第十二章 分式和分式方程（复习讲义）数学冀教版2024八年级上册

第十二章 分式和分式方程（复习讲义） 1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。 2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。 4.学会解分式方程，并能掌握含参的分式方程的解题技巧。 5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. π不是字母 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 忽略分母不为零 分式的值 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 忽略分母不为零 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 忽略分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式 约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 分子和分母仍有公因式 分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 结果应化为最简分式或整式 分子分母是多项式，应先进行因式分解 分式的乘方 分子分母分别乘方 忽略分子或分母乘方 分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 结果应化为最简分式或整式 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 与整式方程混淆 解分式方程 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 分式方程无解时，不知如何求参数的值 列分式方程解决实际问题 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 找不出等量关系 题型一 分式的定义 【例1】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）在，，，，，中分式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在，，，，，中，，，中分母是字母，属于分式，共3个， 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）对于代数式，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是（     ） 甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母． 乙：是整式，因为，而1是整式． A．甲对、乙不对 B．乙对、甲不对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义即可解答． 【详解】解：∵因为是整式，且分母中含有字母， ∴代数式是分式，即甲对、乙不对． 故选A． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）在中，分式的个数为 个． 【答案】2 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】的分母不含字母，是整式； 的分母含字母，是分式． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键.注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【变式1-3】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）在代数式中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，可以判断出题中六个代数式有个为分式，由此得出结论，解题的关键是正确理解分式的定义，形如：且为整式，中含有字母，这样的代数式是分式． 【详解】根据分式的定义可知：为分式，共个， 故选：． 题型二 分式有无意义的条件 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，直接解不等式即可． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 即 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）若分式有意义，则（   ） A．x一定是2 B．x一定是 C．x一定不是2 D．x一定不是 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，则分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故选：D 【变式2-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母，且当时无意义； ②当，分式的值为0． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件以及分式的意义．根据分母为零时分式无意义和分式的值为零的条件进行作答． 【详解】解：只含有字母，且当时无意义， 该分式的分母可以是． 当，分式的值为， 该分式的分子可以为． 故符合条件的分式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为零，求的值． 【答案】 【分析】根据分式值为0的条件和分式无意义的条件分别求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴当时，，解得． ∵当时，分式的值为0， ∴当时，，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，分式无意义的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0，分式值为0的条件是分子为0是解题的关键． 题型三 分式的求值 【例3】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：． 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，整体法求代数式的值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 利用分式的基本性质，把分子和分母同时除以，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若，且，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式化简求值，直接利用已知代入分式化简得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若，求的值． 【答案】33 【分析】本题考查分式化简求值，将分子、分母分别因式分解，约分化简，再将代入求值即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式． 题型四 根据分式值的情况求范围 【例4】（24-25八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京西城·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且为正整数， ∴为正整数， ∴为整数， ∵也为正整数， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 题型五 分式的基本性质 【例5】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变；需逐一分析各选项是否符合该性质． 【详解】选项A：；分子分母同时约去，则，否则分式无意义；故A一定成立； 选项B：；右边为左边的平方，显然不相等（如，时，左边为，右边为），故B错误； 选项C：；分子分母同时乘以，根据分式基本性质，若，等式成立；若，则分式无意义，因此C不正确； 选项D：；分子分母同时减去，不符合分式基本性质（如，，时，左边为，右边为），故D错误； 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】A选项：不等于． 例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误． B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质． 例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误． C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确． D选项：变形为 时，分子符号错误． 例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误． 故选：C． 【变式5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）；（2），第一个空填写 ；第二个空填写 ． 【答案】 / 【分析】（1）分式的分子和分母同时乘以即可得出答案； （2）将分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：； （2）． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的基本性质，根据平方差公式分解因式，分式的约分．熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 【变式5-3】（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 【变式6-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 把分式中的a、b分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可解答． 【详解】解：，即分式的值不变． 