第03讲 等式与不等式的性质（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等式与不等式的性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 符号法则与比较大小 4 知识点2 不等式的性质 4 知识点3 比较两代数式大小的方法 5 题型破译 6 题型1 用不等式(组)表示不等关系 6 题型2 作差法比较两数(式)的大小 7 题型3 利用不等式的性质判断命题真假 7 题型4 利用不等式的性质证明不等式 8 题型5 利用不等式的性质比较大小 9 题型6 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 10 04真题溯源·考向感知 11 05课本典例·高考素材 12 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）不等式的性质 （2）比较两代数式大小的方法 （3）利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等,设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小 2.能掌握一元二次不等式的性质 3.掌握利用不等式的性质判断命题真假 4.利用不等式的基本性质求代数式的取值范围等问题 知识点1 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 自主检测对任意实数，，，，命题： ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点2 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 自主检测设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 比较两代数式大小的方法 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 自主检测设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与有关 题型1 用不等式(组)表示不等关系 例1-1（2025·天津·调研）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 例1-2近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为元/斤，元/斤，，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙这两周购买猪肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 方法技巧 将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 【变式训练1-1·变考法】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2023天津·模拟预测）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 【变式训练1-3】在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型2 作差法比较两数(式)的大小 例2-1下列结论中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2-2（2025天津静海·联考）设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 作差法比较大小的步骤 【变式训练2-1·变考法】已知，则一定有（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2024天津南开·调研）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2-3】（2022天津·联考）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3 利用不等式的性质判断命题真假 例3-1（2025天津武清·调研）下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．已知命题“”，则该命题的否定为“，” 例3-2设、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 运用不等式的性质判断真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质. (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【变式训练3-1·变载体】设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若则 【变式训练3-2】实数满足：，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】如果，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 题型4 利用不等式的性质证明不等式 例4-1如果 ，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例4-2（2025·天津·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础. (2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系. (3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用. 【变式训练4-1】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】实数，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型5 利用不等式的性质比较大小 例5-1下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 例5-2（2025天津·模拟预测）已知均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 方法技巧 ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式训练5-1·变考法】（2025天津河东·调研）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练5-2·变考法】（2024天津滨海新·联考）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型6 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 例6-1（2025·天津·调研）已知集合，则（   ） A． B．且 C． D．或 例6-2（2025·天津·联考）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【变式训练6-1·变考法】（2025天津·模拟预测）已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（2025天津·模拟预测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（2025·天津·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 5．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 1．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 3．下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 6．设a，b，m均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．与的大小随m变化而变化 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式的性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 符号法则与比较大小 4 知识点2 不等式的性质 5 知识点3 比较两代数式大小的方法 5 题型破译 6 题型1 用不等式(组)表示不等关系 6 题型2 作差法比较两数(式)的大小 8 题型3 利用不等式的性质判断命题真假 11 题型4 利用不等式的性质证明不等式 13 题型5 利用不等式的性质比较大小 16 题型6 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 18 04真题溯源·考向感知 20 05课本典例·高考素材 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）不等式的性质 （2）比较两代数式大小的方法 （3）利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等,设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小 2.能掌握一元二次不等式的性质 3.掌握利用不等式的性质判断命题真假 4.利用不等式的基本性质求代数式的取值范围等问题 知识点1 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 自主检测对任意实数，，，，命题： ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断. 【详解】①时，，故①错； ②时，，故②错； ③若，则，所以，故③正确； ④当时，，故④错，所以真命题的个数为1. 故选：B. 知识点2 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 自主检测设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 知识点3 比较两代数式大小的方法 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 自主检测设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【分析】直接作差配凑即可判断大小关系. 【详解】，则. 故选：A. 题型1 用不等式(组)表示不等关系 例1-1（2025·天津·调研）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【分析】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 例1-2近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为元/斤，元/斤，，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙这两周购买猪肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C. 方法技巧 将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 【变式训练1-1·变考法】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【变式训练1-2】（2023天津·模拟预测）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 【答案】D 【分析】由条件列不等式，化简不等关系可得明年的产量的预测值得范围. 【详解】设明年的产量为袋，则， 所以， 故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间， 故选：D. 【变式训练1-3】在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得． 故选：B． 题型2 作差法比较两数(式)的大小 例2-1下列结论中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】用作差法即可判断A,B，取特殊值即可判断C,D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，若，，排除C； 对于D，若，，排除D. 