第1章 一元二次方程（复习课件）数学苏科版九年级上册

单元复习课件 第一章 一元二次方程 苏科版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.讲解一元二次方程定义及一般形式，通过实例演示开平方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤并练习 3.梳理列方程解应用题步骤，针对常见场景（面积、利润等）设计例题，强化建模与检验能力。 2. 推导根的判别式，分析根的情况；探究根与系数关系，结合例题巩固应用。 单元学习目标 单元知识图谱 知识点01 一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，最高次数为2的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 考点串讲 3、一元二次方程的项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 二次项： ax2 二次项系数：a 一次项： bx 一次项系数：b 常数项：c 4、注意点： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 注：四个要求缺一不可，是我们判定一元二次方程的依据！ 知识点02 解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法类型归纳 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 注：先观察一元二次方程的形式，再确定用哪个一元二次方程，磨刀不误砍柴工！ 考点串讲 1．直接开平方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝　 　；当b＜0时，方程没有实数根． 2．配方法 (1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方． (2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1；②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边； ③配方，方程两边同时加上　 ，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根． 一次项系数一半的平方 考点串讲 3．公式法 (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式 x= .　 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 考点串讲 4、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解． 知识点03 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 (1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． (2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法． (3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． (4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． (5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点串讲 题型一、一元二次方程的定义 已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【解析】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 题型剖析 下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合； C、中的是分式，不是一元二次方程，不符合； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合； 故选：A． 针对训练 题型二、由一元二次方程的解求参数 若是方程的一个实数根，则的值为 . 【解析】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案为：4055． 题型剖析 已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（　　） A． B．1 C．或 D．或1 【解析】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ， ， ， ，∴或， 当时，一元二次方程为，此时方程无解，舍去． ．故选：A． 针对训练 题型三、一元二次方程解法-直接开平方法 解方程： (1)(2) 【解析】（1）解：， ， ， 则， 所以； （2）解：， ， 或， 解得． 题型剖析 解方程： (1)； (2)； (3)． （1）解： ， （2）解： ， 【解析】 （3） 或 ， 针对训练 已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【解析】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值等于2； 故答案为：2． 题型四、一元二次方程解法-配方法 题型剖析 解方程： (1)； (2)． 【解析】 （1）解：，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ∴，． 针对训练 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为 ． 【解析】解： 题型五、配方法的应用 ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最大值，最大值为：2． 故答案为：2． 题型剖析 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【解析】（1）证明： ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； 针对训练 （2）②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为 ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 针对训练 解方程： (1)(2)（公式法） （1）解： ， 解得； 题型六、一元二次方程解法-公式法 （2）解： 化为一般式得， 则， ∴， ∴， 解得． 【解析】 题型剖析 解方程： (1)； (2)． （1）解： ， 或， ，； 题型七、一元二次方程解法-因式分解法 （2）解： ， ， 或， ，． 【解析】 题型剖析 一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，，故选：D． 针对训练 解下列方程： (1)； (2)． 题型八、一元二次方程解法-换元法 【解析】 （1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）解：令则原方程可化为， 解得：，， 即或， 解得：，． 题型剖析 已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【解析】（1）证明： ， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； 题型九、根据判别式判断一元二次方程根的情况 （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 题型剖析 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】（1）解：把代入方程 ， 得 ∴； 把代入方程， 得， ∴， 即，另一根为0； （2）解：∵， ∴ ， ∵无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 针对训练 已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【解析】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由方程得， ∴或，，， ∵方程有一个根为负数，． ∴． ∴的取值范围是． 题型十、根据一元二次方程根的情况求参数 题型剖析 关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【解析】（1）证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 针对训练 如图1，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，窗宽度的倍为平褶皱，窗宽度的倍为波浪褶皱．如图2，小莉房间的窗户呈长方形，其宽度比高度少，她打算订做一幅与窗户高度相同的窗帘，已知某种窗帘布料的价格为元，用波浪褶皱的方式制作窗帘所产生的费用比用平褶皱的方式多元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 【解析】解：设小莉房间窗户的宽度为，则高度为． 根据题意，得， 解得 （舍去），． 所以，． 答：小莉房间窗户的宽度为，则高度为． 题型十一 、一元二次方程的应用—图形问题 题型剖析 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为． 【解析】（1）解：①由题意得，， ∵中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，即， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； ②∵墙的长度为， ∴， 即， ∴x的取值范围是， 故答案为：； 针对训练 （2）解：能． 根据题意，列方程得， 整理，得， 解方程，得，， 由（1）可知，， ， 即矩形养殖场的面积能达到，此时的值是． 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为． 针对训练 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； 【规范解答】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 题型十二 、一元二次方程的应用—营销问题 题型剖析 （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存，， 答：售价应降低20元． 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 题型十二 、一元二次方程的应用—营销问题 题型剖析 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【解析】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； 针对训练 （2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 针对训练 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），；当秒时，的长度等于； 题型十四 、一元二次方程的应用—动态几何问题 题型剖析 （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为，∴，解得：，， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型十四 、一元二次方程的应用—动态几何问题 题型剖析 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【解析】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 题型十五 、一元二次方程的应用—工程问题 题型剖析 （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 题型十五 、一元二次方程的应用—工程问题 题型剖析 如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 【解析】设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m． 根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180， 解得 x1=-2，x2=1.5． 所以x=1.5，x+0.5=2． 答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m． 针对训练 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式： Δ=b2-4ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 课堂总结 感谢聆听! －a±eq \r(b) eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)　 $$