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）（1）计算并填数： 1 2 5 10 1000 10000 （2）观察上表，描述的值的变化情况． （3）当非常大时，的值接近于什么数？ 【答案】（1）表格详见解析；（2）随着的增大，的值也越来越大，并且越来越接近于0；（3）当非常大时，的值接近于1． 【分析】（1）根据x的值，分别求出的值填入表格即可； （2）根据表格中x与值变化写出即可； （3）根据表格中x值最大时，找到值接近的数，从而找到接近的数，写出即可. 【详解】解：（1）， ， 填表如下： （2）观察上表，随着的增大，的值也越来越大，则并且越来越接近于0； （3）当非常大时，越来越接近于0， 则的值接近于1． 【点睛】本题是对分式求值的考查，准确根据代数式求值和找到表格中数值的规律是解决本题的关键. 题型七 最简分式与最简公分母 【例7】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式．若无法约分，则为最简分式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选D． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东济南·期中）若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：A、，分式不是最简分式，不符合题意； B、，分式是最简分式，符合题意； C、，分式不是最简分式，不符合题意； D、，分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据最简公分母系数等于各分母系数的最小公倍数，字母指数的最高次幂乘积即为最简公分母． 本题考查了最简公分母计算，熟练掌握最简公分母的构成是解题的关键． 【详解】解：和的最简公分母是， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①找系数：找各分母中系数的最小公倍数；②找分母：找各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；③找指数：取各相同字母因式或多项式字母因式的最大指数求解即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是， 故答案为：． 题型八 约分与通分 【例8】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）化简分式的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式约分方法是解决问题的关键．通过对分式的分子和分母分别提取公因式进行约分，即可得到化简结果； 【详解】解：， 故选：B． 【变式8-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是最简分式的概念、公因式的概念，各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．找出分子、分母的公因式即可． 【详解】解：， 则将化成最简分式，应将分子分母同时约去的公因式为, 故选：D． 【变式8-2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级下·四川自贡·期中）已知（过中A、B均为常数），则 ， ． 【答案】 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 【详解】解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分． 题型九 分式的四则运算 【例9】（24-25八年级下·陕西西安·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简． 【详解】解： ． 【变式9-1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式加减乘除混合运算，完全平方公式；根据分式加减乘除混合运算法则再结合完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ； 【变式9-2】（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 【变式9-3】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键． 先将括号里的分式通分计算加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可． 【详解】解： ． 题型十 分式的实际应用 【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的价格为a元/，B种糖的价格为b元/，则mA种糖和nB种糖混合而成的什锦糖的价格为元/．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10A种糖和10B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的价格较高？为什么？ 【答案】甲种糖的价格较高，理由见解析 【分析】首先表示出甲种糖价格和乙种糖价格，然后作差求解即可． 【详解】甲种糖价格为（（元/）， 乙种糖价格为（元/）， ， ∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成， ∴， ∴甲种糖的价格较高． 【点睛】此题考查了分式的混合运算的实际应用，解题的关键是正确列式． 【变式10-1】（2023·福建福州·模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？ 【答案】“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析 【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可． ． 【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为，“飘香2号”茉莉花单位面积产量为． ， “飘香2号”茉莉花单位面积产量更高． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 【变式10-2】（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是． (1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______． (2)请证明（1）中的数学关系式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先表示出入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出； （2）理由作差法进行证明即可． 【详解】（1）解：再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：， ∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ∴； 故答案为：． （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【变式10-3】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）小明的妈妈有甲、乙两筐水果，甲筐水果重千克，乙筐水果重千克（其中），若两筐水果都卖了50元． (1)哪筐水果的单价卖的低？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 【答案】(1)乙筐水果的单价低； (2)倍． 【分析】（1）根据钱数除去千克数得到各自的单价，运用减法即可比较； （2）由高的单价除以低的单价即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得 ∵，， ∴， ∴， ∴乙筐水果的单价低； （2）解：根据题意得 ． 即高的单价是低的单价的倍． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型十一 分式的化简求值 【例11】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式化简求值，分式加减乘除混合运算；根据分式加减乘除混合运算法则进行化简，再把代入计算求值即可． 【详解】解： ； ∵ ∴ 【变式11-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再从中选一个使分式有意义的整数代入计算即可． 【详解】解：原式 在中，整数有， 由题意得：、±2， 当时，原式；当时，原式（答案不唯一）． 【变式11-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分再运算除法，化简得，经分析，得，，故把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵ ，， ， 原式． 【变式11-3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二 (2)，7 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，即可得出结果； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ， ∵， ∴， 当时，原式． 题型十二 分式方程的解法 【例12】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程；先把方程两边同时乘以，再计算求解，最后检验即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 整理：， 解得：． 经检验，是原方程的解． ∴． 