第二章 函数（高效培优单元测试·提升卷）高一数学北师大版2019必修第一册

第二章 函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（24-25高二下·重庆·期末）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026高三·全国·专题练习）在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映照着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ） A． B． C． D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知函数若存在满足，且则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（24-25高一上·湖北荆门·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 13．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 14．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本小题满分13分) （24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的值域． 16.（本小题满分15分） （24-25高一下·上海·阶段练习）已知 (1)已知是正整数，求的值； (2)已知常数，是否存在，使函数在区间上是严格增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 17.（本小题满分15分） （24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 18.（本小题满分17分） （24-25高一上·重庆·期末）已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 19.(本小题满分17分) （24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（24-25高二下·重庆·期末）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式以及根号的概念，解得集合，利用交集，可得答案. 【详解】由，，等价于，解得，则； 由，解得，则. 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递增，进而可求值域. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，所以值域为. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值. 【详解】令，则， 得． 故选：A． 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 6．（2026高三·全国·专题练习）在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 7．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再结合在区间上单调递增，即可求解. 【详解】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映照着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的对称性，然后根据函数的对称性确定根，从而列出关于的方程组，解方程组即可求解. 【详解】由， 得函数的图象关于直线对称，则在直线两侧的根成对出现， 而方程恰有三个不同的实数根且， 因此该方程的一个根是，得，， 由，得， 当，即时，， 而，联立解得，； 当，即时，， 而，无解， 所以，. 故选：D 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，再由指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出结果. 【详解】对于A，定义域为，因为， 所以函数为偶函数，但函数在上是减函数，故A错误； 对于B，定义域不关于原点对称，故不为偶函数，故B错误； 对于C，定义域为，且，所以函数为偶函数，且在上是增函数，故C正确；对于D，的定义域为R，且，所以为偶函数，且在上是增函数，故D正确. 故选：CD. 10．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知函数若存在满足，且则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定的分段函数，分析函数性质并作出图象，数形结合逐项判断. 【详解】函数的图象对称轴为， 由，得直线与函数的图象有3个交点， 其横坐标为，且，作出函数的图象和直线，如图， 观察图象，得，，即，AC正确； 当时，，则，于是，D正确； 由，即，得，B错误. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误;对于B，令，得到，由选项A知，所以，故B正确;对于C，令，则，又，则，又由题可知，故，又，所以，故C正确;对于D，由，则，所以，， 由选项C中分析知，所以，即，故D错误.故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（24-25高一上·湖北荆门·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得， 则函数的定义域为. 13．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案. 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 14．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用函数的奇偶性列出方程组，求得，再由题设条件推得，设，可知其在区间上为减函数，最后根据含参数的二次函数在给定区间上的单调性即可求得参数范围. 【详解】因是奇函数，是偶函数，则有， 对于①，用替换，整理得②， 联立①和②，解得：， 由时，等价于， 则，记，则， 即在区间上为减函数， 显然，的对称轴为直线. ①当时，，显然不符合题意； ②当时，需使，解得. 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求得函数的解析式后，根据题设不等式，等价转化后，需构造函数，利用其单调性数形结合即可求得参数范围. 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本小题满分13分) （24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的值域． 【分析】（1）由幂函数的概念得，进而或，再根据可得； （2）具体函数根据定义域求值域. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或．（1分） 当时，，此时，则符合题意；（3分） 当时，，此时，则不符合题意．（5分） 故．(6分) （2）由（1）可知，则．（8分） 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，即在上的值域为．（13分） 16.（本小题满分15分） （24-25高一下·上海·阶段练习）已知 (1)已知是正整数，求的值； (2)已知常数，是否存在，使函数在区间上是严格增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）判断出为奇函数，则； （2）确定在上单调递增，从而得到. 【详解】（1）时，， ， 当时，， ， 故为奇函数，则.（7分） （2）存在，，（8分） 理由如下： 当时，，对称轴为， 故在上单调递增， 又为奇函数，且，故在上单调递增， ，在区间上是严格增函数， 故，解得，所以.（15分） 17.（本小题满分15分） （24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以.(5分) （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增.(10分) （3）由题设， 则， 所以，即.(15分) 18.（本小题满分17分） （24-25高一上·重庆·期末）已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 【分析】（1）根据求出解析式，然后利用二次函数单调性求解值域即可. （2）根据二次函数的单调性得，变形整理得，根据b的范围求解即可. （3）根据二次函数的单调性得，从而可以看作方程的两个根，由韦达定理，，进而，令 利用对勾函数单调性求解范围即可. 【详解】（1）由，可得，则， 因的对称轴为， 在单调递减，而， 故在的值域为. （2）因在区间单调递减，则， 因在上值域为，则， 即， 两式相减得：，因，故， 因，可得， 将代入，可得， 的取值范围为. （3）因为在区间单调递增，所以， 因为在上值域为，所以， 所以，即， 故可把看作方程的两个根， 因为，所以，且， 解得，由韦达定理，， 所以， 令因，则，且， 故， 令，由对勾函数的性质可得，在单调递减，故， 所以的取值范围为. 19.(本小题满分17分) （24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 【分析】（1）假设其存在，则为方程的两根，解方程即可； （2）假设其存在，则为方程的两根，令，则问题转化为一元二次方程在有两个不等的实根，利用和韦达定理即可； （3）由题意得，可得，再代入原方程组中化简，转化为一元二次方程有两个不等的正实数根． 【详解】（1）因为函数单调递增， 若在定义域区间上存在，使得的值域， 则，，即为方程的两根，又，得，， 又在区间上的值域为，故，符合题意.（5分） （2）因为函数为递增函数， 要使在定义域区间上存在，使得的值域， 则只需有两个不等的非负实根， 令，，则在有两个不等的实根， 故，即，得， 即t的取值范围是.（10分） （3）函数在定义域内单调递减， 依题意得，两式相减，得， 则， 得① 将①式代入方程组得，则是方程的两根， 令，则在上有两个不同的实根， 则，解得， 故实数m的取值范围为.(17分) 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$