第十四章 全等三角形（举一反三单元测试·拔尖卷）数学人教版2024八年级上册

第十四章 全等三角形·拔尖卷 【人教版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 2．（3分）（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知点在上，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 4．（3分）（24-25七年级下·河北张家口·期末）题目：“在和中，，已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 5．（3分）（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 6．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 7．（3分）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 10．（3分）在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别作直线的垂线，交直线于点，．若，，则长为（    ） A．2 B．3 C．2或6 D．3或7 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 12．（3分）（23-24八年级上·河北张家口·期中）已知和，，，，已知，则 ． 13．（3分）如图，已知，垂足分别为D、E，、交于点O，且，则图中的全等三角形共有 对．    14．（3分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    15．（3分）（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度． 16．（3分）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 18．（6分）（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 19．（8分）（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】（1）证明：； 【问题探究】（2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 20．（8分）（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，． (1)固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F． ①填空：当旋转角等于时， ___________度； ②当旋转角等于多少度时，与垂直？请说明理由． (2)将图2中的三角板绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使，与交于点D，试说明． 21．（10分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 22．（10分）（24-25八年级下·广东佛山·期末）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则_______． 23．（12分）（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，P为上一点，思考当点P在什么位置时，与是偏等积三角形？并说明理由． 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角 请问与是偏等积三角形吗？说明理由． 24．（12分）（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形·拔尖卷 【人教版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹得平分， 过G点作于H点，如图， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：A． 2．（3分）（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知点在上，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得，，得，由等边对等角推出，求出，由邻补角的性质得到，求出，由三角形的外角性质得． 【详解】解：∵， 设，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角的定义等知识点，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，，， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ； 故选：C． 4．（3分）（24-25七年级下·河北张家口·期末）题目：“在和中，，已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确分三种情况讨论是解题关键．分三种情况：①当和都是锐角时，②当和都是钝角时，③当和中，有一个是锐角、一个是钝角时；不妨设是锐角，是钝角；过点作于点，过点作于点，证出，，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：①如图，当和都是锐角时， 过点作于点，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，当和都是钝角时， 过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可证：， ∴， 即； ③如图，当和中，有一个是锐角、一个是钝角时； 不妨设是锐角，是钝角， 过点作于点，过点作，交延长线于点， 同理可证：， ∴， ∵， ∴； 综上，或， 所以正确的是甲、丙答案合在一起才完整， 故选：C． 5．（3分）（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 6．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（3分）在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 8．（3分）（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从的周长入手求出，延长至，使，连接，然后利用全等来解． 【详解】解：如图所示，延长至，使，连接， 的周长为2，即， ∵正方形的边长是1， ∴，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， ∴， 在与中，，，， ∴， ． 故选：B． 9．（3分）（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 10．（3分）在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别作直线的垂线，交直线于点，．若，，则长为（    ） A．2 B．3 C．2或6 D．3或7 【答案】D 【分析】依据已知条件求出，，根据证，推出，，即可得到的长． 【详解】解：如图，当直线与线段不相交时， ，，， ，， ， 又正方形中，， ， ，， ； 如图，当直线与线段相交时， ，，， ，， ， 又正方形中，， ， ，， ； 故选D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．本题要注意思考全面，直线与线段有两种情况（相交、不相交），不能遗漏． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 12．（3分）（23-24八年级上·河北张家口·期中）已知和，，，，已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明全等，讨论当时，可得，则，当时，由可得，则问题可解 【详解】解：当时，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或    13．（3分）如图，已知，垂足分别为D、E，、交于点O，且，则图中的全等三角形共有 对．    【答案】4 【分析】根据垂直定义得出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，，根据垂直定义得出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，，易得，根据全等三角形的判定定理推出和即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 即全等三角形共4对． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理以及垂直的定义等知识，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 14．（3分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 15．（3分）（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 16．（3分）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴ ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（6分）（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 19．（8分）（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】（1）证明：； 【问题探究】（2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 20．（8分）（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，． (1)固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F． ①填空：当旋转角等于时， ___________度； ②当旋转角等于多少度时，与垂直？请说明理由． (2)将图2中的三角板绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使，与交于点D，试说明． 【答案】(1)①；②旋转角为 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点． （1）①根据旋转的性质得，则利用互余得到，然后根据进行计算； ②利用与垂直得，则，根据对顶角相等得，由于，利用三角形内角和定理得，所以，然后根据旋转的定义得到旋转角等于时，与垂直； （2）先证明，再证明，然后证明，最后证明． 【详解】（1）解：∵将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置， ∴， ∴， ∴； 故答案为：160； ②当旋转角等于时，与垂直．理由如下： 当与垂直时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即旋转角等于时，与垂直； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 21．（10分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)见解析 (3)是定值，为，理由见解析 【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据，，可得，再由，可得，即可解答； （3）在取点M使，连接，证明，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：是定值，为，理由如下： 如图，在取点M使，连接， 由（2）得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键． 22．（10分）（24-25八年级下·广东佛山·期末）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则_______． 【答案】(1)是的平分线，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解：如图，过作于， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 23．（12分）（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，P为上一点，思考当点P在什么位置时，与是偏等积三角形？并说明理由． 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角 请问与是偏等积三角形吗？说明理由． 【答案】（1）当点P在中点时，与是偏等积三角形，理由见解析；（2）6；（3）是，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系、同角的余角相等、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）设点 C到的距离为h，根据当点 P在中点时，，，根据即可得到结论； （2）设点A到的距离为n，则 ，先证明 ，结合三角形三边关系以及为偶数即可得出结果； （3）过A作于M， 过B作于N， 证明，得到，根据三角形面积的计算，推出与不全等，得出结论 【详解】解：当点 P在中点时，与是偏等积三角形，理由如下： 设点 C到的距离为h，则 当点 P在中点时， ， ， 与不全等， ∴与是偏等积三角形 （2）设点A到的距离为n，则 ， 与是偏等积三角形， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵线段的长度为正整数， 的长度为偶数， 在中，， ， 即：， ； （3）①与是偏等积三角形，理由如下： 过A作于M， 过B作于N， 如图3所示： 则， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形 24．（12分）（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$