【变式12-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可，熟练掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， 原方程两边都乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 【变式12-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 （2） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 【变式12-3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将方程两边同乘，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数 【例13】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为非负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 【变式13-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解的属性建立不等式，结合分式有意义的条件，确定k不能取到的值，解答即可． 本题考查了解分式方程，分式方程的解的属性，分式有意义的条件，根据分式方程的解的属性建立不等式，结合分式有意义的条件，确定k不能取到的值是解题的关键． 【详解】解：∵， 去分母，得 ， 去括号，移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵分式方程的解是负数，且， ∴且 解得且， 故选：D． 【变式13-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 方程的解为非正数， ， 解得， 又， ， ， ， 的取值范围是． 故选：B． 【变式13-3】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得：， ∵，即：， ∴， 又∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴ ∴的取值范围是且． 【点睛】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零． 题型十四 分式的增根与无解问题 【例14】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 【变式14-1】（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 【变式14-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，先把原方程去分母得到，再求出原方程的增根为，据此把代入方程中即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于x的分式方程：，若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【答案】的值为或 【分析】本题主要考查根据分式方程的解求参数，掌握解分式方程的方法，增根的概念是解题的关键． 先根据解分式方程的方法求解，再根据分式方程有增根求出的值，代入求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得，， ∵关于的分式方程会产生增根，即， ∴， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，的值为或． 题型十五 分式方程的实际应用 【例14】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是80千米小时 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是通过时间差建立方程，并注意单位的统一及解的合理性验证．设B型车的平均速度为x千米/时，则A型车的平均速度为千米/时．根据题意，A型车比B型车少用小时，可建立方程求解． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：B型车的平均速度是80千米/小时． 【变式15-1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本． (1)科普书和文学书的单价各是多少元？ (2)若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？ 【答案】(1)文学书的单价为10元，科普书的单价为15元 (2)40本 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设文学书的单价为元，则科普书的单价为元．用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本．据此列出分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购买a本科普书．小亮可以使用的经费不超过700元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设文学书的单价为元，则科普书的单价为元． 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． ． 答：文学书的单价为10元，科普书的单价为15元． （2）解：设购买a本科普书． 依题意得：， 解得：， 是非负整数， 的最大值为40． 答：至多购买40本科普书． 【变式15-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架． (1)求A型无人机的单价是多少万元； (2)某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 【答案】(1)A型无人机的单价为 万元 (2)该商家最多购买 15 架A型架无人机 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元，根据用 万元购买型无人机比用 万元购买型无人机的数量多 2 架，列出分式方程，解方程即可； （2）设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机，根据某商家计划用不超过 10 万元购买两种型号的无人机，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型无人机的单价为万元； （2）解：由（1）可知，B型无人机的单价为， 设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为 15 ， 答：该商家最多购买 15 架型架无人机． 【变式15-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 【答案】(1)每套A型健身器材的价格是1万元； (2)购买A型健身器材最少5套． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套A型健身器材的价格是1万元； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，依题意得：． 解得：． 答：购买A型健身器材最少5套． 题型十六 分式方程的新定义问题 【例16】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【变式16-1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 【变式16-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式16-3】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，熟练掌握同分母分式的加法运算法则是解题的关键； 根据同分母分式的加法运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 2．（2025·河北邯郸·三模）如图所示的数轴（不完整），若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．直接取特殊值即可求解． 【详解】解：取时， 则， ∴表示的值的点落在段③， 故选：B． 3．（2025·河北邯郸·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．括号内先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，再将分式除法运算转化为乘法，通过约分和因式分解化简表达式． 【详解】解； ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，解方程得到，再根据分式方程有增根的条件是分母为0得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断． 【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误； ②，嘉淇同学解法错误； ③ ，嘉淇同学解法正确； 则嘉淇同学做对的有1个， 故选：B． 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的减法，正确理解算理是解决问题的关键．先进行同分母分式的减法运算，然后根据，得，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 7．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解分式方程，准确的运算是解题的关键．把原方程两边乘以去分母化为整式方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 8．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式方程无解的方法是解题的关键．先化简分式方程，得，由分式方程无解，则，得，代入求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴，得， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·河北石家庄·开学考试）暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每名同学少分摊3元，则原来参加旅游的同学为 人． 【答案】8 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设原来参加旅游的同学为人，根据题意可得，解方程即可得出答案．