故选：B 例2-2（2025天津静海·联考）设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合不等式的基本性质和作差比较法，以及举反例，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，可得， 对于A中，取，则，故A错误； 对于B中，由，所以，故B正确； 对于C中，因为，所以， 由，所以，故C正确； 对于D中，因为，则，故D正确. 故选：A. 方法技巧 作差法比较大小的步骤 【变式训练2-1·变考法】已知，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，再利用作差法即可得解. 【详解】因为，则 对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确. 对于D，取，则，故D错误； 故选：C. 【变式训练2-2】（2024天津南开·调研）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】作差结合已知条件比较大小可判断ABCD. 【详解】对于A，若，则，， 所以 ，所以，故A错误； 对于B，若，则，， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，所以，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式训练2-3】（2022天津·联考）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可判断AC；利用作差法即可判断BD. 【详解】因为，所以，，故AC错误； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以，故B错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 题型3 利用不等式的性质判断命题真假 例3-1（2025天津武清·调研）下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．已知命题“”，则该命题的否定为“，” 【答案】C 【分析】对AB，根据不等式性质判断即可；对C，根据二次函数的性质求解即可；对D，根据特称命题的否定判断即可. 【详解】对A，若，则，故，故A正确； 对B，若，则，故，故B正确； 对C，当时，函数的定义域不为， 当时，若函数的定义域为， 则恒成立，故，解得，故C错误； 对D，命题“”，则该命题的否定为“，”，故D正确； 故选：C 例3-2设、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，不妨取，，此时，不成立， 即“”“”； 若，则，所以，，即， 即“”“”. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 方法技巧 运用不等式的性质判断真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质. (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【变式训练3-1·变载体】设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质判断C；利用赋值法判断ABD； 【详解】令，所以，故A错； 令，所以，故B错； 若，则，所以，故C对； 令，则，故D错； 故选：C 【变式训练3-2】实数满足：，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误. 【详解】对A：因为，，所以，故A成立； 对B：因为，，所以，故B成立； 对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立； 对D：因为，，所以，故D成立. 故选：C 【变式训练3-3】如果，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用赋值法可判断ABD，利用不等式性质可判断C. 【详解】对于A，若，此时，故A错误； 对于B，若，，，此时，故B错误； 对于C，因为，则，又，所以，故C正确； 对于D，若，，可得，故D错误. 故选：C. 题型4 利用不等式的性质证明不等式 例4-1如果 ，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合已知，及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论． 【详解】，， 对于A、D，在不等式两边同除以正数，可得，即，所以，故A错误，D正确； 对于B、C，由，可得，可得，，故B、C错误； 故选：D． 例4-2（2025·天津·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 方法技巧 对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础. (2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系. (3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用. 【变式训练4-1】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方数的非负性判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】因为，即， 所以，当且仅当时取等号，故B错误，C正确； 又，即，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 当，时，，故D错误； 故选：C 【变式训练4-2】已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得. 【详解】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误； 对于B，可取，满足，但不满足，故B错误； 对于C，可取，满足，但，故C错误； 对于D，因，而，故必有成立，即D正确. 故选：D. 【变式训练4-3】实数，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质和指数函数、对数函数性质进行辨析即可. 【详解】对于A，当时，由可得；当时，， 例如当，时，，故选项A不正确； 对于B，当时，，否则， 例如当，时，；当，时，，故选项B不正确； 对于C，由，有，∴，故选项C项正确； 对于D，当时，；当时，， 例如当，时，，故选项D不正确. 故选：C. 题型5 利用不等式的性质比较大小 例5-1下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据反例可判断ACD的正误，根据不等式的性质可判断B的正误， 【详解】对于A，取成立，当，故A错误； 对于B，因为，故成立，故B正确； 对于C，取成立，时，，故C错误； 此时，，故D错误， 故选：B. 例5-2（2025天津·模拟预测）已知均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于ABC，利用不等式的性质即可判断；对于D，举反例判断． 【详解】对于A，利用不等式的对称性易知，若，则，故A正确： 对于B，，说明，则，故B正确： 对于C，利用不等式的可加性易知，若，，则，故C正确： 对于D，取，，，，满足条件，但，故D错误． 故选：D． 方法技巧 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式训练5-1·变考法】（2025天津河东·调研）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的性质可判断B；取特值可判断A，C，D. 【详解】A选项，当，时，，但是，故A错误； B选项，当时，所以，故B正确； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，当，，，时，，则，故D错误. 故选：B. 【变式训练5-2·变考法】（2024天津滨海新·联考）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】特殊值判断A、C；特殊值判断B；利用不等式性质判断D. 【详解】若时，有，，A、C错； 若，则，B错； 由，结合不等式性质知，D对. 故选：D 【变式训练5-3】对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质确定C正确，举反例得到ABD错误，得到答案. 【详解】对选项A：取，，满足，，错误； 对选项B：当时，，错误； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：取，，满足， 此时，，，错误； 故选：C. 题型6 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 例6-1（2025·天津·调研）已知集合，则（   ） A． B．且 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，所以，所以． 因为且，所以或， 所以或或 所以或． 故选：D． 例6-2（2025·天津·联考）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由恒成立得到，再由绝对值特性得到即可求解. 【详解】因为对任意的正数，恒成立， 所以，又，所以，所以. 故选：A 方法技巧 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【变式训练6-1·变考法】（2025天津·模拟预测）已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式性质得到，. 【详解】，故， 又，所以 故选：D 【变式训练6-2】（2025天津·模拟预测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的取值范围求出的取值范围，然后再结合的取值范围求出的取值范围. 【详解】因为，不等式两边同时乘以，所以. 已知，，两个不等式相加，得到. 故选：B. 【变式训练6-3】（2025·天津·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 1．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解． 【详解】设p：若，则， q：若，则； 则q表示的集合是p表示的集合真子集， 即是必要不充分条件， 故选：B． 2．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系. 【详解】由，可得，即； 由，可得或，即； ∴是的真子集， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 3．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 5．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 1．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 2．若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号， 故选：D 3．下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可. 【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误； 选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误. 故选：B 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式中二次项系数化为正数，然后结合二次函数性质可得结论． 【详解】原不等式可化为，而，原不等式无解，解集为． 故选：B． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】求得不等式对应方程的根，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由方程，可得方程的两根为，， 结合一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为或. 故选：C． 6．设a，b，m均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．与的大小随m变化而变化 【答案】C 【分析】利用不等式的性质，作差比较，即可求解. 【详解】由， 因为，且为正数，可得，所以， 即，所以. 故选：C. 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$