培优03 轨迹、外接球、线段最值、翻折设角求点问题（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

培优03轨迹、外接球、线段最值、翻折设角求点问题 = 题型1 轨迹问题 第一步，设动点坐标，用空间向量表示已知点与动点关系。 第二步，将几何条件（如距离、垂直、平行）译为向量等式，如或。 第三步，通过向量运算化简等式，消去参数，得到关于的轨迹方程。 1．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，将，，分别延长至，，， 使得，，，连接， 则平面即平面， 则满足条件的点的轨迹为和平面平行的平面与平面的交线 落在四边形内部（含边界）的部分，不妨设为线段. 由面面平行的性质知，线段与平行.设点到平面的距离为， 连接，则由，得， 解得，连接，则线段在的左侧.不妨设点在线段上，在线段上. 过点分别作，交于点，于点，连接， 作于点，易知，，平面， 从而有平面，作，垂足为，则，， 平面，从而有平面，即点到平面的距离为. 易知，， 因为，所以. 设，则，故，，.由及可得， 解得（舍去）或，故为的中点，所以为的中点， 所以，即点的轨迹的长度为，. 解法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为点在平面内， 所以可设， 则，，. 设平面的法向量为，则由，得， 即，取，则， 则点到平面的距离为，所以. 因为点是四边形内（包含边界）的一个动点，所以， 即，由得， 即点的轨迹方程为，. 所以点的轨迹的长度为. 故选：D 2．设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 显然点到平面的距离为， 设点，在上取一点，而， 所有，从而， 所以点P到直线的距离为， 所以， 令，得，此时点的轨迹就是一个点，此时点的轨迹长度是0， 令，得，此时点在以为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，此时点的轨迹长度是， 令，得，即，此时点的轨迹长度是0， 令，得，即，此时点在线段上运动，轨迹长度是， 令，，即，此时点在线段上运动，轨迹长度为， 令得，，即，此时点的轨迹长度是0， 综上所述，所求为. 故选：D. 3．（多选）如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与所成角的最大值是 B．若平面，则动点的轨迹是一条长度为的线段 C．若的外心为，则为定值4 D．若直线，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】以为坐标原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图2， 则，，，，，． 设，因为，所以， 所以，，，即，． 对于A，，， 所以，当时，， ，所成的角为，A错误． 对于B，当平面时，设． 易知，则， 又，所以，，即， 所以点的轨迹为棱，的中点连线所成的线段，长度为，B正确． 对于C，如图，取的中点为，连接，则， 则，故C正确． 对于D，由题可知，，则． 因为平面的一个法向量为， 所以， ， 因为直线，与平面所成的角相等，所以， 结合，，可得，，， 所以点的轨迹是在平面上以点为圆心、为半径的圆在正方形内的部分（如图3中的劣弧）． 此时，，故，故为等比三角形， 故劣弧的长度为，故D正确． 故选：BCD． 4．（多选）已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），下列说法正确的是（   ） A．若点是中点，则、、、四点共面 B．存在点，使得直线与所成角为 C．若直线平面，则三棱锥的体积为定值 D．若，那么点的轨迹长度为 【答案】AC 【详解】对于A选项，连接、、、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，故，所以， 因此，当点是中点，则、、、四点共面，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、，不妨设点， 所以，， ， 因为，，则，所以，， 故，即， 故， 因此，不存在点，使得直线与所成角为，B错； 对于C选项，若平面，则点、到平面的距离相等， 故为定值，C对； 对于D选项，，可得， 故点的轨迹是在平面内以点为圆心，半径为的圆， 故点的轨迹长度为，D错. 故选：AC. 5．（多选）已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A． B．点的轨迹长度为 C．线段长度的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 正方体的内切球的球心为正方体的中心，半径， 平面的法向量： ，，设， 由，即，令，则，，所以. 对于选项A， ，因为平面，所以，而， 所以，即，A正确. 对于选项B，因为平面，平面平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 设平面与正方体的中心的距离，设平面的法向量为， ，， 设，由，可得， 令，则. ， ∴点到平面的距离为， ∴圆的半径为， ∴圆的周长，即点的轨迹长度为，B错误. 对于选项C， ，点在球面上， 线段长度的最小值为，C选项正确. 对于选项D，设与夹角为，，. 在平面直角坐标系中， ，， ，， ， ， 所以，令， ， ， 所以的最小值为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点的轨迹为平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，结合条件计算圆的半径，结合点与圆的位置关系求解计算. 6．在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 . 【答案】 【详解】    如图，连接，，且以为原点建立空间直角坐标系， 故，，，， 设，且已知，， 故，， 即是的中点，是的三等分点， ，，，， ，的轨迹方程为平面， 故轨迹长度即为该平面与长方体六个平面的交线长度之和， 联立方程组，得， 当时，，令，则， 故此时在面内轨迹长度为， 联立方程组，得到， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，， 可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 综上，轨迹长度为. 故答案为：. 7．如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系） (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)若，求动点的轨迹形状和长度； (3)若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示） 【答案】(1) (2)圆； (3) 【详解】（1）由题意得，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为圆柱的底面半径和母线长均为4，， 所以，，，则，， 设平面的法向量为，得到， ，令，解得，， 故平面的法向量为，易知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则. （2）设，则，， 因为，所以，则， 化简得，即， 即动点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，轨迹长度为. （3）由已知得，， 由模长公式得， 由题意得圆的方程为，故设， 设到的距离为，而， 故当最大时，只需要保证最大即可，而， 则， ，， 故， 由点到直线的距离公式得， ， ， ， 令，则， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，则值最大，的面积最大，此时， 由同角三角函数的基本关系得，故. 