注意，分式方程的解一定要检验． 【详解】解：设原来参加旅游的同学为人， 根据题意可得： ， 解得：或， 经检验，或是原分式方程的解， 因不符合题意，故舍去， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 11．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）约分； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将分子、分母约去最简公分母即可； （2）将原式变形后把括号里面的分式进行加减运算，然后将除法化为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） 12．（2021·江苏连云港·中考真题）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式的方程．在方程两边同乘以得到整式方程，求解后再进行检验即可得解． 【详解】解：在方程两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 13．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式：，：，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值为0 (2)或 【分析】题目主要考查整式的加减运算，除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据整式的加法运算，化为完全平方公式即可求解； （2）根据整式的除法运算进行化简，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解： ， 的最小值为0． （2） 为正整数， 或 解得或． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运算符号，为一个代数式． (1)小颖猜测※为“”，求； (2)数学老师告诉小颖※为“”，用表示出，并求时的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了分式混合运算，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意得，再化简运算，即可作答． （2）先整理得，再结合，故，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：若※为“” ； 当时，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉嘉家和淇淇家分别在点，处，学校在点处，，．嘉嘉和淇淇同时从自家出发匀速去学校，嘉嘉比淇淇的速度快． (1)若，结果二人同时到达学校，求二人的速度； (2)设淇淇的速度为，则嘉嘉和淇淇谁先到学校？ 【答案】(1)淇淇的速度为，嘉嘉的速度为 (2)淇淇先到学校 【分析】本题考查分式方程的应用，分式的加减的应用，熟练根据题意找到等量关系并列式是解题的关键． （1）设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为，利用二人同时到达学校进行列式求解，并验根，即可解答； （2）分别列出嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需，再利用分式的减法比较大小即可． 【详解】（1）解：当时，嘉嘉比淇淇的速度快， 设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：淇淇的速度为，嘉嘉的速度为； （2）解：∵淇淇的速度为，嘉嘉比淇淇的速度快， ∴嘉嘉的速度为， ∴嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需， ∵， ∴， 所以淇淇先到学校． 能力提升进阶练 16．（24-25九年级下·河北邢台·期中）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，用含a的是式子表示分式方程的解，再根据解为负数，解不等式即可求解． 【详解】解：去分母得， 整理得 即且， 解得：， ∵解为负数， ∴或， 解得或， 符合的数值为， 故选：A． 17．（24-25九年级下·河北邢台·期末）下面是小亮同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 ． 在化简过程中，第___________步开始出现错误．（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 【答案】C 【分析】本题考查了化简分式，平方公式与平方差公式的运用，检查分式化简各步骤，发现第③步通分时分子计算错误． 【详解】解：第①步，将分母分解为，分子分解为，正确； 第②步，约分为，正确； 第③步，通分时，第一个分式应化为，但误写为，导致分子错误为，正确应为：， 第④步，因第③步错误，后续化简结果错误， 综上，错误始于第③步， 故选：C． 18．（24-25八年级下·山西长治·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵规定时间为x天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 根据题意，得 ． 故选：A． 19．（24-25八年级上·河北沧州·期末）若分式方程有增根，则增根一定是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先解分式方程得到，然后根据增根的含义得到或，然后分别代入判断即可． 【详解】解： 去分母得， ∴ 根据题意可知：当时，方程出现增根， 或， ∴当时，，解得，符合题意； 当时，，即，不符合题意； 综上所述，增根一定是． 故选：A． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得，， ∴， ∵方程有整数解， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， ∴或或， 故选：D． 21．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）若，则“□”表示的最简分式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算．将未知分式设为变量，通过方程变形逐步解出，最终化简为最简分式即可． 【详解】解：□． 故答案为：． 22．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简与整数条件的应用，将分式化简后，分析分式结果为整数的条件是解题的关键．先将原式进行化简，结果为，要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）． 【详解】解：由， 要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）， a可以为3或1或分数形式（为非零整数），答案不唯一， 故答案为：1（答案不唯一）． 23．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】（1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 把代入， 得， ， 故答案为：； （2）由（1）得原分式方程，去分母化简得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且 故答案为：且． 24．（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 25．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）． （1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ； （2）把两杯中的果汁进行如下操作： 第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为 第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 . 【答案】 1 【分析】本题主要考查了列代数式，分式混合运算的应用； （1）根据题意列出代数式即可； （2）第一步：根据题意列出代数式即可； 第二步：先求出此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，即可求出结果． 解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【详解】解：（1）从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为：； 故答案为：； （2）第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为：； 第二步：从乙杯取出混合果汁，则此时混合果汁中含有苹果汁：， 即此时甲杯中含苹果汁； 此时乙杯中含橙汁， 即此时乙杯中含橙汁， ∴． 故答案为：；1． 26．（24-25八年级下·河北保定·期末）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解； （2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 去括号得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）解：解：去分母得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 检验：当时，， ∴是原方程的解． 27．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ (1)老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【答案】(1)嘉嘉最先出错的是第①步，淇淇最先出错的是第②步； (2)， 【分析】本题考查了异分母分式减法，分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则判断即可； （2）根据异分母分式减法法则进行计算，然后再把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉最先出错的是第①步，原因是直接去掉了分母； 淇淇最先出错的是第②步，原因是合并时分子减分子，符号错误． （2）解： ， 当时，原式． 