精品解析：江苏省泰州市泰兴市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春学期八年级期末学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选择中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2024年上半年，快舟、谷神星、双曲线、天龙二号等运载火箭相继成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 3. 下列调查方式适合用普查的是（ ） A. 了解如泰运河被污染情况 B. 调查泰兴市居民五一假期的出行方式 C. 检查神舟十八号载人飞船的零部件 D. 调查中央电视台《中国诗词大会》的收视率 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 5. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A B. 1 C. D. 0 6. 如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 与的面积之和 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 7. 计算：___． 8. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 9. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是_______．（填写布袋对应的序号） 10. 有一组数据：，，，，，其中无理数出现的频率是______． 11. 方程的两根分别为，，且，则______． 12. 一次函数与反比例函数交于A、B两点，其横坐标分别为2和，则不等式的解集是______． 13. 如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为______． 14. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 15. 如图，中，，，，将绕点C顺时针旋转，得到，A、B的对应点分别为、，当时，则的长为______． 16. 如图，直线与双曲线交于点C，与x轴、y轴分别交于点A、B，D是双曲线上一点，且横坐标为a，若的面积大于2，则a的取值范围为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… （1）第二步的解题依据是______； A．分式的性质 B．等式的性质 C．单项式乘以多项式法则 （2）以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； （3）请写出该分式方程正确解答过程． 18. 如图是某公司产品销往国内和销往国外的相关数据的统计图表，根据图表信息，解答下列问题： 2017年产品销售量所占比例统计表 产品销售量 所占百分比 销往国内产品 销往国外产品 公益资助产品 合计 （1）将2017年产品销售量绘制成扇形统计图，则销往国内产品所对应的扇形的圆心角度数为______； （2）2018年销往国内的产品量比销往国外的产品量______（填“多”或“少”）； （3）小明说：“该公司2018年至2022年销往国外的产品量逐渐增加，2022年至2023年明显减少．”你同意他的说法吗？请结合统计图表说明你的理由． 19. “年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： （1）得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶 （2）请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 20. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项：①为的中点，②，③中，选择一个合适的选项作为条件，使为矩形． （1）你选择的条件是______（填序号），并证明为矩形； （2）若，求矩形的面积． 21. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F， （1）求动力F与动力臂l的函数表达式； （2）若小明只有力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？ （3）现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，解这个方程； （2）试判断方程根的情况，并说明理由． 23. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 24. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； （3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 25. 如图1，点A是反比例函数图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， （1）①若，则______；②若，则______； （2）小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； （3）如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 26. 【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线折叠纸片，点A与点E对应，与交于点F． 【任务1】 直接判断的形状为______； 操作2】 小芳计划折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕，分别与、交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹）②连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片对折，折痕为，然后展开；点P为的一点，再将纸片沿折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在上，再沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上，请说明理由； 【任务4】 若点P为的中点，连接，平移折痕经过点Q，交、、分别于点、、G，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期八年级期末学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选择中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2024年上半年，快舟、谷神星、双曲线、天龙二号等运载火箭相继成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0则分式的分子值为0，分母不为0． 3. 下列调查方式适合用普查的是（ ） A. 了解如泰运河被污染情况 B. 调查泰兴市居民五一假期的出行方式 C. 检查神舟十八号载人飞船的零部件 D. 调查中央电视台《中国诗词大会》的收视率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可． 【详解】解：A、了解如泰运河被污染情况适合用抽样调查，故不符合题意； B、调查泰兴市居民五一假期的出行方式适合用抽样调查，故不符合题意； C、检查神舟十八号载人飞船的零部件适合用普查，故符合题意； D、调查中央电视台《中国诗词大会》的收视率适合用抽样调查，故不符合题意； 故选：C． 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键．根据二次根式有意义的条件可求出，从而可求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：， 当时，， ∴． 故选C． 5. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 6. 如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 四边形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 与的面积之和 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，先证明，再证明都是等腰直角三角形，得到，进而推出，则，证明，得到，再证明四边形是菱形，得到；证明，得到，则；证明四边形是矩形，得到，则 ，即可推出， 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴，即， 由正方形的性质可得， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由正方形的对称性可得， ∴， ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，作出辅助线证明四边形是菱形，从而得到是解题的关键． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 7. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式乘法法则计算：． 故答案为：． 8. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 详解】解：由题可知，时式子有意义，即． 故答案为：． 9. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是_______．（填写布袋对应的序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解题意，并分类分析是解题的关键． 根据事件，进行分类分析，即可得解． 【详解】解：①袋中有个白球，没有红球，摸到白球属于必然事件； ②袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ③袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ④袋中有个红球，没有白球，摸到白球属于不可能事件． 故答案为． 10. 有一组数据：，，，，，其中无理数出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断有理数和无理数的个数，然后根据频率等于频数除以总数即可求解． 【详解】解：∵在题中个数据里，其中，，是有理数，共个有理数，，是无理数，共个无理数， ∴无理数出现的频率， 故答案为． 【点睛】本题考查了求算术平方根，求立方根，无理数的定义，求频率，掌握以上知识是解题的关键． 11. 方程的两根分别为，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为，，， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：． 12. 一次函数与反比例函数交于A、B两点，其横坐标分别为2和，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，读懂题意，掌握函数图象法是解题关键．先根据题意画出图象，再利用函数图象法即可得出答案． 【详解】解：如图： 根据图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 13. 如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键． 确定平行于墙的一边与★的关系即可求解． 【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：， 由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度， 即为：★表示的代数式为， 故答案为． 14. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，三角函数值的简单应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，中，，，，将绕点C顺时针旋转，得到，A、B的对应点分别为、，当时，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，过点作于点D，根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明四边形为矩形，得出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点作于点D，如图所示： 中，，，， ∴， 根据旋转可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 故答案：． 16. 如图，直线与双曲线交于点C，与x轴、y轴分别交于点A、B，D是双曲线上一点，且横坐标为a，若的面积大于2，则a的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出点C的横坐标为，点B的坐标为，，分两种情况：当点D在点C的左侧，即时，当点D在点C的右侧，即时，分别画出图象，求出结果即可． 【详解】解：令， 解得：，负值舍去， ∴点C的横坐标为， 把代入得：， ∴点B的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∵点D的横坐标为a， ∴， 当点D在点C的左侧，即时，过点D作轴，交直线于点E，如图所示： 把代入得： 解得：， ∴， ∴， ， 当的面积等于2时，， 解得：，负值舍去， ∵，点D越靠左，越大， ∴当时，的面积大于2； 当点D在点C的右侧，即时，过点D作轴，交直线于点E，如图所示： 把代入得： 解得：， ∴， ∴， ， 当的面积等于2时，， 解得：，负值舍去， ∵，点D越靠右，越大， ∴当时，的面积大于2； 综上分析可知：当或时，的面积大于2． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… （1）第二步的解题依据是______； A．分式的性质 B．等式的性质 C．单项式乘以多项式法则 （2）以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； （3）请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】（1）B （2）三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【小问1详解】 解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． 【小问2详解】 解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号． 【小问3详解】 解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 18. 如图是某公司产品销往国内和销往国外的相关数据的统计图表，根据图表信息，解答下列问题： 2017年产品销售量所占比例统计表 产品销售量 所占百分比 销往国内产品 销往国外产品 公益资助产品 合计 （1）将2017年产品销售量绘制成扇形统计图，则销往国内产品所对应的扇形的圆心角度数为______； （2）2018年销往国内的产品量比销往国外的产品量______（填“多”或“少”）； （3）小明说：“该公司2018年至2022年销往国外的产品量逐渐增加，2022年至2023年明显减少．”你同意他的说法吗？请结合统计图表说明你的理由． 【答案】（1） （2）少 （3）不同意小明的说法，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、折线统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用乘以销往国内产品所占的百分比即可； （2）分别表示出销往国内的产品量和销往国外的产品量，即可得出答案； （3）根据折线统计图和增长率的意义即可作出判断． 【小问1详解】 解：销往国内产品所对应的扇形的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：设年产品销售量为，则年销往国内的产品量为，销往国外的产品量为， ∴年销往国内的产品量为，销往国外的产品量为， ∵， ∴2018年销往国内的产品量比销往国外的产品量少； 【小问3详解】 解：不同意小明的说法， 理由：因为折线统计图表示的是增长率，2018年至2023年增长率都是正数，所以该公司2018年至2023年销往国外的产品量是逐渐增加的，故不同意小明的说法． 19. “年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： （1）得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶 （2）请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 【答案】（1）B （2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式． （1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可； （2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可． 【小问1详解】 解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性是：；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为， ∴得到“手机”的可能性最小， 故选：B． 