题型2 空间向量求外接球球心 第一步，设球心坐标：设外接球球心为，半径为R。 第二步，球心到各顶点向量模相等，即（底面选两个，非底面选一个），转化为坐标方程。 第三步，联立顶点坐标满足的方程，解出即得球心坐标。 8．三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，则该三棱锥的外接球球心的坐标表示是 . 【答案】 【详解】设三棱锥的外接球球心的坐标为， 不妨设，，，， 则, 即 ， 整理可得且且， 解得， 故三棱锥的外接球球心的坐标为， 故答案为： 9．在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，取的中点，可知为的外心， 过作平面的垂线，可知三棱锥外接球的球心在该垂线上， 设， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，即， 整理得，当且仅当，即时，等号成立， 所以三棱锥外接球半径的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，再以空间直角坐标系为依托，分析求解. 10．（多选）在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．点到平面的距离为 C．若，则 D．过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2 【答案】BCD 【详解】由，， 可将三棱锥补形成如图所示的长方体， 设， 则，解得， 即，， 所以球的半径为，所以球的表面积为，故A错误. 由题得长方体为正四棱柱，，为的中点， 故 又平面，则平面， 又平面，故平面平面，平面平面， 过点作的垂线，交于，则平面故为点到平面的距离. 在中，，， 故， 则，故B正确. 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，. 设， 所以， 因为，所以， 解得，所以，故C正确. 当且仅当与截面垂直时，截面面积最小，由A 解析知：最小的半径为，故D正确.    故选：BCD 【点睛】关键点点睛点睛：本题考查几何体的外接球，球的几何性质，空间向量的应用，A选项关键利用三棱锥对棱相等补体法求外接球. 11．在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .   【答案】 【详解】因为平面平面，, 且平面平面，平面, 所以平面，平面, 所以. 在△中，因为， ， ∴，，所以 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系. ∵点为的中点，是上的一个动点， ∴，， 设△的重心为，则， 三棱锥外接球的球心为，则， 则有，即 则， ∴，当且仅当，即时，等号成立. 设三棱锥外接球半径为，表面积为，则 所以. 故答案为：. 12．如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，，，，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球表面积为 ．    【答案】 【详解】要使三棱锥P― BEF的体积最大，则底面△BEF的面积最大，设BF=a， 则，， 当且仅当，即时取得最大值，即E，F分别为棱的中点． 此时，，三棱锥的体积取得最大值． 如图，以中点为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，． 设，由，，， 解得，，． 设外接球球心，由， 则， 解得 即， 故三棱锥的外接球半径． 所以，三棱锥的外接球表面积为． 13．在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在中，因为，满，所以； 因为平面平面，平面平面平，故平面； 又因为平面，所以. 因为是等腰直角三角形，， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，则，且， 则点的坐标为. 又， 则， ， ， ， ， 故异面直线与的夹角的余弦值为. （3）设三棱锥外接球的球心的坐标为， 则由，可得， 解得，即. 球的半径， 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 又因为，则球心到平面的距离为 . 故点到平面距离的最大值为. 题型3 线段、线段和的最值问题 14．如图，已知正方体的棱长为为上三等分点且靠近点，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面的距离与线段PF的长度相等．则当点运动时，的最小值是（   ） A．12 B．13 C．14 D．17 【答案】B 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示，过作，垂足为， 设，则，，且， 由，即，化简得， ， 所以当时，取最小值13． 故选：B 15．已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 因为正方体的棱长为3，所以，， ，，，而，， ，，由题意得共线，共线， 设，，，， 则，，， 得到，，，解得，则， 而，故， 得到，，， 解得，，，则， 故， 设面的法向量为，结合，， 则，， 令，解得，，故， 因为平面平面，所以也是面的法向量， 则，即，解得，此时， 由向量模长公式得， ， 若最小，则最小即可， 令，由二次函数性质得对称轴为， 而，则当时，取得最小值，最小值为， 则的最小值为，即的最小值为，故C正确. 故选：C 16．（多选）如图，在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．三棱锥的体积是定值 D．不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设，则； 因为，故，所以正确. 因为 所以， ， 当时，取得最小值为，所以B错误. 因为，平面平面，则平面 所以三棱锥的体积为，故C正确. 因为， 所以， 设与的夹角为， 则 因为，所以，故不存在点P使直线与直线夹角的余弦值为 故正确. 故选：ACD. 17．（多选）在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【详解】以为原点，,,所在直线方向分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，故，，，， 对于A选项：，，， 故，故A正确； 对于B选项：，， 故， 因为，， 故异面直线与所成角的取值范围为，故B正确. 