第一章 勾股定理（举一反三单元测试·拔尖卷）数学北师大版2024八年级上册

第一章 勾股定理·拔尖卷 【北师大版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级上·广西百色·期末）已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 2．（3分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．（3分）（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在中，，，是内的一点，且，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 9．（3分）（23-24八年级下·全国·单元测试）斜拉桥是我国流行的桥型之一，大跨径斜拉桥已居世界第一．如图，，，如果最长的钢索，那么钢索、的长分别是（   ） A． B． C． D． 10．（3分）如图有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取)(    )    A．10cm B．12cm C．14cm D．20cm 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ． 12．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为 ． 13．（3分）（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 14．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 15．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，射线互相垂直，，在线段的垂直平分线上取一点，连接．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离 ． 16．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）把一副三角板按如图所示的位置放置，其中，，，斜边，，与相交于点O，若，连接，则的长为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处．已知，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 18．（6分）（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 19．（8分）（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 20．（8分）（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 21．（10分）（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 22．（10分）（24-25八年级下·山西阳泉·期中）【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记(部分)，请仔细阅读并完成相应任务     等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法，这种方法可以把问题 简捷化，提高学习效率.下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点E在线段上，，记，，．求证：． 证明：连接，过点D作边上的高，则． 任务： (1)如图2，点O是内角平分线的交点，作，垂足为点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．，的周长为，则的面积为_______． (2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中，参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． (3)如图4，在菱形中，对角线交于点O，E是上一点，且．若，则图中阴影部分的面积为_______． 23．（12分）【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 24．（12分）（24-25八年级下·山西长治·期末）综合与探究 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为______；说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，如图3，若线段恰好经过点，如果正方形的边长为9，，直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理·拔尖卷 【北师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级上·广西百色·期末）已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在角即可求解． 【详解】解：A． 由，结合内角和得， 代入得，解得， 为直角三角形，故此选项不符合题意． B． 设， 则， 解得， 故，无直角，不能判定为直角三角形，故此选项符合题意． C． 展开得，即， 由勾股定理的逆定理知，为直角三角形，故此选项不符合题意． D． ∵， ∴， 由勾股定理的逆定理知， ∴故为直角三角形故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（3分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴的关系，勾股定理，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键，根据勾股定理可求得的长，再根据题意得到，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点E表示的实数是， 故选：A． 3．（3分）（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 4．（3分）（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 5．（3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：．∵，，，∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．（3分）（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在中，，，是内的一点，且，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键． 将绕点旋转，根据旋转的性质可得出，根据勾股定理可证出，从而可得出答案． 【详解】如图，将绕点旋转，得，连接， 由旋转的性质可知：，， ∴，，， ∴，且， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 9．（3分）（23-24八年级下·全国·单元测试）斜拉桥是我国流行的桥型之一，大跨径斜拉桥已居世界第一．如图，，，如果最长的钢索，那么钢索、的长分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设，先根据，，得出，，再根据，得到都是直角三角形，得到，即，由，代入计算即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ， 都是直角三角形， ， ，即， ，， ， （负值舍去），（负值舍去）， 故选：C． 10．（3分）如图有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取)(    )    A．10cm B．12cm C．14cm D．20cm 【答案】A 【分析】首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程． 【详解】将此圆柱展成平面图得：           ∵圆柱的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3）， ∴AC=8cm，BC= = 4π=6(cm) ∴AB==10（cm）． 答：它需要爬行的最短路程为10cm． 故选A 【点睛】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案． 【详解】解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．（3分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，延长交延长线于点，证明四边形是矩形，则，，故有，设，则，，由勾股定理得：，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴， 由， 则有， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 设的长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：由已知可得，，， ∴， 设的长为x， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得，， ∴ ∴ 而矩形面积为：， 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 15．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，射线互相垂直，，在线段的垂直平分线上取一点，连接．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离 ． 【答案】 【分析】连接，作，垂足分别为，根据旋转的性质得到，进而得到，中垂线的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而得到的长，再根据勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，作，设与交于点， ∵旋转， ∴， ∴，， ∵在线段的垂直平分线上取一点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵射线互相垂直，， ∴， ∴点到射线的距离； 故答案为： 【点睛】本题考查旋转的性质，中垂线的性质，全等三角形的性质，勾股定理，等积法求线段的长，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 16．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）把一副三角板按如图所示的位置放置，其中，，，斜边，，与相交于点O，若，连接，则的长为 ． 【答案】10 【分析】先证明，再由等腰直角三角形的性质得， ，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：，，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的点F处．已知，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质得，，，在中，由勾股定理求出，进而求出；设，则，在中，利用勾股定理求解即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由折叠的性质得，，，， 在中，， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）解：阴影部分面积为． 18．（6分）（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)原来的路线PA的长为8.45千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键； （1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路； （2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：是； 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形， ， 是从村庄P到l的最近路； （2）解：设，则， 在中，， ， 解得：， 答：原来的路线PA的长为8.45千米． 19．（8分）（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； ∵， ∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 20．（8分）（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理得到，根据网格的特点得到,作图即可得到所求正方形； （2）根据网格特点得到,根据勾股定理得到，顺次连接即可得到所求三角形； （3）利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求， （2）如图，即为所求， （3）如图，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 21．（10分）（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 22．（10分）（24-25八年级下·山西阳泉·期中）【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记(部分)，请仔细阅读并完成相应任务     等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法，这种方法可以把问题 简捷化，提高学习效率.下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点E在线段上，，记，，．求证：． 证明：连接，过点D作边上的高，则． 任务： (1)如图2，点O是内角平分线的交点，作，垂足为点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．，的周长为，则的面积为_______． (2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中，参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． (3)如图4，在菱形中，对角线交于点O，E是上一点，且．若，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】(1)图见解析， (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理的证明，角平分线的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握这些性质与判定，并掌握面积转换是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作，连接，利用角平分线的性质和分割法求三角形的面积即可； （2）延长交延长线于点，过点作于点，连接，，利用，，即可解决； （3）根据菱形的性质，求出的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 连接， ∵点O是内角平分线的交点，， ∴点到三边的距离相等均为的长， ∵，的周长为， ∴ ； 故答案为：； （2）解：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， ． ； （3）解：∵菱形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 23．（12分）【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据等边对等角得出，根据折叠的性质可得，进而即可求解； （2）根据折叠的性质得出，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形由勾股定理即可得出结果； （3）将延折叠，得到，连接，根据（2）中证明方法证明即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 依题知： （折叠的性质） ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ （3）结论成立，理由如下： 将延折叠，得到，连接， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 24．（12分）（24-25八年级下·山西长治·期末）综合与探究 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为______；说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，如图3，若线段恰好经过点，如果正方形的边长为9，，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）由全等三角形的“十字架”模型，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； （2）先证，再利用全等三角形的“十字架”模型构造全等，过点作，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； （3）过点作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 理由如下： 如图所示： 将沿翻折得到，则垂直平分， ∴， 在正方形中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴； 故答案为：； （2）猜想线段之间的数量关系：， 证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 将四边形沿所在直线翻折得到四边形，则， ∴， 过点作，垂足为点，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点作，垂足为，交线段于点，连接，如图所示： ∵将四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点， ∴关于直线对称，则， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，则由勾股定理得， 在中，，则由勾股定理得， 又∵， ， 则， 解得，即的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了折叠的性质、垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余、矩形的判定与性质、勾股定理及解方程等内容，熟记折叠性质，掌握相关几何性质及判定是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$