去分母转化为整式方程求解并检验． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】2 【分析】本题需要先对分式进行化简，再代入求值，首先处理括号内的加法运算，将整式与分式合并为一个分式，然后进行分式的除法运算，转化为乘法后约分，最后代入数值计算， 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题的关键在于分式的通分和因式分解，解题的关键是将括号内的项通分为一个分式，然后利用分式除法的性质进行化简． 13．（24-25八年级下·四川成都·期末）颖颖到商店购买某种工具用于数学综合与实践活动．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款，已知按批发价购买300个与按零售价购买250个所付款相同．如果颖颖给学校八年级学生每人购买1个该工具，那么只能按零售价付款，需要花费3600元；如果多购买60个，就可以按批发价付款，需要花费3800元．问这个学校八年级有多少名学生？ 【答案】这个学校八年级有名学生 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该工具的零售价为元/个，则批发价为元/个，，这个学校八年级学生有名，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设该工具的零售价为元/个，则批发价为元/个，，这个学校八年级学生有名， 由题意可得：， 解得：， 经检验，时原分式方程的解，且符合题意， ∴， ∴这个学校八年级有名学生． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式直接约分即可； （2）将除法化为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张不透明的硬纸片正面上分别写出一个关于的代数式，背面分别标上序号①，②，③，摆成如图所示的一个等式，然后分别翻开纸片②，③，发现其上的代数式分别是，． (1)求纸片①上的代数式； (2)李老师说：“我心里想着一个数，能使①上的代数式与相等．”请求出李老师心中想的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算以及分式方程的解法．而分式方程的求解，关键在于通过去分母将其转化为整式方程，求出整式方程的解后，必须进行检验，确保解不会使原分式方程的分母为零，因为分母为零时分式无意义． （1）根据等式关系，通过移项可求出纸片①上的代数式； （2）根据已知条件列出分式方程，然后求解并检验． 【详解】（1）解：已知，移项可得． 因为纸片②上的代数式是，纸片③上的代数式是， 所以纸片①上的代数式为： ． （2）解：根据题意，纸片①上的代数式与相等， 可列出方程：， 可得：，解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 能力提升进阶练 16．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程，由已知分式方程出发，通过交叉相乘转化为整式方程，解出x与y的关系式，进而求出结果． 【详解】解：， 交叉相乘得：， 将移到左边，合并同类项：， 两边同时除以2，得：， ， 故选：D． 17．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 18．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及应用．解题的关键是先根据分母为零确定增根，再把增根代入去分母后的整式方程求解 m 的值． 【详解】方程两边同乘最简公分母，得． 分式方程的增根是使分母为零的根，即，解得增根为． 将代入整式方程，得． 化简得，解得． 因此，的值为2， 故选：B． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若数使关于的不等式组，至少有五个整数解，关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有的值之和是（   ） A．8 B．6 C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，掌握解不等式的方法，取值方法，分式方程解法等知识是解题的关键． 解不等式组确定的范围，解分式方程得到的表达式，结合正整数解条件筛选的值，最后求和符合条件的． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组有解，且至少有5个整数解， ∴不等式组的解集为． ∵要求至少有五个整数解， ∴即的整数解至少为7，8，9，10，11， ∴． 方程 化简为， 解得， ∵需为正整数且， ∴为正整数且． ∴为偶数且，即且． ∴需满足，且（为正整数）． ∴符合条件的为，1，3，5， 其和为． 故选：B 20．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）一组有序排列的数：（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】C 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：C． 21．（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．方程两边同乘，将分式方程化为整式方程，然后求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 故答案为： 22．（24-25七年级下·浙江金华·期末）对于，规定． （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，将代入计算即可； （2）根据新定义，得，求出，然后将分组得，再计算即可． 【详解】解：（1）∵对于，规定， ∴当时，得： ， 故答案为：； （2）∵对于，规定， ∴， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，数字的变化规律，分式的混合运算，有理数的混合运算．理解新定义、确定是解题的关键． 23．（24-25八年级下·河南·期末）观察下列等式： ，， 猜想并得出： 将以上三个等式两边分别相加得： 根据以上推理，求出下面分式方程： 的解是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，求和整理解答即可． 本题考查了裂项法计算，分式方程的解法，熟练掌握解方程是理解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故变形为： 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值．计算，然后整体代入求解即可． 【详解】解：因为 ， 所以， 解得． 故答案为：． 25．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论： ①第3次操作后得到的分式可化为． ②第4次操作后的分式可化为． ③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个． ④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且． 以上四个结论中正确的有 ．（只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据新定义得到第3次操作后得到的分式为，可判断①；根据新定义得到第4次操作后得到的分式为，可判断②；根据新定义得到第5次操作后得到的分式为，再变形为，由分式可以化为整数得出是20的因数，再结合a为正整数求出的值，可判断③；经过n次操作后得到的分式为，由题意得，结合和都是正整数，求出符合题意的a的值，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：第3次操作后得到的分式为， ，故①正确； 第4次操作后得到的分式为， ，故②正确； 第5次操作后得到的分式为， ， 又第5次操作后得到的分式可以化为整数， 是20的因数， ， ， 又a为正整数， ， a的正整数值共有9个，故③不正确； 经过n次操作后得到的分式为， 由题意得，， 整理得：且， ，， ， ， 又a为正整数， ， 为正整数， 是9的倍数， 或， 当时，，此时，舍去； 当时，，此时； 满足这个条件的a的值有1个，且，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 26．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知代数式． (1)化简T； (2)T的值能等于吗？为什么？ 