28．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）根据李老师的板书过程，完成下列问题． 整体思想专题研究 例1：分解因式． 解：设． 原式 ． 例2：已知，求的值． 解： ． (1)分解因式：． (2)已知，求的值． (3)请从下面两道题中，选择一道回答，并直接写出结果． ①求的值． ②已知，求． 我选择______题（填序号），结果为______． 【答案】(1) (2)1 (3)①；② 【分析】本题主要考查了分解因式，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原式可变形为，进而可变形为，据此可得答案； （2）把两个分式中的分子和分母中的1用替换，再约分即可得到答案； （3）①设，，则，原式可变形为，进一步变形得到，据此求解即可；②先把原式变形为，进一步变形得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①设，， ∴ ∴ ； ②∵，求 ∴ ． 29．（24-25八年级下·河北保定·期末）嘉琪利用长方形纸片做拼接游戏． (1)如图1，将长方形纸片沿着裁剪后拼成不规则图形．正方形的边长为． ①请将长方形纸片的面积因式分解长方形的面积，． ②的值为__________． (2)如图2，长方形的面积，在（1）的条件下，化简，并根据化简结果确定与之间的大小关系． 【答案】(1)①；②2 (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，分式运算的应用； （1）①，再利用平方差公式分解即可； ②由长方形的面积，得到长方形的宽，长，由不规则图形可得，，据此求解即可； （2）把和代入计算即可． 【详解】（1）解：① ． ②∵长方形的面积， ∴长方形的宽，长， 由不规则图形可得，， ∴， 故答案为：； （2）解： ； ， ， ． 30．（24-25八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： + ； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)． 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可解； （2）由可解； （3）将原式变形为，据此得出或，再根据分式有意义的条件，据此可得答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式， ②，不是和谐分式， ③，是和谐分式， ④，是和谐分式， 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解：原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， ∴或或1或， 又∵分式有意义时， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程（复习讲义） 1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。 2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。 4.学会解分式方程，并能掌握含参的分式方程的解题技巧。 5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. π不是字母 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 忽略分母不为零 分式的值 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 忽略分母不为零 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 忽略分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式 约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 分子和分母仍有公因式 分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 结果应化为最简分式或整式 分子分母是多项式，应先进行因式分解 分式的乘方 分子分母分别乘方 忽略分子或分母乘方 分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 结果应化为最简分式或整式 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 与整式方程混淆 解分式方程 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 分式方程无解时，不知如何求参数的值 列分式方程解决实际问题 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 找不出等量关系 题型一 分式的定义 【例1】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）在，，，，，中分式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）对于代数式，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是（     ） 甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母． 乙：是整式，因为，而1是整式． A．甲对、乙不对 B．乙对、甲不对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对 【变式1-2】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）在中，分式的个数为 个． 【变式1-3】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）在代数式中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 分式有无意义的条件 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）若分式有意义，则（   ） A．x一定是2 B．x一定是 C．x一定不是2 D．x一定不是 【变式2-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母，且当时无意义； ②当，分式的值为0． 【变式2-3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为零，求的值． 题型三 分式的求值 【例3】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【变式3-1】（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若，且，则分式的值为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若，求的值． 题型四 根据分式值的情况求范围 【例4】（24-25八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京西城·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 题型五 分式的基本性质 【例5】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）；（2），第一个空填写 ；第二个空填写 ． 【变式5-3】（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 【变式6-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）（1）计算并填数： 1 2 5 10 1000 10000 （2）观察上表，描述的值的变化情况． （3）当非常大时，的值接近于什么数？ 题型七 最简分式与最简公分母 【例7】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东济南·期中）若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）分式和的最简公分母是 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）分式，的最简公分母是 ． 题型八 约分与通分 【例8】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）化简分式的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【变式8-2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，，则 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·四川自贡·期中）已知（过中A、B均为常数），则 ， ． 题型九 分式的四则运算 【例9】（24-25八年级下·陕西西安·期末）化简：． 【变式9-1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）计算：． 【变式9-2】（2025·江西·中考真题）化简： 【变式9-3】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）化简：． 题型十 分式的实际应用 【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的价格为a元/，B种糖的价格为b元/，则mA种糖和nB种糖混合而成的什锦糖的价格为元/．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10A种糖和10B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的价格较高？