精品解析：　江苏省泰州市泰兴市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷　

2024-2025学年江苏省泰州市泰兴市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查适合用普查的是（ ） A. 了解全国初中生每天的阅读时间 B. 校对即将出版的书稿 C. 了解江苏省团员的志愿服务时间 D. 了解一批电灯产品的性能 3. 关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 4. 若分式值为0，则a，b满足的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 且 5. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的对角线平分一组对角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 6. 已知：双曲线（为常数，）经过点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 双曲线过点 B. 该双曲线与直线没有公共点 C. 当时，或 D. 当时， 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 函数中自变量的取值范围是______． 8. 下列事件： ①篮球比赛中，强队一定战胜弱队； ②抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上； ③任取两个正整数，其和大于； ④长度为、、三条线段能围成一个三角形． 其中是必然事件的是______填写序号即可 9. 用反证法证明“是无理数”时，第一步应该假设______． 10. 在实数范围内分解因式：______． 11. 某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ___． 12. 已知：关于x一元二次方程没有实数根，点，都在双曲线上，则a______用“”、“”或“”填空 13. 如图，在平行四边形中，，点为射线上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，若的最小值为，则______． 14. 若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴负半轴、轴正半轴上，两点在第二象限内，过点作轴于点，交对角线于点，连接，若要求出的周长，则只需要知道的条件是______．从①点A的坐标；②点B的坐标；③点A，B的坐标这3个条件中，选一个填入填序号即可 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某校开展学生兴趣活动问卷调查，问卷中涉及的兴趣活动有书法、围棋、剪纸、绘画、阅读共五项，参与问卷调查的学生每人必选且只选一项．抽取其中一部分问卷进行整理，分别得到如下统计表和统计图： 学生的兴趣活动统计表 兴趣活动 书法 围棋 剪纸 绘画 阅读 人数 50 a b 20 40 （1）此次调查的样本容量为______，其中______； （2）在扇形统计图中，求“剪纸”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数； （3）已知该校共有1200名学生，为使这些学生能够参加自己所喜爱的兴趣活动，该校计划设立5个用于开展不同兴趣活动的专用场地，每个专用场地最多可容纳300人．试问这样的设立计划能否满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求？请说明理由． 19. 先化简，再求值：，其中x是方程的根． 20. 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？ 21. 如图，直线与双曲线交于点 （1）求双曲线对应的函数表达式； （2）把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 22. 如图1，是锐角，点A，B分别在边，上． （1）利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的内部作一点C，使得四边形是平行四边形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图2中将绕点C顺时针旋转，使得点B落在上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程． 23. 如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． （1）求证：； （2）当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 24. 数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想． 例如，已知，求的值．分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，，． （1）已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； （2）解方程：． 25. 如图1，在菱形中，，，连接，交于点． （1）求菱形的面积； （2）如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； （3）在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 （1）求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 （2）如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； （3）当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省泰州市泰兴市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合，解题的关键是寻找对称中心．利用中心对称图形的识别方法分别判断各选项即可． 【详解】解：A选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项中图形可以找到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列调查适合用普查的是（ ） A. 了解全国初中生每天的阅读时间 B. 校对即将出版的书稿 C. 了解江苏省团员的志愿服务时间 D. 了解一批电灯产品的性能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了普查和抽样调查，普查适用于范围小、精确度要求高或个体数量少的情况，而抽样调查适用于范围大、具有破坏性或节省成本的情况，据此判断即可求解，掌握普查和抽样调查的特点是解题的关键． 【详解】解：、全国初中生数量庞大，普查成本过高，应采用抽样调查； 、书稿校对需逐字逐句检查，必须全面核查，适合普查； 、江苏省团员人数较多，全面调查耗时耗力，适合抽样调查； 、电灯性能测试可能具有破坏性，需抽样避免全部损坏； 故选：． 3. 关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），以及如何利用这些关系来解决具体问题．解题的关键在于正确应用韦达定理，通过给定的一元二次方程的系数，计算出根的和与积，并据此验证各个选项的正确性．此外，对于涉及根的差的问题，需要通过求解具体的根来进一步验证．根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，并结合因式分解法求解方程验证选项． 【详解】解：∵方程 两根为 和 ， ，故选项A正确． ，选项B错误． 将方程因式分解为 ，得根为 和 （或顺序相反）． 若 ，，则 ； 若 ，，则 ． 无论哪种情况，差值均不为 ，故选项C错误． 因根不相等且积为负，比值不可能为1，选项D错误． 故选：A． 4. 若分式的值为0，则a，b满足的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件．根据分式分式值为0的条件：分母不等于及分式的值为列出不等式，解之可得． 【详解】解：因为分式的值为0，所以且， 所以且， 所以，且， 故选：D． 5. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的对角线平分一组对角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质．