对于C选项：，， ， 可将其看成分别到点，的距离和， 当且仅当三点共线时，此时距离最小，故C错误； 对于D选项：当M为中点时，则，外接球圆心为且 半径为， 设球心到平面的距离为 设平面的法向量为，， 则，令，则； 又，则， 由截面圆半径， 故截面圆面积为，故D正确. 故选：ABD. 18．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，是线段上的动点，是线段BN上的动点，则（  ） A．存在点，使平面MBN B．MN与PB为异面直线 C．线段QR的最小值是2 D．经过M，B，C，N四点的球的表面积为 【答案】ABD 【详解】对A，存在，当为的中点时，平面MBN，如图，连接， 由M，N，P分别是的中点，所以， 由平面，平面，所以平面，正确； 对B，如图，连接 由，而，分别在两个平行的平面内，所以MN与PB为异面直线，正确； 对C，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设点，，则，，， 所以点的坐标为， 所以， 所以当，时，取最小值，最小值为，C错误； 对D，设经过M，B，C，N四点的球的球心坐标为， 所以， 所以球的半径为， 所以球的表面积为，正确. 故选：ABD 19．（多选）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（    ） A．直线BF与直线所成角余弦值为 B．在三棱柱中，点的曲率为 C．过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 D．当点在线段AB上运动时，的最小值为 【答案】BD 【详解】设,在直三棱柱中,,由点的曲率为, 所以,所以,又,所以, 所以点的曲率为,故B正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意有，， 对于A：，所以， 所以直线BF与直线所成角余弦值为，故A错误； 对于C：取的中点为，连接，由且，所以四边形为平行四边形， 所以，又为的中点，所以，又，所以，又， 所以，又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以截面为平面，可知四边形为梯形， 又，， 则点到直线的距离为， 所以梯形的面积为，故C错误； 对于D：， 设， 所以， ， 所以，， 所以， 设，则表示点到点的距离和点的距离之和， 则点关于轴对称的点为， 所以， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD. 20．（多选）如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 所以不平行于平面，故A错误； 又，所以，故B正确； 将绕旋转使与在一个平面内，如图所示： 易求得，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 的最小值即为，故C正确； 设关于平面的对称点为， 的中点为，所以， 则，因为，， 所以，， 解得，所以， 所以， 的最小值即为，故D正确. 故选：BCD. 题型4 翻折问题需设角求顶点坐标 如图，翻折一定的角度到，已知且交于，故以为圆心，以为建立空间直角坐标系。此时，我们可以假设，则 21．如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 22．如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． (2)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【详解】（1）（i）取的中点，连接，，如图， 因为，，且的中点为， 所以，， 又，，平面，故平面， 由于平面，故． （ii）连接，由（i）知，平面，平面, 则，， 时，最小时，的面积最小． 又，，平面，又平面， 平面平面，过作，垂足为，则平面， 故为直线与平面所成的角，由，且，，又， ，，所以， ，， 在中，由余弦定理得，故,． 故与平面所成的角的正弦值为． （2）以为坐标原点，的方向为轴正反向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，设，则， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为，则 ， 取，设平面与平面夹角为，易知， ， 令，则， ， 当，即时，取得最小值， 平面与平面夹角余弦值的最小值为． 23．在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以. 因为，，所以， 所以. 又因为，平面，， 所以平面. （ⅱ）. （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，. 所以.平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 设， 设， 所以，（当且仅当，即时取等号），即. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 24．如图，在平面四边形中，，，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，连接，，使与平面所成角的正弦值为． (1)证明：平面； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， 因为，，所以， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 则，所以， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 则，所以， 又，所以， 所以，， 又，，平面， 所以平面． （2）在直线上取一点，使得， 由（1）知平面，又平面， 所以， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，取，则． 设与平面所成角为， 则， 整理得，即， 解得或． 又，所以，则，则，故． 25．如图，矩形中，，，，将沿直线DE翻折成，若M为线段的点，满足，设二面角的平面角为． (1)求证：直线平面； (2)当为直角时，求点到平面的距离； (3)在翻折过程中（点不在平面内），求线段长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 在线段上取点，使得， 连接，∵，∴， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面． （2）由题意得，，、为等腰直角三角形， 取中点，连接，则， 故为二面角的平面角，即. ∵，∴，. 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则，， ，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，， ∴点到平面的距离为. （3） 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，在翻折过程中， 由题意知，二面角的平面角，， 则， 由（2）知， ∴， 又∵，∴，∴． 故的取值范围是． 26．