第二章 函数（高效培优单元测试·强化卷）高一数学北师大版2019必修第一册

第二章 函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 2.如图是函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 4. 函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 11．对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数，的图象关于原点对称 B．设，，则有 C．函数，的值域为 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 11．已知函数则= . 12．已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 14．设函数（）的最大值为，最小值为，则= 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分13分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16.(本小题满分15分) 定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 17.（本小题15分） Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 18.(本小题满分17分) 已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 19.（本小题满分17分） 设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 【答案】A 【分析】影响小麦产量的因素有种子、施肥量、水、日照时间等，可判断得答案. 【详解】小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系. 故选：A. 2.如图是函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 结合f(x)的图象可得的单调递增区间为.故选C. 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ，所以. 故选：D. 4. 函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得. 【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D；当时，恒成立，排除B. 故选：A 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 7．的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 8．若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，从而得到函数的正负，分、、三种情况讨论，得到使得成立的的取值范围. 【详解】因为对，且有，所以在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上也单调递减，且， 所以当时，，当时，，当时，， ①当时，要使得，则要求，所以，解得； ②当时，符合； ③当时，要使得，则要求，所以，解得； 综上，x的取值范围是， 故选：B. 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同；故选：ACD. 10．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性对选项逐一判断即可. 【详解】设，其图象经过点， 则，解得，故， 那么的定义域为，故A错误； 的值域为，故B正确； 因为，则为偶函数，故C正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：BC. 11．对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数，的图象关于原点对称 B．设，，则有 C．函数，的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，取值验证判断A；利用，计算可判断B；由取整函数的定义得，进而判断C；解一元二次不等式，然后取整函数的定义求出解集判断D. 【详解】对于A：当时，，当时，， 即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，则， 因此函数，的值域为，故C正确； 对于D：由，得，解得， 而，则，因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 11．已知函数则= . 【答案】 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 12．已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的运算性质，求解函数解析式； 【详解】由②可知为上的递减函数，且满足①， 故的一个解析式为． 14．设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分13分） 已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得， ，（5分） .（6分） （2）由（1）可得，恒成立，，(9分) 令，，， 实数的取值范围为.(13分) 16.(本小题满分15分) 定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 16.【分析】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可； （2）利用奇函数的性质求解析式即可； （3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域. 【详解】（1）由题设，（2分） ；（4分） （2）若，则，故，（6分） 由在上的函数为奇函数，则，且时，，（9分） 所以.(10分) （3） 由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R.(15分) 17.（本小题15分） Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，.(7分) （2）由（1）（8分） 当时，，则当为时，取得最大值60万元；（11分） 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元.(15分) 18.(本小题满分17分) 已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以；(4分) （2）在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证.（10分） （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为.（15分） 19.（本小题满分17分） 设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【详解】（1）因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为.(6分) （2）当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为；（10分） ②由题，且，所以， 又时，，，（12分） 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以，（14分） 因为对任意，都存在，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14.(17分) 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$