【答案】(1) (2)T的值不能等于，见解析 【分析】本题主要考查了分式的化简、解分式方程等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则以及分式有意义的条件是解此题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可； （2）根据题意得出，求出a的值，根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：T的值不能等于，理由如下： 而时原分式无意义， 所以T的值不能等于． 27．（24-25七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用平方差公式和完全平方公式计算括号内的分式减法，再算分式除法，然后通过约分化成最简结果，最后把的值代入求解． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 28．（24-25八年级下·四川成都·期末）第十二届世界运动会将于年8月7日在成都正式开幕，其吉祥物“蜀宝”“锦仔”分别以大熊猫、川金丝猴为原型，展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象．某商店计划购进一批“蜀宝”“锦仔”吉祥物商品，已知“蜀宝”的单价比“锦仔”的单件高元，且花费元购进“蜀宝”的数量是花费6000元购进“锦仔”的数量的． (1)分别求“蜀宝”“锦仔”两款吉祥物商品的单价； (2)根据网上预订的情况，该商店决定用不超过元的资金购进这两款吉祥物商品共个，求最多可购进“蜀宝”多少个？ 【答案】(1)“锦仔”的单价为元；“蜀宝”的单价为元 (2)最多可购进“蜀宝”个 【分析】本题考查方式方程与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握分式方程与一元一次不等式的解法是解题的关键， （1）根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到一元一次不等式，解不等得到的取值范围，再根据实际情况得到的最大值． 【详解】（1）解：设 “锦仔”的单价为元，，则“蜀宝”的单价为元， 由题可得： 整理得： 解得：， 经经验，是原方程的解， ∴， 答：“锦仔”的单价为元；“蜀宝”的单价为元． （2）解：设购买“蜀宝”个，则购进“锦仔”个， 由题可得：， 整理得： 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：最多可购进“蜀宝”个． 29．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解：， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 30．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式（复习讲义） 1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。 2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。 4.学会解分式方程，并能掌握含参的分式方程的解题技巧。 5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 分式的概念 形如的式子叫做分式，其中A，B是两个整式，且B中含有字母 π不是字母 分式有意义 分母不为零 忽略分母不为零 分式的值 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 忽略分母不为零 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 忽略分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式 约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 最简分式 分子和分母没有公因式 分子和分母仍有公因式 分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 结果应化为最简分式或整式 分子分母是多项式，应先进行因式分解 分式的乘方 分子分母分别乘方 忽略分子或分母乘方 分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 结果应化为最简分式或整式 通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 分式方程 分母中含有未知数的方程 与整式方程混淆 解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 分式方程无解时，不知如何求参数的值 列分式方程解决实际问题 审、找、设、列、解、检、答 找不出等量关系 题型一 分式的定义 【例1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在式子，，，，，，中，分式的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 题型二 分式有无意义的条件 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式有意义，则实数满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期末）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）当时，分式无意义，则 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若分式没有意义，则x的值是 ． 题型三 分式的求值 【例3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（24-25八年级下·四川内江·期中）分式，则分式的值为（      ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 题型四 根据分式值的情况求范围 【例4】（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式4-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 题型五 分式的基本性质 【例5】（24-25八年级下·山东青岛·期末）下列分式中，与分式结果相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【变式5-3】（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（22-23八年级上·北京顺义·期末）将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【变式6-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若把分式中的字母x和y同时扩大3倍，则分式的值将 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）运用分式的知识，解决以下问题： （1）当时，随着的增大，的值 （填“增大”或“减小”）； （2）当时，若无限增大，则的值无限接近一个数，这个数为 ． 题型七 最简分式与最简公分母 【例7】（24-25八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级下·河南周口·期末）分式，，的最简公分母是 ． 题型八 约分与通分 【例8】（24-25八年级下·山东青岛·期末）化简： ． 【变式8-1】（24-25七年级下·广西梧州·期末）已知，均不等于0，且满足：，则 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 【变式8-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 题型九 分式的四则运算 【例9】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式9-2】（2025·安徽芜湖·三模）化简：． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 题型十 分式的实际应用 【例10】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 题型十一 分式的化简求值 【例11】（24-25八年级下·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中 【变式11-1】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）先化简，再求值：，并从、1、中选一个数作为x的值代入求值． 【变式11-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． (1)小坪在第________步出错，错误原因是________． (2)请在下方写出正确解答过程． 【变式11-3】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）先化简，再从，0，1，2中，选择一个合适的数作为m的值代入求值． 题型十二 分式方程的解法 【例12】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）解方程：． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【变式12-2】（2025·甘肃定西·三模）解方程：． 【变式12-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数 【例13】（24-25九年级下·河北邢台·期中）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式13-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【变式13-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 题型十四 分式的增根与无解问题 【例14】（24-25八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式14-1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如果关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．7 【变式14-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【变式14-4】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 题型十五 分式方程的实际应用 【例14】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 【变式15-1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本． (1)科普书和文学书的单价各是多少元？ (2)若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？ 【变式15-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架． (1)求A型无人机的单价是多少万元； (2)某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 【变式15-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 题型十六 分式方程的新定义问题 【例16】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【变式16-1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【变式16-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【变式16-3】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）三星堆博物馆园区位于三星堆遗址东北角，占地面积约1000亩，以其文物、建筑、陈列、园林四大特色享誉中外．某校计划组织270名学生租车前往研学，若单独租用型客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用比型客车多15个座位的型客车，则可以少租1辆，且余30个空座位．若设每辆型客车有个座位，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）若，则 ． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）化简： ． 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则 ． 9．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·山西临汾·期末）某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 ． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25八年级下·四川成都·期末）颖颖到商店购买某种工具用于数学综合与实践活动．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款，已知按批发价购买300个与按零售价购买250个所付款相同．如果颖颖给学校八年级学生每人购买1个该工具，那么只能按零售价付款，需要花费3600元；如果多购买60个，就可以按批发价付款，需要花费3800元．问这个学校八年级有多少名学生？ 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 15．（24-25八年级下·河北保定·期末）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张不透明的硬纸片正面上分别写出一个关于的代数式，背面分别标上序号①，②，③，摆成如图所示的一个等式，然后分别翻开纸片②，③，发现其上的代数式分别是，． (1)求纸片①上的代数式； (2)李老师说：“我心里想着一个数，能使①上的代数式与相等．”请求出李老师心中想的数． 能力提升进阶练 16．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 17．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．3 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若数使关于的不等式组，至少有五个整数解，关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有的值之和是（   ） A．8 B．6 C．5 D．1 20．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）一组有序排列的数：（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 21．（2025·四川成都·模拟预测）分式方程的解为 ． 22．（24-25七年级下·浙江金华·期末）对于，规定． （1） ． （2） ． 23．（24-25八年级下·河南·期末）观察下列等式： ，， 猜想并得出： 将以上三个等式两边分别相加得： 根据以上推理，求出下面分式方程： 的解是 ． 24．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则 ． 25．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论： ①第3次操作后得到的分式可化为． ②第4次操作后的分式可化为． ③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个． ④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且． 以上四个结论中正确的有 ．（只填写序号） 26．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知代数式． (1)化简T； (2)T的值能等于吗？为什么？ 27．（24-25七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 28．（24-25八年级下·四川成都·期末）第十二届世界运动会将于年8月7日在成都正式开幕，其吉祥物“蜀宝”“锦仔”分别以大熊猫、川金丝猴为原型，展现了成都生态宜居、热情友好的城市形象．某商店计划购进一批“蜀宝”“锦仔”吉祥物商品，已知“蜀宝”的单价比“锦仔”的单件高元，且花费元购进“蜀宝”的数量是花费6000元购进“锦仔”的数量的． (1)分别求“蜀宝”“锦仔”两款吉祥物商品的单价； (2)根据网上预订的情况，该商店决定用不超过元的资金购进这两款吉祥物商品共个，求最多可购进“蜀宝”多少个？ 29．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 30．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$