等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），是的中点，， 又，，，四边形为菱形， 则，在翻折过程中，总有，，， 又平面，平面，， 平面. （2），分别为棱，的中点， ，直线与直线成角，即为与直线成， 则或，为边长为1的正三角形或顶角为的等腰三角形， 又四边形是上下底长分别为1和2的梯形，且， 四边形的面积为, 由（1）知平面，又平面，平面平面， 过点作于， 平面平面，平面， 平面，则， 四棱锥的体积. （3）由（1）（2）知平面平面，且， 分别以，所在直线为轴，轴， 以过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在翻折过程中设， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，， ； 平面，可取平面的一个法向量为， ， 又，，则， 在翻折过程中平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优03轨迹、外接球、线段最值、翻折设角求点问题 = 题型1 轨迹问题 第一步，设动点坐标，用空间向量表示已知点与动点关系。 第二步，将几何条件（如距离、垂直、平行）译为向量等式，如或。 第三步，通过向量运算化简等式，消去参数，得到关于的轨迹方程。 1．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 2．设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与所成角的最大值是 B．若平面，则动点的轨迹是一条长度为的线段 C．若的外心为，则为定值4 D．若直线，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 4．（多选）已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），下列说法正确的是（   ） A．若点是中点，则、、、四点共面 B．存在点，使得直线与所成角为 C．若直线平面，则三棱锥的体积为定值 D．若，那么点的轨迹长度为 5．（多选）已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A． B．点的轨迹长度为 C．线段长度的最小值为 D．的最小值为 6．在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 . 7．如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系） (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)若，求动点的轨迹形状和长度； (3)若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示） 题型2 空间向量求外接球球心 第一步，设球心坐标：设外接球球心为，半径为R。 第二步，球心到各顶点向量模相等，即（底面选两个，非底面选一个），转化为坐标方程。 第三步，联立顶点坐标满足的方程，解出即得球心坐标。 8．三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，则该三棱锥的外接球球心的坐标表示是 . 9．在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 10．（多选）在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．点到平面的距离为 C．若，则 D．过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2 11．在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .   12．如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，，，，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球表面积为 ．    13．在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 题型3 线段、线段和的最值问题 14．如图，已知正方体的棱长为为上三等分点且靠近点，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面的距离与线段PF的长度相等．则当点运动时，的最小值是（   ） A．12 B．13 C．14 D．17 15．已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 16．（多选）如图，在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．三棱锥的体积是定值 D．不存在点P使直线D1P与直线AP夹角的余弦值为 17．（多选）在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 18．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，是线段上的动点，是线段BN上的动点，则（  ） A．存在点，使平面MBN B．MN与PB为异面直线 C．线段QR的最小值是2 D．经过M，B，C，N四点的球的表面积为 19．（多选）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（    ） A．直线BF与直线所成角余弦值为 B．在三棱柱中，点的曲率为 C．过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 D．当点在线段AB上运动时，的最小值为 20．（多选）如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．的最小值为 D．的最小值为 题型4 翻折问题需设角求顶点坐标 如图，翻折一定的角度到，已知且交于，故以为圆心，以为建立空间直角坐标系。此时，我们可以假设，则 21．如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 22．如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． (2)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 23．在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 24．如图，在平面四边形中，，，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，连接，，使与平面所成角的正弦值为． (1)证明：平面； (2)求的长． 25．如图，矩形中，，，，将沿直线DE翻折成，若M为线段的点，满足，设二面角的平面角为． (1)求证：直线平面； (2)当为直角时，求点到平面的距离； (3)在翻折过程中（点不在平面内），求线段长的取值范围． 26．等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$