根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分，根据矩形的判定：对角线相等且互相平分且相等的四边形是矩形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，说法正确，本选项符合题意； B、矩形的对角线不一定平分一组对角，原说法错误，本选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A． 6. 已知：双曲线（为常数，）经过点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 双曲线过点 B. 该双曲线与直线没有公共点 C. 当时，或 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据一次函数与反比例函数的交点问题解答即可． 详解】解：A、反比例函数，双曲线过点，选项说法正确，不符合题意； B、反比例函数分布在第二四象限，与直线 没有公共点，选项说法正确，不符合题意； C、反比例函数分布在第二四象限，当时，或，选项说法正确，不符合题意； D、反比例函数分布在第二四象限，当时，，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】全体实数 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，因为的自变量是可以取轴上任意一点，所以自变量的取值范围是全体实数，即可作答． 【详解】解：函数中自变量的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数． 8. 下列事件： ①篮球比赛中，强队一定战胜弱队； ②抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上； ③任取两个正整数，其和大于； ④长度为、、的三条线段能围成一个三角形． 其中是必然事件的是______填写序号即可 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了事件可能性的判断，准确判断每个事件的可能性是解题关键．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：①篮球比赛中，强队一定战胜弱队，是随机事件； ②抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上，是随机事件； ③任取两个正整数，其和大于，是必然事件； ④长度为、、的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件． 是必然事件是③． 故答案为：③． 9. 用反证法证明“无理数”时，第一步应该假设______． 【答案】不是无理数，是有理数 【解析】 【分析】利用反证法应先假设所证的结论错误，命题的反面正确，据此即可解答． 【详解】解：第一步应该假设：不是无理数，是有理数． 故答案为：不是无理数，是有理数． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 10. 在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 11. 某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ___． 【答案】0.3 【解析】 【分析】利用1减去第1、2组的频率即可得出第3组的频率． 【详解】解：1-0.2-0.5=0.3， ∴第3组的频率是0.3； 故答案为：0.3 【点睛】本题考查了频率，熟练掌握频率的定义和各小组的频率之和为1是解题的关键． 12. 已知：关于x的一元二次方程没有实数根，点，都在双曲线上，则a______用“”、“”或“”填空 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键． 根据一元二次方程根的判别式确定，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程没有实数根， 解得：， 反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x增大而增大， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，，点为射线上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，若的最小值为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和垂线段最短．过点作于点，在上截取，连接，如图，先根据旋转的性质得到，，再证明得到，接着根据垂线段最短得到时，最小，此时最小，利用平行线之间的距离相等得到，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系求出 【详解】解：过点作于点，在上截取，连接，如图， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 时，最小，此时最小， 而的最小值为， 点到的距离为， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 14. 若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，结合已知条件，得到k所满足的条件． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 关于x的方程的解是正数， ∴且，， 且 故答案为：且 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质利用勾股定理求出点A坐标，继而得到点B坐标，求出k值即可． 【详解】解：双曲线经过点A， ， ∵， 设，则， ，解得负值已舍去， ，， ， 由勾股定理可得：， 由于四边形是菱形，则， ， 点B在反比例函数的图象上， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴负半轴、轴正半轴上，两点在第二象限内，过点作轴于点，交对角线于点，连接，若要求出的周长，则只需要知道的条件是______．从①点A的坐标；②点B的坐标；③点A，B的坐标这3个条件中，选一个填入填序号即可 【答案】② 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，点的坐标，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点C作轴于点H，设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，，证明四边形是矩形得，，再证明和全等得，则，再证明和全等得，，则，，进而得，，继而得的周长为，由此即可得出答案． 【详解】解：过点C作轴于点H，如图所示： 设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，， ，， 轴， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 的周长为：， 若要求出的周长，则只需要知道的点B的坐标即可． 故答案为：②． 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘法、算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据二次根式的性质和乘法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某校开展学生兴趣活动问卷调查，问卷中涉及的兴趣活动有书法、围棋、剪纸、绘画、阅读共五项，参与问卷调查的学生每人必选且只选一项．抽取其中一部分问卷进行整理，分别得到如下统计表和统计图： 学生的兴趣活动统计表 兴趣活动 书法 围棋 剪纸 绘画 阅读 人数 50 a b 20 40 （1）此次调查的样本容量为______，其中______； （2）在扇形统计图中，求“剪纸”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数； （3）已知该校共有1200名学生，为使这些学生能够参加自己所喜爱的兴趣活动，该校计划设立5个用于开展不同兴趣活动的专用场地，每个专用场地最多可容纳300人．试问这样的设立计划能否满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求？请说明理由． 【答案】（1）200，60 （2） （3）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查统计表、扇形统计图，明确题意，数形结合是解答本题的关键． （1）根据“书法”兴趣活动的人数和所占百分比即可求得总人数，然后根据“围棋”兴趣活动人数所占的百分比求出a的值即可； （2）先求出b的值，用“剪纸”兴趣活动人数所占比例乘即可； （3）计算各个兴趣活动的学生人数即可得出答案． 