为什么？ 【变式10-1】（2023·福建福州·模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？ 【变式10-2】（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是． (1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______． (2)请证明（1）中的数学关系式． 【变式10-3】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）小明的妈妈有甲、乙两筐水果，甲筐水果重千克，乙筐水果重千克（其中），若两筐水果都卖了50元． (1)哪筐水果的单价卖的低？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 题型十一 分式的化简求值 【例11】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式11-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． 【变式11-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 【变式11-3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 题型十二 分式方程的解法 【例12】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）解方程：． 【变式12-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解方程． 【变式12-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）解分式方程 (1) (2) 【变式12-3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）解方程：． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数 【例13】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【变式13-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【变式13-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式13-3】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 题型十四 分式的增根与无解问题 【例14】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式14-1】（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【变式14-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【变式14-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于x的分式方程：，若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 题型十五 分式方程的实际应用 【例14】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 【变式15-1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本． (1)科普书和文学书的单价各是多少元？ (2)若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？ 【变式15-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架． (1)求A型无人机的单价是多少万元； (2)某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 【变式15-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 题型十六 分式方程的新定义问题 【例16】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【变式16-1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【变式16-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【变式16-3】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·三模）如图所示的数轴（不完整），若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 3．（2025·河北邯郸·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．3 B． C． D．5 5．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知，则 ． 7．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 8．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 9．（24-25九年级下·河北石家庄·开学考试）暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每名同学少分摊3元，则原来参加旅游的同学为 人． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若（其中，为常数），则 ， ． 11．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）（1）约分； （2）计算：． 12．（2021·江苏连云港·中考真题）解方程：． 13．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式：，：，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运算符号，为一个代数式． (1)小颖猜测※为“”，求； (2)数学老师告诉小颖※为“”，用表示出，并求时的值． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉嘉家和淇淇家分别在点，处，学校在点处，，．嘉嘉和淇淇同时从自家出发匀速去学校，嘉嘉比淇淇的速度快． (1)若，结果二人同时到达学校，求二人的速度； (2)设淇淇的速度为，则嘉嘉和淇淇谁先到学校？ 能力提升进阶练 16．（24-25九年级下·河北邢台·期中）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级下·河北邢台·期末）下面是小亮同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 ． 在化简过程中，第___________步开始出现错误．（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 18．（24-25八年级下·山西长治·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·河北沧州·期末）若分式方程有增根，则增根一定是（　　） A． B． C． D．或 20．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 21．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）若，则“□”表示的最简分式为 ． 22．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 23．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 24．（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 25．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）． （1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ； （2）把两杯中的果汁进行如下操作： 第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为 第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 . 26．（24-25八年级下·河北保定·期末）解下列方程 (1) (2) 27．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ (1)老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 28．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）根据李老师的板书过程，完成下列问题． 整体思想专题研究 例1：分解因式． 解：设． 原式 ． 例2：已知，求的值． 解： ． (1)分解因式：． (2)已知，求的值． (3)请从下面两道题中，选择一道回答，并直接写出结果． ①求的值． ②已知，求． 我选择______题（填序号），结果为______． 29．（24-25八年级下·河北保定·期末）嘉琪利用长方形纸片做拼接游戏． (1)如图1，将长方形纸片沿着裁剪后拼成不规则图形．正方形的边长为． ①请将长方形纸片的面积因式分解长方形的面积，． ②的值为__________． (2)如图2，长方形的面积，在（1）的条件下，化简，并根据化简结果确定与之间的大小关系． 30．（24-25八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： + ； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$