【小问2详解】 解：∵抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性 ∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示： 如图所示， 20. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项：①为的中点，②，③中，选择一个合适的选项作为条件，使为矩形． （1）你选择的条件是______（填序号），并证明为矩形； （2）若，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）选择的条件是①，由平行四边形的性质得出，，推出，利用证明，得出，即可得证；选择的条件是②，由平行四边形的性质得出，，推出，利用证明，得出，即可得证； （2）分别求出、的长，再由矩形的面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：选择的条件是①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择的条件是②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为． 21. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F， （1）求动力F与动力臂l的函数表达式； （2）若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？ （3）现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析，解题的关键是理解题意，求出反比例函数解析． （1）根据阻力阻力臂动力动力臂，求出动力F与动力臂l的函数表达式即可； （2）将代入函数解析式，求出l的值即可； （3）根据动力臂为，求出此时需要用的最小动力即可． 【小问1详解】 解：∵阻力（石头重量）和阻力臂分别为和， ∴， 即； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 解得：， 答：他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头； 【小问3详解】 解：∵动力臂为， ∴若想撬动石头，必须使， 即． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，解这个方程； （2）试判断方程根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2）有两个实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． （1）当时，原方程为，即，再直接解方程即可； （2）根据方程可求出，即可得出原方程有两个实数根． 【小问1详解】 解：当时，原方程为，即为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，，， ∴， ∴原方程有两个实数根． 23. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：等式④：； 【小问2详解】 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； 【小问3详解】 解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 24. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； （3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 【答案】（1） （2）20元 （3）销售该书每天的利润不能达到8000元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．掌握利用待定系数法求一次函数解析式和理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键． （1）设y关于x的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可； （3）根据题意可列出关于x的一元二次方程，根据其根的判别式小于0，可判断其无解，即说明销售该书每天的利润不能达到8000元． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：． ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，即，， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：该书的销售单价为20元； 【小问3详解】 解：根据题意得：，即，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴销售该书每天的利润不能达到8000元． 25. 如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， （1）①若，则______；②若，则______； （2）小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； （3）如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）①说明见解析；；② 【解析】 【分析】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案； （2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求； （3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论； ②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出， ，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，负值舍去，，负值舍去， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 【小问3详解】 解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26. 【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线折叠纸片，点A与点E对应，与交于点F． 【任务1】 直接判断的形状为______； 【操作2】 小芳计划折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕，分别与、交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹）②连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片对折，折痕为，然后展开；点P为的一点，再将纸片沿折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在上，再沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上，请说明理由； 【任务4】 若点P为的中点，连接，平移折痕经过点Q，交、、分别于点、、G，求的长． 【答案】任务1：等腰；任务2：①见解析；②四边形为菱形，理由见解析；任务3：见解析；任务4： 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形判定方法即可得出答案； （2）①连接，作线段的垂直平分线即可； ②证明，得出，说明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形为菱形； （3）取的中点H，连接，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，即可证明结论； （4） 证明，根据等腰三角形的判定得出，根据即可求出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 任务二：①即为所求作的折痕； ②四边形为菱形，理由见解析； ∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 任务3：取的中点H，连接， 根据折叠可知：，，， ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上； 任务4：∵点P为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，菱形的判定，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$