【小问1详解】 解：参加这次问卷调查的学生人数为：（人）， ， 故答案为：200，30； 【小问2详解】 解：， ， 答：＂剪纸＂兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： ∵书法：（人）， 围棋：（人）， 绘画：（人）， 阅读：（人）， 剪纸：（人） 喜爱＂剪纸＂兴趣活动的学生的人数大于300人，不能满足， ∴这样的设立计划不能满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求． 19. 先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解方程求出x的值，继而选择使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 解， 分解因式得：， 或， 或， ， ， ， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20. 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．设平均每次降价的百分率是，药价从每盒元下调经过两次降价后的价格可表示为元，由此可列方程并求解验证，即得答案． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是， 则， 解得，（舍去）， 答：平均每次降价的百分率是． 21. 如图，直线与双曲线交于点 （1）求双曲线对应的函数表达式； （2）把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出双曲线对应的函数表达式即可； （2）先求出点B的坐标，再求出铅锤高，利用面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线交于点， ， ， ， ∴双曲线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据平移特征可知，平移后直线解析式为，联立方程组得： ，解得， ∴， 如图，过点作轴的垂线交于点， 在直线中，当时，， ∴， ∴ ∴． 22. 如图1，是锐角，点A，B分别在边，上． （1）利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的的内部作一点C，使得四边形是平行四边形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图2中将绕点C顺时针旋转，使得点B落在上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形． （1）分别以为圆心，为半径作弧两弧交于点，连接即可； （2）以为圆心为半径作弧交于点的左侧作，在射线上截取线段，使得，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接即可． 【小问1详解】 如图1中，四边形即为所求； 证明： 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 如图2中，四边形即为所求． 方法：以为圆心为半径作弧交于点的左侧作，在射线上截取线段，使得，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接即可． 23. 如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． （1）求证：； （2）当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与定理是解答本题的关键． （1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； 【小问2详解】 由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， ∵为的中点， 四边形是矩形． 24. 数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想． 例如，已知，求的值．分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，，． （1）已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，换元法解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程的解的意义可得，则，，将其代入原式并通分计算后再约分即可； （2）设，将原方程化为，解分式方程并检验后代入中解得x的值即可． 【小问1详解】 解：是一元二次方程的一个实数根， ， ∴， ∴， 原式 ； 【小问2详解】 解：设， 原方程化为， 整理得：， 解得：，， 经检验，，均为方程的解， 当时，， 即， ， 该方程没有实数根， 当时，， 即， 解得：，， 故原方程的解为，． 25. 如图1，在菱形中，，，连接，交于点． （1）求菱形的面积； （2）如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； （3）在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①垂直，见解析；②或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，，，，进而得到：，推出，，即可求解； （2）①可得出，从而得出，从而，进一步得出结论； ②当时，可得出，从而得出，，当时，，从而； （3）当时，点在的上方时，设延长线交于，则，可得出，，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，当点在下方时，同样得出结果；当时，根据勾股定理得出结果． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，， ，，，，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 ①，理由如下： 如图1，由（1）知，， 菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形， ， ， ， 四边形和四边形是菱形， ，， ； ②如图2， 当时， ， 由旋转性质得，， ， ，， 当时图中)， 同理可得，， ， 综上所述：或； 【小问3详解】 如图2， 当时，设延长线交于， 则， ，， ， ， ， 当时， 则， 当时， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，解决问题的关键是分类讨论． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 （1）求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 （2）如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； （3）当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）见解析， （2）①见解析；② （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键． （1）运用待定系数法得出直线的解析式，得出点M的坐标即可； （2）①根据中心对称得出点的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线的解析式； ②由平行四边形性质可得，即，建立方程求解即可； （3）先求得点G的坐标，再求得直线平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案． 【小问1详解】 证明：由题意得：， 设直线的解析式为，则 解得：，则直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为，即线段经过一定点； 【小问2详解】 ①证明：由（1）知：， ∵点与点关于原点对称． ∴， ∵双曲线为常数，经过点， ∴, ∵双曲线与交于点， ∴， 设直线的解析式为，则。 解得：，则直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 轴， 轴， ； ②解：四边形是平行四边形， ，即， 即； 【小问3详解】 解：由（2）②知，轴，， ∵将直线沿轴向下平移经过点得到直线， ∴，把的坐标代入得：， 解得：， 联立得：， 解得：， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $