精品解析： 辽宁省沈阳市康平县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市康平县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的方程有增根，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 5. 如图．的周长为相交于点交于点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一张长方形的纸板上找一点，使它到，的距离相等，且到点，的距离也相等，则下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 9. 如图1，在中，是斜边的中点，动点从点出发，沿运动，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 分解因式：___________. 13. 将两个完全相同的正五边形按如图方式摆放，点在一条直线上，则_________度． 14. 如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是______． 15. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知点、、． （1）将绕点O逆时针旋转90°得，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的图形． （3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______． 19. 如图，在中，点，分别是，中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20. 如图，，垂直平分，交于点 （1）若，求的度数； （2）若，求的周长． 21. 为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能LED太阳能充电路灯．经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比乙型路灯组件的单价少0.2万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等． （1）求甲型、乙型路灯组件的单价各是多少？ （2）该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？ 22. 阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式：： ． ②求多项式最小值： ． ∵，∴， ∴当时，有最小值，最小值是． 解决问题：（1）若多项式是完全平方式，则常数k的值为________； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则多项式的最小值为________． 23. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年辽宁省沈阳市康平县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此分析判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下： A．它既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．它轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小n倍，只要将原数乘以或除以n，再代入原式求解即可．把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的2倍，就是用，分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍， 即， 故分式的值不变． 故选：A． 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式． 【详解】因为A选项没有将多项式化成整式乘积的形式，不正确，不符合题意； 因为B选项属于整式乘法，不正确，不符合题意； 因为C选项等式两边不成立，不正确，不符合题意； 因为D选项符合定义，正确，符合题意． 故选：D． 4. 若关于x的方程有增根，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足，即， 解得： 故选：D． 5. 如图．的周长为相交于点交于点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，结合OE⊥BD可说明EO是线段BD的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则BE=DE，再利用平行四边形ABCD的周长为60cm可得AB+AD=30cm，进而可得△ABE的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OB=OD， 又∵OE⊥BD， ∴OE是线段BD的中垂线， ∴BE=DE， ∴AE+ED=AE+BE， ∵▱ABCD的周长为60cm， ∴AB+AD=30cm， ∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD=30cm， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，关键是掌握平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分． 6. 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．根据，无法判断四边形是平行四边形，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 7. 如图，在一张长方形的纸板上找一点，使它到，的距离相等，且到点，的距离也相等，则下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线以及线段垂直平分线的性质，作∠DAB的角平分线，线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点. 【详解】由题意，得作∠DAB的角平分线，线段BC的垂直平分线，其交点即为点P. 故选：C. 【点睛】此题主要考查角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握，即可解题. 8. 木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键． 9. 如图1，在中，是斜边的中点，动点从点出发，沿运动，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图2可得，AC+BC=4，由图1可得，当点E从点A运动至点C时，的面积随着点E的运动增大，当点E从点C运动至点B时，的面积随着点E的运动减小，由此可得，当点E运动路程为2即运动至点C时，的面积为1，即AC=BC=2，所以是等腰直角三角形，所以，BD=CD，根据的面积为1列式，求出CD的长度即可． 【详解】，D是斜边的中点， BD=CD， 由题意可得：AC=2，AC+BC=4， BC=2， BC=AC， 是等腰直角三角形， ， 由题意可得：的面积为1， ， 解得：CD=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像的识别、直角三角形斜边上的中线的性质以及平方根的求解，把函数图像信息转化为几何图形的信息是解题关键． 10. 如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，连接，如图所示，由中垂线的性质得到，结合等腰三角形的判定与性质得到，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 点在线段的垂直平分线上， ， ， 点在的角平分线上， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键． 12. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 13. 将两个完全相同的正五边形按如图方式摆放，点在一条直线上，则_________度． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，进而可得答案． 【详解】解：∵在正五边形和正五边形中，， 点在一条直线上， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式；过点作于，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于，如图， ∵平分, ， 故答案为：18． 15. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大时，EF最大， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN=DB==6， ∴EF的最大值为3． 故答案为：3. 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了求不等式组的解集和解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集取公共部分即可； （2）去分母化为整式方程并解方程，代入最简公分母检验即可． 【详解】（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是 （2） 两边同乘以得，， 解方程得，， 当时，， ∴是分式方程的解 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知点、、． （1）将绕点O逆时针旋转90°得，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的图形． （3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）分别作出的对应点即可解决问题． （2）分别作出的对应点即可解决问题． （3）根据平行四边形的定义，画出图形写出坐标即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求作， 【小问2详解】 如上图所示，即为所求作； 【小问3详解】 如图，满足条件的点D的坐标为或或． 故答案为或或． 【点睛】本题考查旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据勾股定理的逆定理得到，结合平行四边形的性质、勾股定理求出，进而求出． 【小问1详解】 证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 小问2详解】 解：，， ， ， 点是的中点，，，， ，， 由可知：四边形为平行四边形， ，， 在中，， 则． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理及其逆定理，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理． 20. 如图，，垂直平分，交于点 （1）若，求的度数； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，再证明，推出，利用三角形外角的性质求解即可； （2）证明可得结论． 本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 的周长 21. 为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能LED太阳能充电路灯．经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比乙型路灯组件的单价少0.2万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等． （1）求甲型、乙型路灯组件的单价各是多少？ （2）该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？ 【答案】（1）甲0.6万元/个，乙0.8万元/个； （2）200个 【解析】 【分析】（1）设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元， 根据用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等，列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，进而即可得出答案； （2）设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件，根据花费不超过200万元，列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）， 答：甲型路灯组件的单价是0.6万元，则乙型路灯组件的单价是0.8万元； 【小问2详解】 设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件， 根据题意得：， 解得：， y的最小值为200， 答：至少购买甲型路灯组件200个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式：： ． ②求多项式的最小值： ． ∵，∴， ∴当时，有最小值，最小值是． 解决问题：（1）若多项式是完全平方式，则常数k的值为________； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则多项式的最小值为________． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，多项式有最大值，最大值是8；（4）3 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （3）利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数性质进行解答； （4）根据，得出，求出，得出答案即可． 【详解】解：（1）∵多项式是完全平方式， ∴， ∵， ∴； （2）， ， ， ， ； （3） ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是8． （4）∵， ∴， ∴ ， ∴当时，有最小值3， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 【图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）  平行四边形，见解析；（3）  【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由知，根据平行四边形的判定定理得到四边形的形状是平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，在中，，，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，如图3，在中，，于是得到． 【详解】（1）， 证明：在中，，， ，， ， ； （2）四边形的形状是平行四边形， 理由：在中，，， ，， ， ， 由知， 四边形的形状是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 在图2中，点O，G分别是的中点， 是的中位线． ， 如图3，在中，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$